微分法１｜微分係数の定義と図形的意味，接線の定義

$xy$ 平面上の放物線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ が接するかどうかといった問題は，判別式 $D$ を用いて $D=0$ となるのかどうかを調べるのがよくある方法です．

このタイプの問題は「放物線」と「直線」が与えられていて，それらが接するかどうかの判定です．

さて，これから解説する「微分」を用いると，「放物線」と「放物線上の点 $\mrm{A}$ 」が与えられれば，点 $\mrm{A}$ での放物線の「接線」を求めることができます．

「微分」は非常に汎用性が高く，放物線だけでなく，そのほか多くの関数に対しても接線を求めることができます．

この記事では，「微分」を図形的な意味から解説します．

【SPONSORED LINK】

1 微分係数の定義と図形的意味
2 接線の定義と接線の方程式
- 2.1 接線の定義
- 2.2 接線の方程式
3 接線の方程式の導出の例
- 3.1 例1
- 3.2 例2

微分係数の定義と図形的意味

$x=a$ における曲線 $y=f(x)$ の「接線」 $\ell$ の方程式を求めることを考えます．

直線の方程式の復習

次は当たり前にしておきたい公式ですね．

$xy$ 平面上において，点 $(a,b)$ を通り，傾きが $m$ の直線の方程式は，

$\begin{align*} y=m(x-a)+b \end{align*}$

と表せる．

この公式から，直線の方程式を求めるためには

通る点
傾き

が分かれば良いということが分かります．

【図形と方程式３｜直線の方程式の導出】

$xy$ 平面上の直線の方程式は，通る2点が分かるパターンなどいろいろな場合に求めることができますが，「通る点」と「傾き」に落とし込んで考える場合がほとんどです．

さて， $x=a$ で $y=f(x)$ と接する直線 $\ell$ が，点 $\mrm{A}(a,f(a))$ を通ることは分かります．

ですから，あとは直線 $\ell$ の傾きが分かれば，直線 $\ell$ の方程式は求まりますね．

接線の傾きの考え方

$\ell$ の傾きを求めるために，次のように考えます．

[考え方]

$xy$ 平面上に，点 $\mrm{A}(a,f(a))$ と異なる $y=f(x)$ 上の点 $\mrm{B}(b,f(b))$ を考える．

このとき，直線 $\mrm{AB}$ の傾きは $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ である．

$b\to a$ とすれば，直線 $\mrm{AB}$ の傾きは $\ell$ の点 $\mrm{A}$ での接線の傾きに近付いていくから，極限 $\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ が $\ell$ の点 $\mrm{A}$ での接線の傾きとなる(はず)．

【参考記事：極限の基本１｜lim(リミット)は何を意味しているのか】

[考え方終]

ただし，図で $a<b$ の場合と $b<a$ で分けているのは，極限 $\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ を考えている以上， $b$ は $a$ より大きい方からも， $a$ より小さい方からも近付けて同じ値に近付かなければならないからです．

詳しくは後述します．

微分係数の定義

以上の考察を踏まえ，以下の定義を見てみます．

[平均変化率，微分係数]　関数 $f(x)$ と実数 $a$ , $b$ に対して，

$\begin{align*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}$

を「 $x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの関数 $f(x)$ の平均変化率」という．

また，極限

$\begin{align*} \lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}$

が存在するとき， $f(x)$ は $x=a$ で微分可能であるという．また，この極限を「関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数」といい， $f'(a)$ と表す．

$x$ が $a$ から $b$ まで変化したとき， $f(x)$ は $f(a)$ から $f(b)$ まで変化しますね．

「平均変化率」は，直線の「変化の割合」と同じ定義式ですが，一般に関数 $f(x)$ は「曲がって」いるので，「平均変化率」が一定であるとは限りません．

ただし，注意としては，定義の中に「極限 $\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ が存在するとき，」とあるように，極限 $\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ が存在しないこともあります．

補足1

$\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ をみたとき，「分母が0になるけど， $b=a$ を代入していいの？」と思った人がいるかもしれません．

確かに，数学において分母が0のものを考えるのはご法度ですから， $b=1$ を代入するのは分母が0になってしまい，よくありません．

しかし，今考えているのは「極限」であって「代入」ではありません．

「極限」はあくまで「近付ける」ということであって，むしろ $b$ が $a$ に近付きはしても $b=a$ にはならないのです．そのため， $b\neq a$ なので，問題なく $\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ を考えることができるというわけです．

