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ワンポイント数学2|絶対値の定義から一瞬で解ける問題

絶対値をきちんと定義から捉えられるようになると,ほとんど計算せず一瞬で答えが分かってしまう問題があります.

例えば,絶対値が絡んだ不等式$|x-3|<5$や方程式$|x-2|+|x-4|=6$は絶対値のイメージが分かっていればものの数秒で答えを出すことができます.

しかし,実際に予備校で教えていても,「絶対値は中身が0以上ならそのまま外す,中身が負ならマイナスをかけて外す」と絶対値の[性質]を言うことができる人は多いですが,これは絶対値の定義ではありません.

性質が言えることはそれで素晴らしいことですが,「じゃあ,これが成り立つ理由は?」を聞くと途端に考え込んでしまう人が多いのも事実です.

これは絶対値のイメージが意識できていないのが原因です.

絶対値のイメージをしっかり理解して,自信を持って絶対値を扱えるようにしてください.

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絶対値の定義

絶対値のイメージは「距離」です.

冒頭に書いたような「中身が0以上のときは中身の値になって,負のときは中身の値にマイナスがつくもの」というのは,絶対値の性質として正しいですが,定義ではありません.

絶対値の定義は次の通りです.

[絶対値] 実数$a$に対して,$a$と原点0との距離を$|a|$で表し,$|a|$を$a$の絶対値という.

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絶対値は$|3|$や$|-3|$のように$|\quad|$の間に数字を挟んで表しますが,なんということはなく絶対値は「原点との距離」を表しているだけなのです.

ここで大切なことは次の[事実]です.

実数$a$, $b$の大小関係が$b<a$であれば,$a$と$b$の距離は$a-b$である.

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いわゆる「距離は『大 引く 小』」です.中学で耳にタコができるほど言われた人もいるかもしれませんね.

要するに,数直線上の2点について,右にあるものから左にあるものを引けば2点間の距離が求まるということです.

数直線を思い浮かべて,以下の例を考えてください.

  • 2と原点0との距離は$2-0=2$ですから,$|2|=2$です.
  • $-2$と原点0との距離は$0-(-2)=2$ですから,$|-2|=2$です.
  • $\pi$と原点0との距離は$\pi-0=\pi$ですから,$|\pi|=\pi$です.
  • 0と原点0との距離は$0-0=0$ですから,$|0|=0$です.
  • $-\dfrac{2}{3}$と原点0との距離は$0-\bra{-\dfrac{2}{3}}=\dfrac{2}{3}$ですから,$\abs{-\dfrac{2}{3}}=\dfrac{2}{3}$です.

絶対値の定義と,いまみた事実を考えれば当たり前ですね?

帰結1

さて,次の[帰結1]も当たり前にしておきましょう.

[帰結1] 実数$a$, $b$に対して,$|a-b|$は$a$と$b$の距離を表す.

$|a-b|$を定義通りに言えば「$a-b$と原点0との距離」ですね.

数直線上で$a-b$を右にちょうど$b$だけ動かした$a$と,原点0を右にちょうど$b$だけ動かした$b$との距離も,並行移動しただけですから$|a-b|$です.

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したがって,$|a-b|$は$a$と$b$の距離を表すことが分かりました.

この[帰結1]は一度分かってしまえばアタリマエですが,非常に強力にはたらくことも多いです.

絶対値の定義から簡単に解ける問題

さて,[絶対値の定義]や[帰結1]をしっかり意識していれば,次のような問題は瞬時に解けます.

次の方程式,不等式を解け.

  1. $|x|=2$
  2. $|x|<2$
  3. $|x-3|\leqq5$
  4. $|x-2|+|x-4|=8$

答えは以下の通りになります.

問1

定義から$|x|$は$x$と原点0との距離を表す.よって,$|x|=2$は「$x$と原点0との距離が2」ということに他ならない.

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したがって,$x=\pm2$を得る.

問2

定義から$|x|$は$x$と原点0との距離を表す.よって,$|x|<2$は「$x$と原点0との距離が2より小さい」ということに他ならない.

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したがって,$-2<x<2$を得る.

問3

[帰結1]から$|x-3|$は$x$と3との距離を表す.よって,$|x-3|\leqq5$は「$x$と3との距離が5以下」ということに他ならない.

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したがって,$3-5<x<3+5$,すなわち$-2<x<8$を得る.

問4

[帰結1]から$|x-2|$は$x$と2との距離を表し,$|x-4|$は$x$と4との距離を表すから,$|x-2|+|x-4|=8$は「$x$と2との距離と,$x$と2との距離の和は8である」ということに他ならない.

2と4の距離は2なので,数直線上の2から左に3の点,数直線上の4から右に3の点は条件を満たす.

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したがって,$x=-1,7$を得る.

実数$a$, $b$に対して,$|a|$は数直線上の原点0と$a$の距離を表し,$|a-b|$は数直線上の$a$と$b$の距離を表す.

帰結2

絶対値の定義のイメージができていると非常に強力に使える様を感じて頂けたと思いますが,実際の記述答案では式変形で解くことが望まれます.

そこで,$a\ge0$のときの$|a|$と,$a<0$のときの$|a|$を分けて考えてみましょう.

[1] $a\geqq0$のとき,

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なので,

\begin{align*} |a|=a-0=a \end{align*}

となります.

[2] $a<0$のとき,

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なので,

\begin{align*} |a|=0-a=-a \end{align*}

となります.

[1]は$a=3$を,[2]は$a=-3$を代入して読んでみると分かりやすいと思います.

これらをまとめたものが,絶対値の定義から分かる帰結の2つ目です.

