三角比６<br>正弦定理の使い方を具体例から考えよう

前々回の記事で説明したように，$xy$平面上の単位円を考えることで三角比$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$が$0^\circ\le\theta\le180^\circ$の範囲で考えられるようになりました．

$0^\circ\le\theta\le180^\circ$の範囲で三角比を扱えるようになったおかげで

正弦定理
余弦定理

と呼ばれる三角形の辺の長さ，内角の大きさに関する便利な定理が使えるようになります．

$0^\circ<\theta<90^\circ$の範囲の三角比だけでも鋭角三角形に対して正弦定理，余弦定理は使えますが，鈍角三角形まで考えようとすると$0^\circ\le\theta\le180^\circ$の範囲の三角比が必要となります．

余弦定理は次の記事で説明することとし，この記事では

正弦定理とは何か？
正弦定理の具体例
正弦定理の証明

を順に説明します．

「三角比」の一連の記事

正弦定理
1. 正弦定理
2. 三角形の面積の公式
正弦定理の具体例
正弦定理の証明
1. 円周角の定理の復習
2. 正弦定理の証明
余弦定理

正弦定理

正弦とは$sin$のことをいうのでしたから，正弦定理が$\sin$に関する定理であることは認識しておきましょう．

正弦定理

[正弦定理]　半径$R$の外接円をもつ$\tri{ABC}$について，$a=\mrm{BC}$, $b=\mrm{CA}$, $c=\mrm{AB}$とする．

このとき，等式

$\begin{align*}\frac{a}{\sin{\ang{A}}} =\frac{b}{\sin{\ang{B}}} =\frac{c}{\sin{\ang{C}}} =2R\end{align*}$

が成り立つ．

正弦定理は

向かい合う角と辺（$\ang{A}$と$a$など）が絡むとき
外接円の半径$R$が絡むとき

に使うことが多いです．

特に後者の「外接円の半径」という言葉を見たとき，正弦定理は真っ先に考えたいところです．

三角形の面積の公式

正弦定理を用いると，$\tri{ABC}$の外接円の半径$R$，３辺の長さ$a$, $b$, $c$を用いて，$\tri{ABC}$の面積を表すことができます．

外接円の半径が$R$の$\tri{ABC}$について，$a=\mrm{BC}$, $b=\mrm{CA}$, $c=\mrm{AB}$とすると，$\tri{ABC}$の面積は

$\begin{align*}\tri{ABC}=\frac{abc}{4R}\end{align*}$

で求まる．

$\tri{ABC}$の面積は$\dfrac{1}{2}bc\sin{\ang{A}}$だから，正弦定理より$\sin{\ang{A}}=\dfrac{a}{2R}$が成り立つことと併せて

$\begin{align*}\tri{ABC} =\frac{1}{2}bc\sin{\ang{A}} =\frac{1}{2}bc\cdot\frac{a}{2R} =\frac{abc}{4R}\end{align*}$

を得る．

三角形の面積公式$\tri{ABC}=\dfrac{1}{2}bc\sin{\ang{A}}$については前回の記事を参照してください．

三角比５
(180°-θ)型の変換公式はめっちゃ簡単！

(180°-θ)型のsin(180°-θ), cos(180°-θ), tan(180°-θ)はいずれもsinθ, cosθ, tanθで表すことができます．この記事では，これらの公式が図から一瞬で導けることを説明し，応用として三角形の面積公式も紹介します．

正弦定理の具体例

以下でも$a=\mrm{BC}$, $b=\mrm{CA}$, $c=\mrm{AB}$とし，$\tri{ABC}$の外接円の半径を$R$とします．

例１

$a=2$, $\sin{\ang{A}}=\dfrac{2}{3}$, $\sin{\ang{B}}=\dfrac{3}{4}$の$\tri{ABC}$に対して，$R$, $b$を求めよ．

