無限級数a₁+a₂+a₃+……の考え方｜級数の収束を例題から理解する

例えば，等比数列$\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{4},\ \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{16},\dots$について，初項から順に項を

$\begin{align*}\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n}+\dots\end{align*}$

と無限に足し続けていくと，どのような値に近付くでしょうか？

結果から言えば，この和は１に近付くことが分かります（このことはこの記事の中で説明します）．

このように，数列$\{a_n\}$について初項から順に無限に和をとっていくときの付き先を$\{a_n\}$の無限級数といい，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$で表します．

この記事では

を順に説明します．

「極限」の一連の記事

数列の極限

無限級数をきちんと定義するには数列の極限が必要なので，定義を確認しましょう．

数列$\{a_n\}$において，$n$を限りなく大きくするとき，$a_n$がある一定の値$\alpha$に限りなく近づくならば，

$\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\alpha\end{align*}$

または

$\begin{align*}a_n\to\alpha\quad(n\to\infty)\end{align*}$

などと表し，数列$\{a_n\}$は$\alpha$に収束するといい，$\alpha$を数列$\{a_n\}$の極限値という．

また，数列$\{a_n\}$が収束しないとき，数列$\{a_n\}$は発散するという．

簡単な例をいくつか挙げると，

となりますね．

発散するが，正の無限大$\infty$にも負の無限大$-\infty$にも発散しない極限を振動というのでした．

それでは，無限級数の説明に移ります．

一般項$a_n=\dfrac{1}{2^n}$の数列$\{a_n\}$を考えましょう．この数列は冒頭で考えた等比数列

$\begin{align*}\frac{1}{2},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{8},\ \frac{1}{16},\dots\end{align*}$

ですね．この数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$としましょう．具体的に計算すると

となりますね．このようにできた$S_1,S_2,S_3,\dots$は数の並びなので$\{S_n\}$も数列になっていますね．

この数列$\{S_n\}$で極限$n\to\infty$を考えたものは，初項から

$\begin{align*}a_1+a_2+a_3+\dots+a_n+\dots\end{align*}$

と無限に項を足していったものと考えることができます．

まさにこの考え方が無限級数で，きちんと定義を書くと次のようになります．

数列$\{a_n\}$に対して，初項から第$n$項までの和

$\begin{align*}S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k(=a_1+a_2+\dots+a_n)\end{align*}$

を考える．このときの数列$\{S_n\}$の極限を$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$と表し，数列$\{a_n\}$の無限級数という．

一般項が$a_n=\dfrac{1}{2^n}$の等比数列$\{a_n\}$の場合，無限級数

$\begin{align*}\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n}+\dots\end{align*}$

を$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^k}$, $\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^k}$などと表すわけですね．

あくまで無限級数は極限なので，

極限$\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$が存在するとき$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$は収束する
極限$\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$が存在しないとき$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$は発散する

といいます．また，無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$に対して，途中までの和$S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$を部分和といいます．