接線の方程式はどう求める？[微分係数]の考え方を理解しよう

$xy$ 平面上の放物線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ が接するかどうかといった問題は，判別式 $D$ を用いて $D=0$ となるのかどうかを調べるのがよくある方法です．

このタイプの問題は「放物線」と「直線」が与えられていて，それらが接するかどうかの判定です．

さて，これから解説する「微分」を用いると，「放物線」と「放物線上の点A」が与えられれば，点Aでの放物線の「接線」を求めることができます．

「微分」は非常に汎用性が高く，放物線だけでなく，そのほか多くの関数に対しても接線を求めることができます．

この記事では，「微分」を図形的な意味から解説します．

一連の記事はこちら

【微分法１｜グラフの接線はどう考える？[微分係数]を理解する】←この記事
【微分法２｜微分係数から導関数へ！導関数の考え方をマスター】
【微分法３｜多項式の導関数を求める公式と導関数の基本性質】
【微分法４｜y=f(x)のグラフの描き方は４ステップでOK】
【微分法５｜導関数から極大値，極小値を求める方法】
【微分法６｜関数の最大値，最小値は微分を使うのが鉄板！】
【微分法７｜グラフを使った[実数解の個数]と[不等式の証明]】

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微分係数の定義と図形的意味

$xy$ 平面上の $y=f(x)$ のグラフ上に点 $\mrm{A}(a,f(a))$ を考えます．

このとき，点Aでの $y=f(x)$ のグラフの接線を求めましょう．

直線の方程式の復習

次は当たり前にしておきたい公式ですね．

$xy$ 平面上において，点 $(a,b)$ を通り，傾きが $m$ の直線の方程式は，

$\begin{align*} y=m(x-a)+b \end{align*}$

と表せる．

この公式から，直線の方程式を求めるためには

通る点
傾き

が分かれば良いということが分かります．

さて， $y=f(x)$ の点 $\mrm{A}(a,f(a))$ での接線 $\ell$ は，当然のことながら点 $\mrm{A}(a,f(a))$ を通ります．

したがって，あとは直線 $\ell$ の傾きが分かれば，直線 $\ell$ の方程式が求まりますね．

【図形と方程式３｜直線の「傾き」の考え方を理解しよう！】

中学校以来， $xy$ 平面上の直線としては「傾きをもつ直線」を考えるのが基本的でした．この記事では，「直線の傾き」の考え方を説明し，直線の方程式は「傾き」と「通る点」により求められることを説明します．

接線の傾きの考え方

まず，点 $\mrm{A}(a,f(a))$ と異なる $y=f(x)$ 上の点 $\mrm{B}(b,f(b))$ をとり，直線ABを考えます．

このとき，直線ABの傾きは

$\begin{align*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}$

ですね．ここで b を a に近づければ，直線ABの傾きは直線 $\ell$ の点Aでの接線の傾きに近付いていきますね．

よって， b を a に近づけると直線ABの傾き $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ は接線 $\ell$ の傾きに近付くことがみてとれますね．

さて，この「 b を a に近付ける」というのは数学の言葉では $b\to a$ の極限といい，いまの場合

$\begin{align*} \lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}$

と表します．

この計算についてはあとで説明しますので，いまの段階では接線の傾きの考え方をフォローしておいてください．

なお，関数の極限については以下の記事で丁寧に説明しています．

【極限の基本１｜lim(リミット)の意味は？極限の考え方】

極限は代入ではなく「近付ける」というところに良さがあります．たとえば， $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ について，分母が０になってしまうので $b=a$ とすることはできませんが， $b\to a$ と近付けることは問題がありません．この記事では，極限の考え方を説明します．

微分係数の定義

以上の考察を踏まえ，以下の定義を見てみましょう．

[平均変化率，微分係数]　関数 $f(x)$ と実数 a , b に対して，

$\begin{align*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}$

を x が a から b まで変化するときの関数 $f(x)$ の平均変化率という．また，極限

$\begin{align*} \lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}$

が存在するとき， $f(x)$ は $x=a$ で微分可能であるという．また，この極限を関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数といい， $f'(a)$ と表す．

x が a から b まで変化したとき， $f(x)$ は $f(a)$ から $f(b)$ まで変化しますね．

「平均変化率」は，直線の「変化の割合」と同じ定義式ですが，一般に関数 $f(x)$ は「曲がって」いるので，「平均変化率」が一定であるとは限りません．

ただし，定義の中に「極限 $\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ が存在するとき，」とあるように，極限 $\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ が存在しないこともあります．

