微分法１<br>微分係数とは？$y=f(x)$のグラフの接線を求めよう！

例えば「放物線$y=x^2$と直線$y=2x-1$は接するか？」という問題は，２次方程式$x^2=2x-1$の判別式$D$が$0$となるかどうかを調べるのがよくある解法です．

しかし，判別式$D$は２次式に対してしか使えないので，例えば対象が３次式になっただけで判別式による方法は使えないことになります．

微分法を用いると２次式でない多項式に対しても，$xy$平面上の曲線の接線の方程式を考えることができます．

微分法は非常に汎用性が高く，単に接線の方程式を求めるだけに留まらず，関数のグラフを描くことにも応用できます．

この記事では

直感的（図形的）な接線の考え方
微分係数の定義
微分係数の具体例（接線の方程式の求め方）

を順に説明します．

「微分法」の一連の記事

微分係数の定義と図形的意味
接線の方程式
1. 具体例１
2. 具体例２
「接線」の少し厳密な話（おまけ）

微分係数の定義と図形的意味

$xy$平面上の$y=f(x)$のグラフ上に点$\mrm{A}(a,f(a))$を考えます．このとき，点$\mrm{A}$での$y=f(x)$のグラフの接線$\ell$の方程式はどのように求めれば良いでしょうか？

直線の方程式の復習

次は当たり前にしておきましょう．

$xy$平面上の点$(a,b)$を通り，傾き$m$の直線$\ell$の方程式は

$\begin{align*}y=m(x-a)+b\end{align*}$

である．

つまり，直線の方程式を求めるためには，通る点と傾きさえ分かれば良いというわけですね．

$y=f(x)$の点$\mrm{A}(a,f(a))$での接線$\ell$は，当然のことながら点$\mrm{A}(a,f(a))$を通ります．

したがって，あとは直線$\ell$の傾きが分かれば，直線$\ell$の方程式が求まりますね．

図形と方程式３
直線の「傾き」の考え方と平行条件・垂直条件

１次関数$y=ax+b$のグラフはxy平面上の傾きをもつ直線になります．２つの直線y=ax+b,y=a'x+b'があるとき，これらの傾きに注目すると，これら２直線が平行か垂直かを判定することができます．

接線の傾きの考え方

それでは$y=f(x)$の点$\mrm{A}(a,f(a))$での接線$\ell$の傾きの求め方を考えましょう．

まず，点$\mrm{A}(a,f(a))$と異なる$y=f(x)$上の点$\mrm{B}(b,f(b))$をとり，直線$\mrm{AB}$を考えます．

このとき，直線$\mrm{AB}$の傾きは

$\begin{align*}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\end{align*}$

ですね．これを$a$から$b$までの$f$の平均変化率といいます．

この平均変化率で$b$を$a$に近づければ，直線$\mrm{AB}$の傾きは直線$\ell$の点$\mrm{A}$での接線の傾きに近付いていきますね．

微分係数の定義

いまの「$b$を$a$に近付ける」というのは数学の言葉では$b\to a$の極限といい，いまの場合

$\begin{align*}\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\end{align*}$

と表します．

なお，この関数の極限について詳しくは以下の記事を参照してください．

極限の基本１
lim(リミット)の意味は？極限の考え方

高校数学では「関数の極限」は微分を定義するために導入することになります．しかし，そこではあまり深く踏み込まないので，曖昧なままなってしまう人が多く見受けられます．この記事では関数の極限の考え方を基礎から説明します．

以上の考察を踏まえ，以下の定義を見てみましょう．

[平均変化率，微分係数]　関数$f$と実数$a$, $b$に対して，$a$から$b$までの$f$の平均変化率$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$の$b\to a$の極限

$\begin{align*}\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\end{align*}$

が存在するとき，$f$は$a$で微分可能であるという．

また，この極限を関数$f$の$a$における微分係数といい$f'(a)$と表す．

また，$b-a=h$とおくと$b\to a$のとき$h\to0$となるので，

$\begin{align*}f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\end{align*}$

となります．こちらの書き方で微分係数を定義することもあるので注意してください．

なお，この２つ定義式については以下の記事で詳しく説明しています．

ワンポイント数学５｜２つの微分の定義式を図から理解しよう

関数fのaでの微分係数f'(a)はy=f(x)のグラフの接線の傾きをもとに定義されます．f'(a)の定義式は２通りで書かれることが多いのですが，どちらも本質的に同じでもちろん計算結果も等しくなります．

微分係数の存在

定義の中に「極限$\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$が存在するとき，」とあるように，極限$\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$が存在しないこともあります．

このときは$f$は$a$で微分不可能であるといいますが，多項式は任意の実数$a$においても微分可能なので，多項式の微分のみを扱う数学IIの範囲では微分可能性を気にする必要はありません．

そのため微分可能でない例については主に数学IIIの範囲ですが，気になる方は以下の記事を参照してください．

ワンステップ数学５
微分不可能な例と直感的な理解

微分可能な関数fの導関数f'を考えることによりグラフy=f(x)の接線の傾きを考えることができるのでしたが，関数fはいつでも微分可能とは限りません．この記事では微分不可能な関数の直感的な理解と具体例を解説しています

接線の方程式

以上から，$xy$平面上の$y=f(x)$のグラフの接線の方程式は次で得られますね．

実数$a$と関数$f$に対して，$f$は$a$で微分可能であるとする．このとき，$xy$平面上の$y=f(x)$のグラフの$a$での接線は

$\begin{align*}y=f'(a)(x-a)+f(a)\end{align*}$

である．

大切なことは$xy$平面上の$y=f(x)$のグラフの$x=a$での接線の傾きが微分係数$f'(a)$であるということですね．

具体例１

$xy$平面上の$y=x^2$のグラフの$x=1$での接線の方程式を求めよ．

$f(x)=x^{2}$とする．$y=f(x)$の$x=1$での接線は点$(1,f(1))$すなわち$(1,1)$を通る．

また，$f$の$1$での微分係数$f'(1)$は

$\begin{align*}f'(1) =&\lim_{b\to1}\frac{f(b)-f(1)}{b-1} =\lim_{b\to1}\frac{b^{2}-1}{b-1} \\=&\lim_{b\to1}\frac{(b-1)(b+1)}{b-1} =\lim_{b\to1}(b+1) =2\end{align*}$

だから，接線の傾きは$2$である．よって，求める接線の方程式は

$\begin{align*}&y=2(x-1)+1 \\\iff& y=2x-1\end{align*}$

となる．

直線の方程式は「通る点」と「傾き」が分かれば求められるということを意識してください．

具体例２

$xy$平面上の$y=2x^{3}$のグラフの$x=-1$での接線の方程式を求めよ．

$f(x)=2x^{3}$とする．$y=f(x)$の$x=-1$での接線は点$(-1,f(-1))$すなわち$(-1,-2)$を通る．

また，$f$の$-1$での微分係数$f'(-1)$は

$\begin{align*}f'(-1) =&\lim_{b\to-1}\frac{f(b)-f(-1)}{b-(-1)} =\lim_{b\to-1}\frac{2b^{3}-(-2)}{b+1} \\=&\lim_{b\to-1}\frac{2(b+1)(b^2-b+1)}{b+1} =\lim_{b\to-1}2(b^2-b+1) =6\end{align*}$