微分法1|グラフの接線はどう考える?[微分係数]を理解する

例えば「放物線$y=x^2$と直線$y=2x-1$は接するか?」という問題は,判別式$D$を用いて$D=0$となるのかどうかを調べるのがよくある方法です.

しかし,判別式$D$は2次式に対してしか使えないので,例えば3次式になっただけで判別式による方法は使えないことになります.

そこで,この記事から説明していく微分法を用いると,2次式でない場合にも$xy$平面上の曲線の「接線の方程式」を考えることができます.

「微分法」は非常に汎用性が高く,単に接線の方程式を求めるだけに留まらず,関数のグラフを描くことにも応用できます.

この記事では

  • 直感的(図形的)な接線の考え方
  • 微分係数の定義
  • 微分係数の具体例(接線の方程式の求め方)

を説明します.

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微分係数の定義と図形的意味

$xy$平面上の$y=f(x)$のグラフ上に点$\mrm{A}(a,f(a))$を考えます.

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このとき,点Aでの$y=f(x)$のグラフの接線を求めましょう.

直線の方程式の復習

次は当たり前にしておきたい公式ですね.

$xy$平面上において,点$(a,b)$を通り,傾きが$m$の直線の方程式は,

\begin{align*} y=m(x-a)+b \end{align*}

と表せる.

この公式から,直線の方程式を求めるためには

  1. 通る点
  2. 傾き

が分かれば良いということが分かります.

さて,$y=f(x)$の点$\mrm{A}(a,f(a))$での接線$\ell$は,当然のことながら点$\mrm{A}(a,f(a))$を通ります.

したがって,あとは直線$\ell$の傾きが分かれば,直線$\ell$の方程式が求まりますね.

接線の傾きの考え方

まず,点$\mrm{A}(a,f(a))$と異なる$y=f(x)$上の点$\mrm{B}(b,f(b))$をとり,直線ABを考えます.

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このとき,直線ABの傾きは

\begin{align*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}

ですね.ここで$b$を$a$に近づければ,直線ABの傾きは直線$\ell$の点Aでの接線の傾きに近付いていきますね.

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よって,$b$を$a$に近づけると直線ABの傾き$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$は接線$\ell$の傾きに近付くことがみてとれますね.

さて,この「$b$を$a$に近付ける」というのは数学の言葉では$b\to a$の極限といい,いまの場合

\begin{align*} \lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}

と表します.

この計算についてはあとで説明しますので,いまの段階では接線の傾きの考え方をフォローしておいてください.

なお,関数の極限については以下の記事で丁寧に説明しています.

微分係数の定義

以上の考察を踏まえ,以下の定義を見てみましょう.

[平均変化率,微分係数] 関数$f(x)$と実数$a$, $b$に対して,

\begin{align*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}

を$x$が$a$から$b$まで変化するときの関数$f(x)$の平均変化率という.また,極限

\begin{align*} \lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}

が存在するとき,$f(x)$は$x=a$で微分可能であるという.また,この極限を関数$f(x)$の$x=a$における微分係数といい,$f'(a)$と表す.

$x$が$a$から$b$まで変化したとき,$f(x)$は$f(a)$から$f(b)$まで変化しますね.

「平均変化率」は,直線の「変化の割合」と同じ定義式ですが,一般に関数$f(x)$は「曲がって」いるので,「平均変化率」が一定であるとは限りません.

ただし,定義の中に「極限$\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$が存在するとき,」とあるように,極限$\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$が存在しないこともあります.

微分可能でない例については主に数学IIIの範囲ですが,気になる方は以下の記事を参照してください.

「微分係数」は「平均変化率」の極限で定義される.「傾きの極限」という図形的なイメージがあれば,定義式は自分で導くことができる.

接線の方程式

微分係数を用いて,接線の方程式を導出します.

接線の定義と接線の方程式

前後しますが,ここで「接線」について定義しておきます.

今まで何度も「接線」という言葉を使ってきましたが,「接線」とは一体なんなのでしょうか?

実はこれまでに,放物線では判別式で「接する」ということは定義してきましたが,放物線以外で「接線」についての定義はされてきませんでした.

「微分係数」を定義したことによって,次のように「接線」を定義することができます.

関数$f(x)$と実数$a$に対して,$f(x)$は$x=a$で微分可能であるとする.このとき,傾き$f'(a)$で点$\mrm{A}(a,f(a))$を通る直線$\ell$を曲線$y=f(x)$の点Aにおける接線という.また,点Aを接線$\ell$の接点という.

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もともと「接線」が何なのかを定義していないため,「接線」を定義するために「微分係数」を用いたというわけですね.

さて,$y=f(x)$の点$(a,f(a))$での接線$\ell$は

  • 点$(a,f(a))$を通り
  • 傾き$f'(a)$

なので,先ほどの直線の方程式の公式から次のようになりますね.

$a$を実数とし,関数$f(x)$は$x=a$で微分可能であるとする.このとき,$xy$平面上において,$y=f(x)$の$x=a$での接線は

\begin{align*} y=f'(a)(x-a)+f(a) \end{align*}

である.

関数$f(x)$の$x=a$での微分係数$f'(a)$は,点$(a,f(a))$における$y=f(x)$の接線$\ell$の傾きを表す.よって,接線$\ell$の方程式は$y=f'(a)(x-a)+f(a)$と表せる.

接線の具体例

次の例を考えます.

次の関数$f(x)$と実数$a$に対して,$x=a$での$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ.

  1. $f(x)=x^{2}$, $a=1$
  2. $f(x)=2x^{3}$, $a=-1$

(1) $f(x)=x^{2}$より

\begin{align*} f'(1) =&\lim_{b\to1}\frac{f(b)-f(1)}{b-1} \\=&\lim_{b\to1}\frac{b^{2}-1}{b-1} \\=&\lim_{b\to1}\frac{(b-1)(b+1)}{b-1} \\=&\lim_{b\to1}(b+1) \\=&2 \end{align*}

なので,$f'(1)=2$となります.いま,$y=f(x)$の$x=1$での接線は点$(1,f(1))$,すなわち$(1,1)$を通るので,

\begin{align*} &y=2(x-1)+1 \\\iff& y=2x-1 \end{align*}

となります.

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(2) $f(x)=2x^{3}$より

\begin{align*} f'(-1) =&\lim_{b\to-1}\frac{f(b)-f(-1)}{b-(-1)} \\=&\lim_{b\to-1}\frac{2b^{3}-(-2)}{b+1} \\=&\lim_{b\to-1}\frac{2(b+1)(b^2-b+1)}{b+1} \\=&\lim_{b\to-1}2(b^2-b+1) \\=&6 \end{align*}

なので,$f'(-1)=6$となります.いま,$y=f(x)$の$x=-1$での接線は点$(-1,f(-1))$,すなわち$(-1,-2)$を通るので,

\begin{align*} &y=6(x-(-1))-2 \\\iff& y=6x+4 \end{align*}

となります.

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直線の方程式が傾きと通る点から分かることに注意すれば,簡単に方程式が得られますね.

次の記事では,微分係数をより広く扱いやすくした導関数について説明します.

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