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剛体の運動1|物体の回転を考えるときは「力のモーメント」

物理では,対象の物体を

  • 「大きさがない物体(質点)」として考える場合
  • 「大きさがある物体(剛体)」として考える場合

の2つがあります.

例えば,小球が坂を転がったり,落下したりする場合には小球の大きさはないものとして「質点」として扱います.

一方,棒を壁に立てかけた場合などには,物体を「質点」として考えずに,物体は大きさをもつ「剛体」であるとして考える必要があります.

この記事では,「質点と剛体」を説明し,剛体の回転を表す「力のモーメント」を説明します.

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質点と剛体

たとえば,実際にボールを投げ上げるとき,空気抵抗など様々な要因が絡まり合って運動をしますが,それらを全て加味して考えると複雑になりすぎるため,「空気抵抗は考えないものとする」などと状況を簡単にして考えます.

このように,物理(に限らず科学全般)では,状況を簡略化して考えやすくすることをよく行います.

物体の運動を考える際には,物体を考えるときに物体の大きさを考えずに「物体には大きさがない」とすることがよくあります.

このように,「質量があり,大きさがない物体」として考えられた物体を質点といいます.

質点はその名の通り「質量のある点」ですから,大きさを考えていないことは名前からも分かりますね.

一方,たとえば壁に立てかけた棒が倒れる時などは棒が回転します.この場合,物体を点とみなすと物体の回転を表現することができないため,物体を質点と考えるのは不適当です.

すなわち,回転を表すためには物体の大きさは無視できず,物体の大きさを無視することはできません.

このように,「質量があり,大きさもある物体」として考えられた物体を剛体といいます.

回転を考える際には,物体の大きさを無視できないので,剛体として考えることになる.

力のモーメント

物体の回転を考える際には力のモーメントを用います.

小学生風に言えば,「てこの原理」というのがありますが,あれはまさに「力のモーメント」を用いています.

力の作用線

力のモーメントの説明をするためには,力の作用線を理解しておきましょう.

[力の作用線] 力$\ve{F}$の「力の作用線」とは,$\ve{F}$の作用点を通り,$\ve{F}$に平行な直線のことをいう.

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すなわち,力$\ve{F}$の作用点を通り,$\ve{F}$に平行な直線を「力$\ve{F}$の作用線」というわけですね.

力のモーメント

それでは,力のモーメントの

  • 大きさ
  • 向き

を定義しましょう.

力のモーメントの大きさ

[力のモーメントの大きさ] 力$\ve{F}$と点Aを考える.点Aと力$\ve{F}$の作用線の距離を$\ell[\mrm{m}]$,力$\ve{F}$の大きさを$F[\mrm{N}]$とする.

このとき,点Aの周りの$\ve{F}$の力のモーメントの大きさを$F\ell[\mrm{Nm}]$と定める.

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力のモーメントの大きさ$F\ell[\mrm{Nm}]$について少し考えましょう.

力の大きさ$F$が大きいほど,物体を回転させる能力が大きいことは容易に想像できますが,$\ell[\mrm{m}]$がかけられていることについては,以下のように理解できます.

例えば,レバー式のドアノブを回すとき,回転軸の近くを持ってドアノブを回すよりも,回転軸から遠くを持ってドアノブを回す方が,軽くドアノブを回すことができますね.

これは,回転軸よりも遠いところに力を加えた方が,力のモーメントが大きいということに他なりません.

こう考えると,力のモーメントの大きさ$F\ell[\mrm{Nm}]$が,力$\ve{F}$の作用線と点Aの距離$\ell$は大きいほど力のモーメントが大きくなる,ということで直感に合いますね.

力のモーメントの向き

さて,回転には時計回りと反時計回りがありますから,これについて以下のように定義します.

[力のモーメントの向き] 力$\ve{F}$と点Aを考える.力$\ve{F}$が点Aに関して,

  • 物体を反時計回りに回転させるとき,力のモーメントの向きを
  • 物体を時計回りに回転させるとき,力のモーメントの向きを

と定める.

単に

  • 「反時計回り」の回転の向きを正
  • 「時計回り」の回転の向きを負

と名付けただけです.

以上から,「力のモーメント」は

  • 力の大きさと向き
  • 力の作用点
  • 任意の点

を指定して初めて考えることができますね.

重力加速度を$g[\mrm{m/s^2}]$とします.天秤の左側に$m[\mrm{kg}]$の物体を軸から$x[\mrm{m}]$の位置に吊るします.

このとき,物体にはたらく力は鉛直下向き,大きさ$mg[\mrm{N}]$の重力のみです.

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このときの,回転軸を中心とする重にはたらく重力による力のモーメントは

  • 重りによる重力の大きさは$mg[\mrm{N}]$で,作用線は鉛直方向なので回転軸との距離は$x[\mrm{m}]$です.よって,力のモーメントの大きさは$mgx[\mrm{Nm}]$となります.
  • 天秤は左が下がりますから,回転軸に関して反時計回りすることになります.よって,力のモーメントの向きは正です.

このように,力のモーメントを考えるときには,必ず「大きさ」と「向き」を考えるようにしてください.

最後までありがとうございました!

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コメント

  1. らっこ より:

    いきなりのコメント失礼します。

    モーメントについて初心者です。
    俗に言う腕の長さ(例問題でいう、天秤の長さ)が1m未満だった場合、モーメントは吊り下げた重力加速度やFよりも弱くなるのでしょうか。

    仮にF=300N、L=0.5mの場合

    M=F・L
     =300×0.5
     =150N・m

    となるのでしょうか。

    • yama-taku より:

      ご質問をありがとうございます.
      ご質問の中の「吊り下げた重力加速度」が何を意味するのか分からないのですが,これを単に「重力加速度」と解釈してお答えします.
      物理の基本として,単位の異なるものを比較しても,意味をなしません.このことは,例えば$50[\mathrm{m}]-20[\mathrm{m/s}]$のように「距離 引く 速さ」が意味をなさないことからも理解できると思います.
      「力のモーメント」の単位は$[\mathrm{Nm}]$ですから,単位が$[\mathrm{m/s^2}]$の「重力加速度$g$」や,単位が$[\mathrm{N}]$の「力$F$」と比較することが意味をなしません.

      なお,おっしゃるように$F=300[\mathrm{N}]$,$L=0.5[\mathrm{m}]$の場合に,「力のモーメントの大きさ」が$150[\mathrm{N・m}]$になるとの計算は正しいです.
      このように,「数値として」$F

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