[帰結2] 絶対値について,次が成り立つ.

\begin{align*} |a|=\begin{cases}a&(a\ge0)\\-a&(a<0)\end{cases} \end{align*}

これが冒頭に書いた「絶対値の中身が正のとき……」の正体ですね.

この[帰結2]から先の問を解きましょう.

[再掲] 次の方程式,不等式を解け.

  1. $|x|=2$
  2. $|x|<2$
  3. $|x-3|\leqq5$
  4. $|x-2|+|x-4|=8$

絶対値がある場合には,絶対値の中身の正負で場合分けするのが定石です.

問1

  • $x\geqq0$
  • $x<0$

の場合に分けて考える.

[1] $x\geqq0$のとき,

$|x|=x$だから,

\begin{align*} |x|=2\iff x=2 \end{align*}

である.これは$x\geqq0$を満たす.

[2] $x<0$のとき,

$|x|=-x$だから,

\begin{align*} |x|=2\iff -x=2\iff x=-2 \end{align*}

である.これは$x<0$を満たす.

[1], [2]より,解は$x=\pm2$である.

問2

  • $x\geqq0$
  • $x<0$

の場合に分けて考える.

[1] $x\geqq0$のとき,

$|x|=x$だから,

\begin{align*} |x|<2\iff x<2 \end{align*}

である.これと$x\geqq0$を併せて$0\leqq x<2$である.

[2] $x<0$のとき,

$|x|=-x$だから,

\begin{align*} |x|=2 \iff& -x=2 \\\iff& x=-2 \end{align*}

である.これと$x<0$を併せて$-2<x<0$である.

[1], [2]より,解は$-2<x<2$である.

問3

  • $x\leqq3$
  • $x<3$

の場合に分けて考える.

[1] $x\geqq3$のとき,

$x-3\geqq0$より,$|x-3|=x-3$だから,

\begin{align*} |x-3|\leqq5 \iff& x-3\leqq5 \\\iff& x\leqq8 \end{align*}

である.これと$x\geqq3$を併せて$3\leqq x<8$である.

[2] $x<3$のとき,

$x-3<0$より,$|x-3|=-(x-3)$だから,

\begin{align*} |x-3|\leqq5 \iff& -(x-3)\leqq5 \\\iff& x\geqq-2 \end{align*}

である.これと$x<3$を併せて$-2\leqq x<3$である.

[1], [2]より,解は$-2\leqq x\leqq8$である.

問4

  • $x\geqq4$
  • $4>x\geqq2$
  • $x<2$

の場合に分けて考える.

[1] $x\geqq4$のとき,

$x-2\geqq x-4\geqq0$より,$|x-2|=x-2$かつ$|x-4|=x-4$だから,

\begin{align*} &|x-2|+|x-4|=8 \\\iff& (x-2)+(x-4)=8 \\\iff& x=7 \end{align*}

である.これは$x\geqq4$を満たす.

[2] $4>x\geqq2$のとき,

$x-2\geqq 0>x-4$より,$|x-2|=x-2$かつ$|x-4|=-(x-4)$だから,

\begin{align*} &|x-2|+|x-4|=8 \\\iff& (x-2)-(x-4)=8 \\\iff& 2=8 \end{align*}

である.どんな$x$に対してもこの式は満たし得ないから解なし.

[3] $2>x$のとき,

$0>x-2>x-4$より,$|x-2|=-(x-2)$かつ$|x-4|=-(x-4)$だから,

\begin{align*} &|x-2|+|x-4|=8 \\\iff& -(x-2)-(x-4)=8 \\\iff& x=-1 \end{align*}

である.これは$2>x$を満たす.

[1]-[3]より,解は$x=-1,7$である.

帰結1と帰結2の解法の関係

さて,以下の2つの解法を考えました.

  1. [絶対値]の定義と[帰結1]から数直線で考える解法
  2. [帰結2]から式変形で考える解法

最後に,これらは一見違った解法のように見えて,実は同じであることを見ておきましょう.

問3の場合

問3の$|x-3|\leqq5$では$x\geqq3$と$x<3$に分けて考えました.

$x\geqq3$の場合,$x-3\geqq0$より右辺$|x-3|$は$x-3$となりますが,数直線上でも

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となるので,「大 引く 小」で同じく$|x-3|$は$x-3$となります.

また,$x<3$の場合も,$x-3<0$より右辺$|x-3|$は$-(x-3)=3-x$となりますが,数直線上でも

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となるので,「大 引く 小」で同じく$|x-3|$は$3-x$となります.

このように,数直線上の3以上の$x$で考えるといずれの考え方でも$|x-3|=x-3$となり,3より小さい$x$で考えるといずれの考え方でも$|x-3|=3-x$となり,同じ結果が得られることになります.

問4の場合

問4の$|x-2|+|x-4|=8$では$x$が2と4の間にあるとき,「$x$と2の距離$|x-2|$」と「$x$と4の距離$|x-4|$」の和は「2と4の距離」に等しく,常に2になります.

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これは「大 引く 小」から$|x-4|=4-x$かつ$|x-2|=x-2$なので両者を足すと2になるからですね.

これは式変形で考えても同様のことが起こります.

$x$が$4>x\geqq2$を満たすとき,$x-2\geqq0>x-2$だから

\begin{align*} |x-2|+|x-4|=(x-2)-(x-4)=2 \end{align*}

となって,確かにいつでも一定値2となりますね.

いずれの考え方でも,左辺$|x-2|+|x-4|$は2となるので,右辺の8になり得ず解は存在しないというわけです.

$|x-a|$を「$x$と$a$の距離」という観点で見れば,距離は「大 引く 小」で考えることになるので,$a$と$x$の左右が入れ替わる$x\geqq a$と$x<a$で場合分けすることの妥当性がみてとれる.

最後までありがとうございました!

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