微分可能でない例については主に数学IIIの範囲ですが，気になる方は以下の記事を参照してください．

【ワンステップ数学５｜微分不可能な例と直感的な理解】

大雑把にいえば， $y=f(x)$ の接線を考えることができないようなとき， $f(x)$ は微分不可能であるといいます．たとえば， $y=|x|$ のグラフは原点で尖るため，原点での接線を考えることができず，微分不可能となります．この記事では，微分不可能な例を扱います．

「微分係数」は「平均変化率」の極限で定義される．「傾きの極限」という図形的なイメージがあれば，定義式は自分で導くことができる．

接線の方程式

微分係数を用いて，接線の方程式を導出します．

接線の定義と接線の方程式

前後しますが，ここで「接線」について定義しておきます．

今まで何度も「接線」という言葉を使ってきましたが，「接線」とは一体なんなのでしょうか？

実はこれまでに，放物線では判別式で「接する」ということは定義してきましたが，放物線以外で「接線」についての定義はされてきませんでした．

「微分係数」を定義したことによって，次のように「接線」を定義することができます．

関数 $f(x)$ と実数 a に対して， $f(x)$ は $x=a$ で微分可能であるとする．このとき，傾き $f'(a)$ で点 $\mrm{A}(a,f(a))$ を通る直線 $\ell$ を曲線 $y=f(x)$ の点Aにおける接線という．また，点Aを接線 $\ell$ の接点という．

もともと「接線」が何なのかを定義していないため，「接線」を定義するために「微分係数」を用いたというわけですね．

さて， $y=f(x)$ の点 $(a,f(a))$ での接線 $\ell$ は

点 $(a,f(a))$ を通り
傾き $f'(a)$

なので，先ほどの直線の方程式の公式から次のようになりますね．

a を実数とし，関数 $f(x)$ は $x=a$ で微分可能であるとする．このとき， $xy$ 平面上において， $y=f(x)$ の $x=a$ での接線は

$\begin{align*} y=f'(a)(x-a)+f(a) \end{align*}$

である．

関数 $f(x)$ の $x=a$ での微分係数 $f'(a)$ は，点 $(a,f(a))$ における $y=f(x)$ の接線 $\ell$ の傾きを表す．よって，接線 $\ell$ の方程式は $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ と表せる．

接線の具体例

次の例を考えます．

次の関数 $f(x)$ と実数 a に対して， $x=a$ での $y=f(x)$ の接線の方程式を求めよ．

$f(x)=x^{2}$ , $a=1$
$f(x)=2x^{3}$ , $a=-1$

(1)　 $f(x)=x^{2}$ より

$\begin{align*} f'(1) =&\lim_{b\to1}\frac{f(b)-f(1)}{b-1} \\=&\lim_{b\to1}\frac{b^{2}-1}{b-1} \\=&\lim_{b\to1}\frac{(b-1)(b+1)}{b-1} \\=&\lim_{b\to1}(b+1) \\=&2 \end{align*}$

なので， $f'(1)=2$ となります．いま， $y=f(x)$ の $x=1$ での接線は点 $(1,f(1))$ ，すなわち $(1,1)$ を通るので，

$\begin{align*} &y=2(x-1)+1 \\\iff& y=2x-1 \end{align*}$

となります．

(2)　 $f(x)=2x^{3}$ より

$\begin{align*} f'(-1) =&\lim_{b\to-1}\frac{f(b)-f(-1)}{b-(-1)} \\=&\lim_{b\to-1}\frac{2b^{3}-(-2)}{b+1} \\=&\lim_{b\to-1}\frac{2(b+1)(b^2-b+1)}{b+1} \\=&\lim_{b\to-1}2(b^2-b+1) \\=&6 \end{align*}$