三角比6
正弦定理の使い方を具体例から考えよう

三角比
三角比

前々回の記事で説明したように,$xy$平面上の単位円を考えることで三角比$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$が$0^\circ\le\theta\le180^\circ$の範囲で考えられるようになりました.

$0^\circ\le\theta\le180^\circ$の範囲で三角比を扱えるようになったおかげで

  • 正弦定理
  • 余弦定理

と呼ばれる三角形の辺の長さ,内角の大きさに関する便利な定理が使えるようになります.

$0^\circ<\theta<90^\circ$の範囲の三角比だけでも鋭角三角形に対して正弦定理,余弦定理は使えますが,鈍角三角形まで考えようとすると$0^\circ\le\theta\le180^\circ$の範囲の三角比が必要となります.

余弦定理は次の記事で説明することとし,この記事では

  • 正弦定理とは何か?
  • 正弦定理の具体例
  • 正弦定理の証明

を順に説明します.

正弦定理

正弦とは$sin$のことをいうのでしたから,正弦定理が$\sin$に関する定理であることは認識しておきましょう.

正弦定理

[正弦定理] 半径$R$の外接円をもつ$\tri{ABC}$について,$a=\mrm{BC}$, $b=\mrm{CA}$, $c=\mrm{AB}$とする.

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このとき,等式

    \begin{align*}\frac{a}{\sin{\ang{A}}} =\frac{b}{\sin{\ang{B}}} =\frac{c}{\sin{\ang{C}}} =2R\end{align*}

が成り立つ.

正弦定理は

  • 向かい合う角と辺($\ang{A}$と$a$など)が絡むとき
  • 外接円の半径$R$が絡むとき

に使うことが多いです.

特に後者の「外接円の半径」という言葉を見たとき,正弦定理は真っ先に考えたいところです.

三角形の面積の公式

正弦定理を用いると,$\tri{ABC}$の外接円の半径$R$,3辺の長さ$a$, $b$,  $c$を用いて,$\tri{ABC}$の面積を表すことができます.

外接円の半径が$R$の$\tri{ABC}$について,$a=\mrm{BC}$, $b=\mrm{CA}$, $c=\mrm{AB}$とすると,$\tri{ABC}$の面積は

    \begin{align*}\tri{ABC}=\frac{abc}{4R}\end{align*}

で求まる.

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$\tri{ABC}$の面積は$\dfrac{1}{2}bc\sin{\ang{A}}$だから,正弦定理より$\sin{\ang{A}}=\dfrac{a}{2R}$が成り立つことと併せて

    \begin{align*}\tri{ABC} =\frac{1}{2}bc\sin{\ang{A}} =\frac{1}{2}bc\cdot\frac{a}{2R} =\frac{abc}{4R}\end{align*}

を得る.

三角形の面積公式$\tri{ABC}=\dfrac{1}{2}bc\sin{\ang{A}}$については前回の記事を参照してください.

三角比5
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正弦定理の具体例

以下でも$a=\mrm{BC}$, $b=\mrm{CA}$, $c=\mrm{AB}$とし,$\tri{ABC}$の外接円の半径を$R$とします.

例1

$a=2$, $\sin{\ang{A}}=\dfrac{2}{3}$, $\sin{\ang{B}}=\dfrac{3}{4}$の$\tri{ABC}$に対して,$R$, $b$を求めよ.

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向かい合う角$\ang{A}$と辺$a$が分かっているので,正弦定理が見えたいところです.

正弦定理より

    \begin{align*}2R=\frac{a}{\sin{\ang{A}}}=\frac{2}{2/3}=3\end{align*}

なので$R=\dfrac{3}{2}$である.再び正弦定理より

    \begin{align*}2R=\frac{b}{\sin{\ang{B}}} \iff&3=\frac{b}{3/4} \\\iff&b=\frac{9}{4}\end{align*}

である.

例2

$a=2$, $\ang{B}=45^\circ$, $R=2$の$\tri{ABC}$に対して,$\ang{A}$, $b$を求めよ.

外接円の半径$R$が分かっているので,正弦定理が見えたいところです.

