ワンポイント数学2|絶対値の定義から一瞬で解ける問題

絶対値をきちんとイメージから分かっていれば,例えば

  • 不等式$|x-3|<5$
  • 方程式$|x-2|+|x-4|=6$

などはものの数秒で答えを出すことができます.

なお,実際に予備校で教えていると

「絶対値は中身が0以上ならそのまま外す,中身が負ならマイナスをかけて外す」

と言う人は多いのですが,これは絶対値の性質であって定義ではありません.

性質が言えることはそれで素晴らしいことですが,「じゃあ,これが成り立つ理由は?」を聞くと途端に考え込んでしまう人が多いのも事実で,こうなると応用力が身に付くかは怪しくなってきます.

この記事で絶対値のイメージをしっかり理解して,自信を持って絶対値を扱えるようにしてください.

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絶対値の定義

絶対値のイメージは「距離」です.

絶対値の定義は次の通りです.

[絶対値] 実数$a$に対して,$a$と原点0との距離を$a$の絶対値といい,$|a|$と表す.

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絶対値はただ「原点との距離」を表しているだけなのですね.

ここで次の[事実]は当たり前ですが重要です.

実数$a$, $b$の大小関係が$b<a$であれば,$a$と$b$の距離は$a-b$である.

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いわゆる「距離は『大 引く 小』」です.中学で耳にタコができるほど言われた人もいるかもしれませんね.

要するに,数直線上の2点について,右にあるものから左にあるものを引けば2点間の距離が求まるということです.

数直線を思い浮かべて,以下の例を考えてください.

  • 2と原点0との距離は$2-0=2$ですから,$|2|=2$です.
  • $-2$と原点0との距離は$0-(-2)=2$ですから,$|-2|=2$です.
  • $\pi$と原点0との距離は$\pi-0=\pi$ですから,$|\pi|=\pi$です.
  • 0と原点0との距離は$0-0=0$ですから,$|0|=0$です.
  • $-\dfrac{2}{3}$と原点0との距離は$0-\bra{-\dfrac{2}{3}}=\dfrac{2}{3}$ですから,$\abs{-\dfrac{2}{3}}=\dfrac{2}{3}$です.

絶対値の定義と,いまみた事実を考えれば当たり前ですね?

帰結1

さて,次の[帰結1]も当たり前にしておきましょう.

[帰結1] 実数$a$, $b$に対して,$|a-b|$は$a$と$b$の距離を表す.

$|a-b|$を定義通りに言えば「$a-b$と原点0との距離」ですね.

数直線上で$a-b$を右にちょうど$b$だけ動かした$a$と,原点0を右にちょうど$b$だけ動かした$b$との距離も,並行移動しただけですから$|a-b|$です.

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したがって,$|a-b|$は$a$と$b$の距離を表すことが分かりました.

具体例

[絶対値の定義]や[帰結1]をしっかり意識していれば,次のような問題は瞬時に解けます.

次の方程式,不等式を解け.

  1. $|x|=2$
  2. $|x|<2$
  3. $|x-3|\leqq5$
  4. $|x-2|+|x-4|=8$

答えは以下の通りになります.


定義から$|x|$は$x$と原点0との距離を表す.よって,$|x|=2$は「$x$と原点0との距離が2」ということに他ならない.

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したがって,$x=\pm2$を得る.


定義から$|x|$は$x$と原点0との距離を表す.よって,$|x|<2$は「$x$と原点0との距離が2より小さい」ということに他ならない.

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したがって,$-2<x<2$を得る.


[帰結1]から$|x-3|$は$x$と3との距離を表す.よって,$|x-3|\leqq5$は「$x$と3との距離が5以下」ということに他ならない.

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したがって,$3-5<x<3+5$,すなわち$-2<x<8$を得る.


[帰結1]から$|x-2|$は$x$と2との距離を表し,$|x-4|$は$x$と4との距離を表すから,$|x-2|+|x-4|=8$は「$x$と2との距離と,$x$と2との距離の和は8である」ということに他ならない.

2と4の距離は2なので,数直線上の2から左に3の点,数直線上の4から右に3の点は条件を満たす.

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したがって,$x=-1,7$を得る.

実数$a$, $b$に対して,$|a|$は数直線上の原点0と$a$の距離を表し,$|a-b|$は数直線上の$a$と$b$の距離を表す.

帰結2

絶対値の定義のイメージができていると非常に強力な様が見てとれましたが,実際の記述答案では式変形で解くことが望まれます.

そこで,$a\ge0$のときの$|a|$と,$a<0$のときの$|a|$を分けて考えてみましょう.

[1] $a\geqq0$のとき,

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なので,

\begin{align*} |a|=a-0=a \end{align*}

となります.

[2] $a<0$のとき,

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なので,

\begin{align*} |a|=0-a=-a \end{align*}

となります.

[1]は$a=3$を,[2]は$a=-3$を代入して読んでみると分かりやすいと思います.

これらをまとめたものが,絶対値の定義から分かる帰結の2つ目です.

[帰結2] 絶対値について,次が成り立つ.

\begin{align*} |a|=\begin{cases}a&(a\ge0)\\-a&(a<0)\end{cases} \end{align*}

これが冒頭に書いた「絶対値は中身が0以上なら……」の正体ですね.

具体例

この[帰結2]から先の問について,きちんと答案を作りましょう.

