無限級数a₁+a₂+a₃+……の考え方を例題から理解する

例えば，一般項$a_n=\dfrac{1}{2^n}$の数列$\{a_n\}$について，初項から順に項を無限に足し続けていくとどのような値に近付くでしょうか？

つまり，

$\begin{align*}\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n}+\dots\end{align*}$

のように，項を無限に足していくとどのようになるでしょうか？

実は結果から言えば，この和は$1$に近付きます（このことはこの記事の中で説明します）．

このように，数列$\{a_n\}$について初項から順に無限に和をとっていくときの和の近付き先を$\{a_n\}$の無限級数といい，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$で表します．

無限級数は様々なところと絡んで出題されますから，いつでも対処できるようになっておきたい分野です．

「極限」の一連の記事

極限の基本
1. 1. lim(リミット)の意味は？極限の考え方
2. 2. 「関数の極限」と「数列の極限」の２つの違い

無限級数

数列の極限
無限級数
1. 無限級数の定義
2. 無限級数の例

数列の極限

無限級数をきちんと定義するには数列の極限が必要なので，定義を確認しましょう．

数列$\{a_n\}$において，$n$を限りなく大きくするとき，$a_n$がある一定の値$\alpha$に限りなく近づくならば，

$\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\alpha\end{align*}$

または

$\begin{align*}a_n\to\alpha\quad(n\to\infty)\end{align*}$

などと表し，数列$\{a_n\}$は$\alpha$に収束するといい，$\alpha$を数列$\{a_n\}$の極限値という．

また，数列$\{a_n\}$が収束しないとき，数列$\{a_n\}$は発散するという．

簡単な例をいくつか挙げると，

$a_n=1+\frac{1}{n}$なら$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=1$
$a_n=n$なら$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty$
$a_n=-n$なら$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=-\infty$
$a_n=(-1)^n$なら，数列$\{a_n\}$は振動する（発散する）

となりますね．

発散するが，正の無限大$\infty$にも負の無限大$-\infty$にも発散しないものを振動というのでした．

無限級数

それでは，無限級数の説明に移ります．

無限級数の定義

一般項が$a_n=\dfrac{1}{2^n}$の数列$\{a_n\}$を考えます．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，

$S_1=a_1=\dfrac{1}{2}$
$S_2=a_1+a_2=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$
$S_3=a_1+a_2+a_3=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}$
……

となりますね．このようにできた$S_1,S_2,S_3,\dots$は数の並びなので$\{S_n\}$は数列です．

この数列$\{S_n\}$で極限$n\to\infty$を考えたものは，初項から

$\begin{align*}a_1+a_2+a_3+\dots+a_n+\dots\end{align*}$

と無限に項を足していったものと考えることができますね．

まさにこの考え方が無限級数で，定義をきちんと書くと次のようになります．

数列$\{a_n\}$に対して，初項から第$n$項までの和$S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k(=a_1+a_2+\dots+a_n)$を考える．

このときの数列$\{S_n\}$の$n\to\infty$の極限を数列$\{a_n\}$の無限級数といい，$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$と表す．すなわち，

$\begin{align*}\sum_{k=1}^{\infty}a_k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k\end{align*}$

である．この極限が存在するとき無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$は収束するといい，極限が存在しないとき無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$は発散するという．

また，無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$に対して，$S_n$を部分和という．

例えば，冒頭で考えた一般項が$a_n=\dfrac{1}{2^n}$の数列$\{a_n\}$の場合の無限級数

$\begin{align*}\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n}+\dots\end{align*}$

は

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^k}$
$\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^k}$

などと表せるわけですね．

無限級数の例

無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}$を求めよ．

結論から言えば，この級数は$1$となります．

後の記事で計算で求める方法を紹介しますが，ここでは直感的に図形の面積から求めてみましょう．

直感的には$a_1=\dfrac{1}{2}$は下図の灰色の面積です．

さらに，$a_2=\dfrac{1}{4}$は下図の灰色の面積です．

続いて，$a_3=\dfrac{1}{8}$は下図の灰色の面積です．

このように１辺の長さが１の正方形を

と区切っていくと，この正方形の面積は$a_1+a_2+a_3+\dots$の極限であることが見てとれますね．

この正方形の面積は$1\times1=1$ですから，

$\begin{align*}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}=1\end{align*}$

となることが分かります．

普通の極限と同じく，無限級数も「足し合わせたときに近付く値」をいうのであって，実際にその値になるとは限らないことに注意しましょう．

いまの問題の無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}$も限りなく$1$に近付いていくのであって，$1$になるわけではありません．

無限級数１
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数列の極限

無限級数

無限級数の定義

無限級数の例

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