正弦定理より

    \begin{align*}2R=\frac{a}{\sin{\ang{A}}} \iff& 4=\frac{2}{\sin{\ang{A}}} \\\iff& \sin{\ang{A}}=\frac{1}{2}\end{align*}

なので,$\ang{A}=30^\circ, 150^\circ$である.

もし$\ang{A}=150^\circ$なら$\ang{B}=45^\circ$と併せて$\tri{ABC}$の内角の和が$180^\circ$を超えるから不適.よって,$\ang{A}=30^\circ$である.

再び正弦定理より

    \begin{align*}2R=\frac{b}{\sin{\ang{B}}} \iff& 4=\frac{b}{\sin{45^\circ}} \\\iff& 4=\frac{b}{\frac{1}{\sqrt{2}}} \\\iff& b=2\sqrt{2}\end{align*}

である.

例3

$c=4$, $\ang{C}=45^\circ$, $\ang{B}=15^\circ$の$\tri{ABC}$に対して,$\ang{A}$, $b$を求めよ.ただし

    \begin{align*}\sin{15^\circ}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\end{align*}

が成り立つことは用いてよい.

$\ang{A}=180^\circ-\ang{B}-\ang{C}=120^\circ$だから,正弦定理より

    \begin{align*}2R=\frac{c}{\sin{\ang{C}}} =\frac{4}{\sin{45^\circ}} =\frac{4}{1/\sqrt{2}} =4\sqrt{2}\end{align*}

だから,$R=2\sqrt{2}$である.また,正弦定理より

    \begin{align*} \frac{a}{\sin{\ang{A}}}=2R \iff&\frac{a}{\sin{120^\circ}}=4\sqrt{2} \\\iff&\frac{a}{\sqrt{3}/2}=4\sqrt{2} \\\iff&a=2\sqrt{6}, \\\frac{b}{\sin{\ang{B}}}=2R \iff&\frac{b}{\sin{15^\circ}}=4\sqrt{2} \\\iff&\frac{b}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})/4}=4\sqrt{2} \\\iff&b=2(\sqrt{3}-1) \end{align*}

である.よって,

    \begin{align*} S&=\frac{1}{2}bc\sin{A} \\&=\frac{1}{2}\cdot2(\sqrt{3}-1)\cdot4\cdot\sin{120^\circ} \\&=\frac{1}{2}\cdot2(\sqrt{3}-1)\cdot4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\&=2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1) \end{align*}

となる.

上でみた面積の公式を用いて

    \begin{align*} S=\frac{abc}{4R} =\frac{2\sqrt{6}\cdot2(\sqrt{3}-1)\cdot4}{4\cdot2\sqrt{2}} =2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1) \end{align*}

と求めてもよいですね.

正弦定理の証明

正弦定理を説明しましょう.

円周角の定理の復習

正弦定理の証明に必要な円周角の定理 (inscribed angle theorem)を復習しておきます.

[円周角の定理] 中心$\mrm{O}$の円周上の2点$\mrm{A}$, $\mrm{C}$を考える.このとき,次が成り立つ.

  • 直線$\mrm{AC}$に関して$\mrm{O}$と同じ側の円周上の任意の点$\mrm{B}$に対して,$2\ang{ABC}=\ang{AOC}$が成り立つ.
  • 直線$\mrm{AC}$に関して同じ側にある円周上の任意の2点$\mrm{B}$, $\mrm{B’}$に対して,$\ang{ABC}=\ang{AB’C}$が成り立つ.

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円周角の定理は

  1. $2\ang{ABC}=\ang{AOC}$を示す.
  2. これにより$\ang{ABC}=\dfrac{1}{2}\ang{AOC}=\ang{AB’C}$が示される

という2ステップで証明することができるのでした.

正弦定理の証明

それでは,正弦定理を証明しましょう.

[正弦定理(再掲)] 半径$R$の外接円をもつ$\tri{ABC}$について,$a=\mrm{BC}$, $b=\mrm{CA}$, $c=\mrm{AB}$とする.

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このとき,等式

    \begin{align*}\frac{a}{\sin{\ang{A}}} =\frac{b}{\sin{\ang{B}}} =\frac{c}{\sin{\ang{C}}} =2R\end{align*}

が成り立つ.

