接線の方程式はどう求める？[微分係数]の考え方を理解しよう

例えば「放物線$y=x^2$と直線$y=2x-1$は接するか？」という問題は，判別式$D$を用いて$D=0$となるのかどうかを調べるのがよくある方法です．

しかし，判別式$D$は２次式に対してしか使えないので，例えば３次式になっただけで判別式による方法は使えないことになります．

そこで，この記事から説明していく微分法を用いると，２次式でない場合にも$xy$平面上の曲線の「接線の方程式」を考えることができます．

「微分法」は非常に汎用性が高く，単に接線の方程式を求めるだけに留まらず，関数のグラフを描くことにも応用できます．

この記事では

直感的(図形的)な接線の考え方
微分係数の定義
微分係数の具体例(接線の方程式の求め方)

を説明します．

一連の記事はこちら

【微分法１｜グラフの接線はどう考える？[微分係数]を理解する】←この記事
【微分法２｜微分係数から導関数へ！導関数の考え方をマスター】
【微分法３｜多項式の導関数を求める公式と導関数の基本性質】
【微分法４｜y=f(x)のグラフの描き方は４ステップでOK】
【微分法５｜導関数から極大値，極小値を求める方法】
【微分法６｜関数の最大値，最小値は微分を使うのが鉄板！】
【微分法７｜グラフを使った[実数解の個数]と[不等式の証明]】

1 微分係数の定義と図形的意味
2 接線の方程式
- 2.1 接線の定義と接線の方程式
- 2.2 接線の具体例

微分係数の定義と図形的意味

$xy$平面上の$y=f(x)$のグラフ上に点$\mrm{A}(a,f(a))$を考えます．

このとき，点Aでの$y=f(x)$のグラフの接線を求めましょう．

直線の方程式の復習

次は当たり前にしておきたい公式ですね．

$xy$平面上において，点$(a,b)$を通り，傾きが$m$の直線の方程式は，

$\begin{align*} y=m(x-a)+b \end{align*}$

と表せる．

この公式から，直線の方程式を求めるためには

通る点
傾き

が分かれば良いということが分かります．

さて，$y=f(x)$の点$\mrm{A}(a,f(a))$での接線$\ell$は，当然のことながら点$\mrm{A}(a,f(a))$を通ります．

したがって，あとは直線$\ell$の傾きが分かれば，直線$\ell$の方程式が求まりますね．

【図形と方程式３｜直線の「傾き」の考え方を理解しよう！】

中学校以来，$xy$平面上の直線としては「傾きをもつ直線」を考えるのが基本的でした．この記事では，「直線の傾き」の考え方を説明し，直線の方程式は「傾き」と「通る点」により求められることを説明します．

接線の傾きの考え方

まず，点$\mrm{A}(a,f(a))$と異なる$y=f(x)$上の点$\mrm{B}(b,f(b))$をとり，直線ABを考えます．

このとき，直線ABの傾きは

$\begin{align*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}$

ですね．ここで$b$を$a$に近づければ，直線ABの傾きは直線$\ell$の点Aでの接線の傾きに近付いていきますね．

よって，$b$を$a$に近づけると直線ABの傾き$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$は接線$\ell$の傾きに近付くことがみてとれますね．

さて，この「$b$を$a$に近付ける」というのは数学の言葉では$b\to a$の極限といい，いまの場合

$\begin{align*} \lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}$

と表します．

この計算についてはあとで説明しますので，いまの段階では接線の傾きの考え方をフォローしておいてください．

なお，関数の極限については以下の記事で丁寧に説明しています．

【極限の基本１｜lim(リミット)の意味は？極限の考え方】

極限は代入ではなく「近付ける」というところに良さがあります．たとえば，$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$について，分母が０になってしまうので$b=a$とすることはできませんが，$b\to a$と近付けることは問題がありません．この記事では，極限の考え方を説明します．