向かい合う角$\ang{A}$と辺$a$が分かっているので，正弦定理が見えたいところです．

正弦定理より

$\begin{align*}2R=\frac{a}{\sin{\ang{A}}}=\frac{2}{2/3}=3\end{align*}$

なので$R=\dfrac{3}{2}$である．再び正弦定理より

$\begin{align*}2R=\frac{b}{\sin{\ang{B}}} \iff&3=\frac{b}{3/4} \\\iff&b=\frac{9}{4}\end{align*}$

である．

例２

$a=2$, $\ang{B}=45^\circ$, $R=2$の$\tri{ABC}$に対して，$\ang{A}$, $b$を求めよ．

外接円の半径$R$が分かっているので，正弦定理が見えたいところです．

正弦定理より

$\begin{align*}2R=\frac{a}{\sin{\ang{A}}} \iff& 4=\frac{2}{\sin{\ang{A}}} \\\iff& \sin{\ang{A}}=\frac{1}{2}\end{align*}$

なので，$\ang{A}=30^\circ, 150^\circ$である．

もし$\ang{A}=150^\circ$なら$\ang{B}=45^\circ$と併せて$\tri{ABC}$の内角の和が$180^\circ$を超えるから不適．よって，$\ang{A}=30^\circ$である．

再び正弦定理より

$\begin{align*}2R=\frac{b}{\sin{\ang{B}}} \iff& 4=\frac{b}{\sin{45^\circ}} \\\iff& 4=\frac{b}{\frac{1}{\sqrt{2}}} \\\iff& b=2\sqrt{2}\end{align*}$

である．

例３

$c=4$, $\ang{C}=45^\circ$, $\ang{B}=15^\circ$の$\tri{ABC}$に対して，$\ang{A}$, $b$を求めよ．ただし

$\begin{align*}\sin{15^\circ}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\end{align*}$

が成り立つことは用いてよい．

$\ang{A}=180^\circ-\ang{B}-\ang{C}=120^\circ$だから，正弦定理より

$\begin{align*}2R=\frac{c}{\sin{\ang{C}}} =\frac{4}{\sin{45^\circ}} =\frac{4}{1/\sqrt{2}} =4\sqrt{2}\end{align*}$

だから，$R=2\sqrt{2}$である．また，正弦定理より

$\begin{align*} \frac{a}{\sin{\ang{A}}}=2R \iff&\frac{a}{\sin{120^\circ}}=4\sqrt{2} \\\iff&\frac{a}{\sqrt{3}/2}=4\sqrt{2} \\\iff&a=2\sqrt{6}, \\\frac{b}{\sin{\ang{B}}}=2R \iff&\frac{b}{\sin{15^\circ}}=4\sqrt{2} \\\iff&\frac{b}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})/4}=4\sqrt{2} \\\iff&b=2(\sqrt{3}-1) \end{align*}$

である．よって，

$\begin{align*} S&=\frac{1}{2}bc\sin{A} \\&=\frac{1}{2}\cdot2(\sqrt{3}-1)\cdot4\cdot\sin{120^\circ} \\&=\frac{1}{2}\cdot2(\sqrt{3}-1)\cdot4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\&=2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1) \end{align*}$

となる．

上でみた面積の公式を用いて

$\begin{align*} S=\frac{abc}{4R} =\frac{2\sqrt{6}\cdot2(\sqrt{3}-1)\cdot4}{4\cdot2\sqrt{2}} =2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1) \end{align*}$

と求めてもよいですね．

正弦定理の証明

正弦定理を説明しましょう．

円周角の定理の復習

正弦定理の証明に必要な円周角の定理 (inscribed angle theorem)を復習しておきます．

[円周角の定理]　中心$\mrm{O}$の円周上の２点$\mrm{A}$, $\mrm{C}$を考える．このとき，次が成り立つ．

直線$\mrm{AC}$に関して$\mrm{O}$と同じ側の円周上の任意の点$\mrm{B}$に対して，$2\ang{ABC}=\ang{AOC}$が成り立つ．
直線$\mrm{AC}$に関して同じ側にある円周上の任意の２点$\mrm{B}$, $\mrm{B’}$に対して，$\ang{ABC}=\ang{AB’C}$が成り立つ．