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微分法1|グラフの接線はどう考える?[微分係数]を理解する

xy平面上の放物線y=f(x)と直線y=g(x)が接するかどうかといった問題は,判別式Dを用いてD=0となるのかどうかを調べるのがよくある方法です.

このタイプの問題は「放物線」と「直線」が与えられていて,それらが接するかどうかの判定です.

さて,これから解説する「微分」を用いると,「放物線」と「放物線上の点A」が与えられれば,点Aでの放物線の「接線」を求めることができます.

「微分」は非常に汎用性が高く,放物線だけでなく,そのほか多くの関数に対しても接線を求めることができます.

この記事では,「微分」を図形的な意味から解説します.

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微分係数の定義と図形的意味

xy平面上のy=f(x)のグラフ上に点\mrm{A}(a,f(a))を考えます.

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このとき,点Aでのy=f(x)のグラフの接線を求めましょう.

直線の方程式の復習

次は当たり前にしておきたい公式ですね.

xy平面上において,点(a,b)を通り,傾きがmの直線の方程式は,

\begin{align*} y=m(x-a)+b \end{align*}

と表せる.

この公式から,直線の方程式を求めるためには

  1. 通る点
  2. 傾き

が分かれば良いということが分かります.

さて,y=f(x)の点\mrm{A}(a,f(a))での接線\ellは,当然のことながら点\mrm{A}(a,f(a))を通ります.

したがって,あとは直線\ellの傾きが分かれば,直線\ellの方程式が求まりますね.

接線の傾きの考え方

まず,点\mrm{A}(a,f(a))と異なるy=f(x)上の点\mrm{B}(b,f(b))をとり,直線ABを考えます.

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このとき,直線ABの傾きは

\begin{align*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}

ですね.ここで ba に近づければ,直線ABの傾きは直線\ellの点Aでの接線の傾きに近付いていきますね.

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よって, ba に近づけると直線ABの傾き\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}は接線\ellの傾きに近付くことがみてとれますね.

さて,この「 ba に近付ける」というのは数学の言葉ではb\to a極限といい,いまの場合

\begin{align*} \lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}

と表します.

この計算についてはあとで説明しますので,いまの段階では接線の傾きの考え方をフォローしておいてください.

なお,関数の極限については以下の記事で丁寧に説明しています.

微分係数の定義

以上の考察を踏まえ,以下の定義を見てみましょう.

[平均変化率,微分係数] 関数f(x)と実数 a , b に対して,

\begin{align*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}

xa から b まで変化するときの関数f(x)平均変化率という.また,極限

\begin{align*} \lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}

が存在するとき,f(x)x=a微分可能であるという.また,この極限を関数f(x)x=aにおける微分係数といい,f'(a)と表す.

xa から b まで変化したとき,f(x)f(a)からf(b)まで変化しますね.

「平均変化率」は,直線の「変化の割合」と同じ定義式ですが,一般に関数f(x)は「曲がって」いるので,「平均変化率」が一定であるとは限りません.

ただし,定義の中に「極限\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}が存在するとき,」とあるように,極限\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}が存在しないこともあります.

微分可能でない例については主に数学IIIの範囲ですが,気になる方は以下の記事を参照してください.

「微分係数」は「平均変化率」の極限で定義される.「傾きの極限」という図形的なイメージがあれば,定義式は自分で導くことができる.

接線の方程式

微分係数を用いて,接線の方程式を導出します.

接線の定義と接線の方程式

前後しますが,ここで「接線」について定義しておきます.

今まで何度も「接線」という言葉を使ってきましたが,「接線」とは一体なんなのでしょうか?

実はこれまでに,放物線では判別式で「接する」ということは定義してきましたが,放物線以外で「接線」についての定義はされてきませんでした.

「微分係数」を定義したことによって,次のように「接線」を定義することができます.

関数f(x)と実数 a に対して,f(x)x=aで微分可能であるとする.このとき,傾きf'(a)で点\mrm{A}(a,f(a))を通る直線\ellを曲線y=f(x)の点Aにおける接線という.また,点Aを接線\ell接点という.

もともと「接線」が何なのかを定義していないため,「接線」を定義するために「微分係数」を用いたというわけですね.

さて,y=f(x)の点(a,f(a))での接線\ell

  • (a,f(a))を通り
  • 傾きf'(a)

なので,先ほどの直線の方程式の公式から次のようになりますね.

a を実数とし,関数f(x)x=aで微分可能であるとする.このとき,xy平面上において,y=f(x)x=aでの接線は

\begin{align*} y=f'(a)(x-a)+f(a) \end{align*}

である.

関数f(x)x=aでの微分係数f'(a)は,点(a,f(a))におけるy=f(x)の接線\ellの傾きを表す.よって,接線\ellの方程式はy=f'(a)(x-a)+f(a)と表せる.

接線の具体例

次の例を考えます.

次の関数f(x)と実数 a に対して,x=aでのy=f(x)の接線の方程式を求めよ.

  1. f(x)=x^{2}, a=1
  2. f(x)=2x^{3}, a=-1

(1) f(x)=x^{2}より

\begin{align*} f'(1) =&\lim_{b\to1}\frac{f(b)-f(1)}{b-1} \\=&\lim_{b\to1}\frac{b^{2}-1}{b-1} \\=&\lim_{b\to1}\frac{(b-1)(b+1)}{b-1} \\=&\lim_{b\to1}(b+1) \\=&2 \end{align*}

なので,f'(1)=2となります.いま,y=f(x)x=1での接線は点(1,f(1)),すなわち(1,1)を通るので,

\begin{align*} &y=2(x-1)+1 \\\iff& y=2x-1 \end{align*}

となります.

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(2) f(x)=2x^{3}より

\begin{align*} f'(-1) =&\lim_{b\to-1}\frac{f(b)-f(-1)}{b-(-1)} \\=&\lim_{b\to-1}\frac{2b^{3}-(-2)}{b+1} \\=&\lim_{b\to-1}\frac{2(b+1)(b^2-b+1)}{b+1} \\=&\lim_{b\to-1}2(b^2-b+1) \\=&6 \end{align*}

なので,f'(-1)=6となります.いま,y=f(x)x=-1での接線は点(-1,f(-1)),すなわち(-1,-2)を通るので,

\begin{align*} &y=6(x-(-1))-2 \\\iff& y=6x+4 \end{align*}

となります.

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直線の方程式が傾きと通る点から分かることに注意すれば,簡単に方程式が得られますね.

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