$2R=\dfrac{a}{\sin{\ang{A}}}$, $2R=\dfrac{b}{\sin{\ang{B}}}$, $2R=\dfrac{c}{\sin{\ang{C}}}$は同様に示すことができるので,$2R=\dfrac{a}{\sin{\ang{A}}}$を示せば十分ですね.

また,これを示すには分母を払った$2R\sin{\ang{A}}=a$を示せばよく,これを

  • $0^\circ<\ang{A}<90^\circ$の場合
  • $\ang{A}=90^\circ$の場合
  • $90^\circ<\ang{A}<180^\circ$の場合

に分けて証明しましょう.

[パターン1] $0^\circ<\ang{A}<90^\circ$の場合

線分BDが外接円の直径となるように点Dをとる.

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このとき,$\ang{BCD}=90^\circ$なので

    \begin{align*} \sin{\ang{D}} =\frac{\mrm{BC}}{\mrm{BD}} =\frac{a}{2R} \end{align*}

だから$2R\sin{\ang{D}}=a$であり,弧BCに関する円周角の定理より$\ang{A}=\ang{D}$だから,$2R\sin{\ang{A}}=a$が従う.

[パターン2] $\ang{A}=90^\circ$の場合

線分BCが外接円の直径となる.

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よって,$2R=a$が成り立ちつ.

$\ang{A}=90^\circ$なので,$\sin{\ang{A}}=1$だから$2R\sin{\ang{A}}=a$が成り立つ.

[パターン3] $90^\circ<\ang{A}<180^\circ$の場合

外接円の中心を点Oとし,線分BDが外接円の直径となるように点Dをとる.

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このとき,$\ang{BCD}=90^\circ$なので,

    \begin{align*} \sin{\ang{D}} =\frac{\mrm{BC}}{\mrm{BD}} =\frac{a}{2R} \end{align*}

だから$2R\sin{\ang{D}}=a$である.

また,弧BCに関する円周角の定理より$2\ang{A}=\ang{BOC}(>180^\circ)$, $2\ang{D}=\ang{BOC}(<180^\circ)$だから,$2\ang{A}+2\ang{D}=360^\circ$が従う.

よって,$\ang{D}=180^\circ-\ang{A}$が成り立つ.

$(180^\circ-\theta)$型の変換公式より,$\sin{\ang{D}}=\sin{180^\circ-\ang{A}}=\sin{\ang{A}}$なので,$2R\sin{\ang{A}}=a$を得る.

[パターン1]〜[パターン3]より,いつでも$2R=\dfrac{a}{\sin{\ang{A}}}$が成り立つ.

また,同様に$2R=\dfrac{b}{\sin{\ang{B}}}$, $2R=\dfrac{c}{\sin{\ang{C}}}$も証明できるので

    \begin{align*} \frac{a}{\sin{\ang{A}}} =\frac{b}{\sin{\ang{B}}} =\frac{c}{\sin{\ang{C}}} =2R \end{align*}

が得られる.

[パターン3]で用いた$(180^\circ-\theta)$型の変換公式については,前回の記事を参照してください.

三角比5
(180°-θ)型の変換公式はめっちゃ簡単!
(180°-θ)型のsin(180°-θ), cos(180°-θ), tan(180°-θ)はいずれもsinθ, cosθ, tanθで表すことができます.この記事では,これらの公式が図から一瞬で導けることを説明し,応用として三角形の面積公式も紹介します.

余弦定理

この記事で扱った正弦定理は三角形の$\sin$に関する定理でしたが,三角形の$\cos$に関する定理もあり余弦定理と呼ばれています.

[余弦定理] $a=\mrm{BC}$, $b=\mrm{CA}$, $c=\mrm{AB}$の$\tri{ABC}$に対して,以下が成り立つ.

    \begin{align*}a^2=b^2+c^2-2bc\cos{\ang{A}}\end{align*}

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$\ang{A}=90^\circ$のときは$\cos{\ang{A}}=0$なので,余弦定理は$a^2=b^2+c^2$となってこれは三平方の定理ですね.

このことから余弦定理は直角三角形でない三角形にも使えるように,三平方の定理を改良した定理であると言えますね.

次の記事では,余弦定理について説明します.

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