微分係数の定義

以上の考察を踏まえ，以下の定義を見てみましょう．

[平均変化率，微分係数]　関数$f(x)$と実数$a$, $b$に対して，

$\begin{align*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}$

を$x$が$a$から$b$まで変化するときの関数$f(x)$の平均変化率という．また，極限

$\begin{align*} \lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}$

が存在するとき，$f(x)$は$x=a$で微分可能であるという．また，この極限を関数$f(x)$の$x=a$における微分係数といい，$f'(a)$と表す．

$x$が$a$から$b$まで変化したとき，$f(x)$は$f(a)$から$f(b)$まで変化しますね．

「平均変化率」は，直線の「変化の割合」と同じ定義式ですが，一般に関数$f(x)$は「曲がって」いるので，「平均変化率」が一定であるとは限りません．

ただし，定義の中に「極限$\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$が存在するとき，」とあるように，極限$\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$が存在しないこともあります．

微分可能でない例については主に数学IIIの範囲ですが，気になる方は以下の記事を参照してください．

【ワンステップ数学５｜微分不可能な例と直感的な理解】

大雑把にいえば，$y=f(x)$の接線を考えることができないようなとき，$f(x)$は微分不可能であるといいます．たとえば，$y=|x|$のグラフは原点で尖るため，原点での接線を考えることができず，微分不可能となります．この記事では，微分不可能な例を扱います．

「微分係数」は「平均変化率」の極限で定義される．「傾きの極限」という図形的なイメージがあれば，定義式は自分で導くことができる．

接線の方程式

微分係数を用いて，接線の方程式を導出します．

接線の定義と接線の方程式

前後しますが，ここで「接線」について定義しておきます．

今まで何度も「接線」という言葉を使ってきましたが，「接線」とは一体なんなのでしょうか？

実はこれまでに，放物線では判別式で「接する」ということは定義してきましたが，放物線以外で「接線」についての定義はされてきませんでした．

「微分係数」を定義したことによって，次のように「接線」を定義することができます．

関数$f(x)$と実数$a$に対して，$f(x)$は$x=a$で微分可能であるとする．このとき，傾き$f'(a)$で点$\mrm{A}(a,f(a))$を通る直線$\ell$を曲線$y=f(x)$の点Aにおける接線という．また，点Aを接線$\ell$の接点という．

もともと「接線」が何なのかを定義していないため，「接線」を定義するために「微分係数」を用いたというわけですね．

さて，$y=f(x)$の点$(a,f(a))$での接線$\ell$は

点$(a,f(a))$を通り
傾き$f'(a)$

なので，先ほどの直線の方程式の公式から次のようになりますね．

$a$を実数とし，関数$f(x)$は$x=a$で微分可能であるとする．このとき，$xy$平面上において，$y=f(x)$の$x=a$での接線は

$\begin{align*} y=f'(a)(x-a)+f(a) \end{align*}$

である．

関数$f(x)$の$x=a$での微分係数$f'(a)$は，点$(a,f(a))$における$y=f(x)$の接線$\ell$の傾きを表す．よって，接線$\ell$の方程式は$y=f'(a)(x-a)+f(a)$と表せる．

接線の具体例

次の例を考えます．

次の関数$f(x)$と実数$a$に対して，$x=a$での$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．

$f(x)=x^{2}$, $a=1$
$f(x)=2x^{3}$, $a=-1$

(1)　$f(x)=x^{2}$より

$\begin{align*} f'(1) =&\lim_{b\to1}\frac{f(b)-f(1)}{b-1} \\=&\lim_{b\to1}\frac{b^{2}-1}{b-1} \\=&\lim_{b\to1}\frac{(b-1)(b+1)}{b-1} \\=&\lim_{b\to1}(b+1) \\=&2 \end{align*}$

なので，$f'(1)=2$となります．いま，$y=f(x)$の$x=1$での接線は点$(1,f(1))$，すなわち$(1,1)$を通るので，

$\begin{align*} &y=2(x-1)+1 \\\iff& y=2x-1 \end{align*}$

となります．

(2)　$f(x)=2x^{3}$より

$\begin{align*} f'(-1) =&\lim_{b\to-1}\frac{f(b)-f(-1)}{b-(-1)} \\=&\lim_{b\to-1}\frac{2b^{3}-(-2)}{b+1} \\=&\lim_{b\to-1}\frac{2(b+1)(b^2-b+1)}{b+1} \\=&\lim_{b\to-1}2(b^2-b+1) \\=&6 \end{align*}$