【関連記事：ワンポイント数学４｜０で割ってはいけない理由】

補足2

[平均変化率，微分係数]の中で「極限

$\begin{align*} \lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}$

が存在するとき， $f(x)$ は $x=a$ で微分可能であるという．」と書いたことからも察せられるように，極限 $\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ が存在しないこともあります．

そのような極限が存在しない場合については，以下の記事を参考にしてください．

【参考記事：ワンステップ数学３｜微分不可能な例と直感的な理解】

「微分係数」は「平均変化率」の極限で定義される．「傾きの極限」という図形的なイメージがあれば，定義式は自分で導くことができる．

接線の定義と接線の方程式

微分係数を用いて，接線の方程式を導出します．

接線の定義

前後しますが，ここで「接線」について定義しておきます．今まで何度も「接線」という言葉を使ってきましたが，「接線」とは一体なんなのでしょうか？

実はこれまでに，放物線では判別式で「接する」ということは定義してきましたが，放物線以外で「接線」についての定義はされてきませんでした．

「微分係数」を定義したことによって，次のように「接線」を定義することができます．

[接線]　関数 $f(x)$ と実数 $a$ に対して， $f(x)$ は $x=a$ で微分可能であるとする．このとき，傾き $f'(a)$ で点 $\mrm{A}(a,f(a))$ を通る直線 $\ell$ を曲線 $y=f(x)$ の点Aにおける接線という．

また，点Aを接線 $\ell$ の接点という．

微分係数を定義するとき，

「『接線の傾きを微分係数とする』と定義してはダメなのか……？」

と思った人もいるかもしれません．

もともと「接線」が何なのかを定義しておらず，「接線」の定義するために「微分係数」を用いました．そのため，「微分係数」の定義に「接線」という言葉を用いると循環論法になってしまうのです．

つまり，今まで「接線」が何なのかを定義してこなかった以上，「微分係数」を「接線の傾き」と定義するわけにはいかず，平均変化率の極限として微分係数を定義し，そのあとで「接線」を定義する，という手順をとらざるを得なかったわけです．

「微分係数」は「接線の傾き」を表す．

接線の方程式

さて，微分係数を用いて， $y=f(x)$ の点 $(a,f(a))$ での接線 $\ell$ は次のように表せます．

[接線]　 $a$ を実数とし，関数 $f(x)$ は $x=a$ で微分可能であるとする． $xy$ 平面上において， $y=f(x)$ の $x=a$ での接線は

$\begin{align*} y=f'(a)(x-a)+f(a) \end{align*}$

と表せる．

このことに納得できるでしょうか？

先ほど書いた[事実]から，直線の方程式を求めるためには

通る点
傾き

が分かれば良いのでした．

「接線は点 $(a,f(a))$ を通ることが分かっており，傾きが $x=a$ での $f(x)$ の微分係数 $f'(a)$ に一致するので，直線の方程式が分かる」ということですね．

【参考記事：図形と方程式の基本３｜直線の方程式の導出】

接線の方程式の導出の例

次の例を考えます．

関数 $f(x)=x^{2}$ の $x=1$ での接線の方程式を求めよ．
関数 $f(x)=2x^{3}$ の $x=-1$ での接線の方程式を求めよ．

例1

$f(x)=x^{2}$ のとき，

$\begin{align*} f'(1) =&\lim_{b\to1}\frac{f(b)-f(1)}{b-1} \\=&\lim_{b\to1}\frac{b^{2}-1}{b-1} \\=&\lim_{b\to1}\frac{(b-1)(b+1)}{b-1} \\=&\lim_{b\to1}(b+1) \\=&2 \end{align*}$

なので， $f'(1)=2$ となります．いま， $y=f(x)$ の $x=1$ での接線は点 $(1,f(1))$ ，すなわち $(1,1)$ を通るので，

$\begin{align*} &y=2(x-1)+1 \\\iff& y=2x-1 \end{align*}$

となる．

例2

$f(x)=2x^{3}$ のとき，

$\begin{align*} f'(-1) =&\lim_{b\to-1}\frac{f(b)-f(-1)}{b-(-1)} \\=&\lim_{b\to-1}\frac{2b^{3}-(-2)}{b+1} \\=&\lim_{b\to-1}\frac{2(b+1)(b^2-b+1)}{b+1} \\=&\lim_{b\to-1}2(b^2-b+1) \\=&6 \end{align*}$