[再掲] 次の方程式,不等式を解け.

  1. $|x|=2$
  2. $|x|<2$
  3. $|x-3|\leqq5$
  4. $|x-2|+|x-4|=8$

絶対値がある場合には,絶対値の中身の正負で場合分けするのが定石です.


次の[1],[2]に分けて考える.

[1] $x\geqq0$のとき,

$|x|=x$だから,

\begin{align*} |x|=2\iff x=2 \end{align*}

である.これは$x\geqq0$を満たす.

[2] $x<0$のとき,

$|x|=-x$だから,

\begin{align*} |x|=2\iff -x=2\iff x=-2 \end{align*}

である.これは$x<0$を満たす.

[1], [2]より,解は$x=\pm2$である.


次の[1],[2]に分けて考える.

[1] $x\geqq0$のとき,

$|x|=x$だから,

\begin{align*} |x|<2\iff x<2 \end{align*}

である.これと$x\geqq0$を併せて$0\leqq x<2$である.

[2] $x<0$のとき,

$|x|=-x$だから,

\begin{align*} |x|=2 \iff& -x=2 \\\iff& x=-2 \end{align*}

である.これと$x<0$を併せて$-2<x<0$である.

[1], [2]より,解は$-2<x<2$である.


次の[1],[2]に分けて考える.

[1] $x\geqq3$のとき,

$x-3\geqq0$より,$|x-3|=x-3$だから,

\begin{align*} |x-3|\leqq5 \iff& x-3\leqq5 \\\iff& x\leqq8 \end{align*}

である.これと$x\geqq3$を併せて$3\leqq x<8$である.

[2] $x<3$のとき,

$x-3<0$より,$|x-3|=-(x-3)$だから,

\begin{align*} |x-3|\leqq5 \iff& -(x-3)\leqq5 \\\iff& x\geqq-2 \end{align*}

である.これと$x<3$を併せて$-2\leqq x<3$である.

[1], [2]より,解は$-2\leqq x\leqq8$である.


次の[1]-[3]に分けて考える.

[1] $x\geqq4$のとき,

$x-2\geqq x-4\geqq0$より,$|x-2|=x-2$かつ$|x-4|=x-4$だから,

\begin{align*} &|x-2|+|x-4|=8 \\\iff& (x-2)+(x-4)=8 \\\iff& x=7 \end{align*}

である.これは$x\geqq4$を満たす.

[2] $4>x\geqq2$のとき,

$x-2\geqq 0>x-4$より,$|x-2|=x-2$かつ$|x-4|=-(x-4)$だから,

\begin{align*} &|x-2|+|x-4|=8 \\\iff& (x-2)-(x-4)=8 \\\iff& 2=8 \end{align*}

である.どんな$x$に対してもこの式は満たし得ないから解なし.

[3] $2>x$のとき,

$0>x-2>x-4$より,$|x-2|=-(x-2)$かつ$|x-4|=-(x-4)$だから,

\begin{align*} &|x-2|+|x-4|=8 \\\iff& -(x-2)-(x-4)=8 \\\iff& x=-1 \end{align*}

である.これは$2>x$を満たす.

[1]-[3]より,解は$x=-1,7$である.

帰結1と帰結2の解法の関係

さて,以下の2つの解法を考えました.

  1. [絶対値]の定義と[帰結1]から数直線で考える解法
  2. [帰結2]から式変形で考える解法

最後に,これらは一見違った解法のように見えて,実は同じであることを見ておきましょう.

問3の場合

問3の$|x-3|\leqq5$では$x\geqq3$と$x<3$に分けて考えました.

$x\geqq3$の場合,$x-3\geqq0$より右辺$|x-3|$は$x-3$となりますが,数直線上でも

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となるので,「大 引く 小」で同じく$|x-3|$は$x-3$となります.

また,$x<3$の場合も,$x-3<0$より右辺$|x-3|$は$-(x-3)=3-x$となりますが,数直線上でも

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となるので,「大 引く 小」で同じく$|x-3|$は$3-x$となります.

このように,数直線上の3以上の$x$で考えるといずれの考え方でも$|x-3|=x-3$となり,3より小さい$x$で考えるといずれの考え方でも$|x-3|=3-x$となり,同じ結果が得られることになります.

問4の場合

問4の$|x-2|+|x-4|=8$では$x$が2と4の間にあるとき,「$x$と2の距離$|x-2|$」と「$x$と4の距離$|x-4|$」の和は「2と4の距離」に等しく,常に2になります.

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これは「大 引く 小」から$|x-4|=4-x$かつ$|x-2|=x-2$なので両者を足すと2になるからですね.

これは式変形で考えても同様のことが起こります.

$x$が$4>x\geqq2$を満たすとき,$x-2\geqq0>x-2$だから

\begin{align*} |x-2|+|x-4|=(x-2)-(x-4)=2 \end{align*}

となって,確かにいつでも一定値2となりますね.

いずれの考え方でも,左辺$|x-2|+|x-4|$は2となるので,右辺の8になり得ず解は存在しないというわけです.

$|x-a|$を「$x$と$a$の距離」という観点で見れば,距離は「大 引く 小」で考えることになるので,$a$と$x$の左右が入れ替わる$x\geqq a$と$x<a$で場合分けすることの妥当性がみてとれる.

最後までありがとうございました!

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