剛体の運動１｜物体の回転を考えるときは「力のモーメント」

物理では，対象の物体を

• 「大きさがない物体(質点)」として考える場合
• 「大きさがある物体(剛体)」として考える場合

の２つがあります．

例えば，小球が坂を転がったり，落下したりする場合には小球の大きさはないものとして「質点」として扱います．

一方，棒を壁に立てかけた場合などには，物体を「質点」として考えずに，物体は大きさをもつ「剛体」であるとして考える必要があります．

この記事では，「質点と剛体」を説明し，剛体の回転を表す「力のモーメント」を説明します．

質点と剛体

たとえば，実際にボールを投げ上げるとき，空気抵抗など様々な要因が絡まり合って運動をしますが，それらを全て加味して考えると複雑になりすぎるため，「空気抵抗は考えないものとする」などと状況を簡単にして考えます．

このように，物理(に限らず科学全般)では，状況を簡略化して考えやすくすることをよく行います．

物体の運動を考える際には，物体を考えるときに物体の大きさを考えずに「物体には大きさがない」とすることがよくあります．

このように，「質量があり，大きさがない物体」として考えられた物体を質点といいます．

質点はその名の通り「質量のある点」ですから，大きさを考えていないことは名前からも分かりますね．

一方，たとえば壁に立てかけた棒が倒れる時などは棒が回転します．この場合，物体を点とみなすと物体の回転を表現することができないため，物体を質点と考えるのは不適当です．

すなわち，回転を表すためには物体の大きさは無視できず，物体の大きさを無視することはできません．

このように，「質量があり，大きさもある物体」として考えられた物体を剛体といいます．

力のモーメント

物体の回転を考える際には力のモーメントを用います．

小学生風に言えば，「てこの原理」というのがありますが，あれはまさに「力のモーメント」を用いています．

力の作用線

力のモーメントの説明をするためには，力の作用線を理解しておきましょう．

すなわち，力$\ve{F}$の作用点を通り，$\ve{F}$に平行な直線を「力$\ve{F}$の作用線」というわけですね．

力のモーメント

それでは，力のモーメントの

• 大きさ
• 向き

を定義しましょう．

力のモーメントの大きさ

力のモーメントの大きさ$F\ell[\mrm{Nm}]$について少し考えましょう．

力の大きさ$F$が大きいほど，物体を回転させる能力が大きいことは容易に想像できますが，$\ell[\mrm{m}]$がかけられていることについては，以下のように理解できます．

例えば，レバー式のドアノブを回すとき，回転軸の近くを持ってドアノブを回すよりも，回転軸から遠くを持ってドアノブを回す方が，軽くドアノブを回すことができますね．

これは，回転軸よりも遠いところに力を加えた方が，力のモーメントが大きいということに他なりません．

こう考えると，力のモーメントの大きさ$F\ell[\mrm{Nm}]$が，力$\ve{F}$の作用線と点Aの距離$\ell$は大きいほど力のモーメントが大きくなる，ということで直感に合いますね．

力のモーメントの向き

さて，回転には時計回りと反時計回りがありますから，これについて以下のように定義します．

単に

• 「反時計回り」の回転の向きを正
• 「時計回り」の回転の向きを負

と名付けただけです．

以上から，「力のモーメント」は

• 力の大きさと向き
• 力の作用点
• 任意の点

を指定して初めて考えることができますね．

例

重力加速度を$g[\mrm{m/s^2}]$とします．天秤の左側に$m[\mrm{kg}]$の物体を軸から$x[\mrm{m}]$の位置に吊るします．

このとき，物体にはたらく力は鉛直下向き，大きさ$mg[\mrm{N}]$の重力のみです．

このときの，回転軸を中心とする重にはたらく重力による力のモーメントは

• 重りによる重力の大きさは$mg[\mrm{N}]$で，作用線は鉛直方向なので回転軸との距離は$x[\mrm{m}]$です．よって，力のモーメントの大きさは$mgx[\mrm{Nm}]$となります．
• 天秤は左が下がりますから，回転軸に関して反時計回りすることになります．よって，力のモーメントの向きは正です．

このように，力のモーメントを考えるときには，必ず「大きさ」と「向き」を考えるようにしてください．