物体の回転を考える「力のモーメント」を理解しよう

物理では，対象の物体を

「大きさがない物体(質点)」として考える場合
「大きさがある物体(剛体)」として考える場合

の2つがあります．

例えば，小球が坂を転がったり，落下したりする場合には小球の大きさはないものとして「質点」として扱います．

一方，棒を壁に立てかけた場合などには，物体を「質点」として考えずに，物体は大きさをもつ「剛体」であるとして考える必要があります．

この記事では，「質点と剛体」を説明し，剛体の回転を表す「力のモーメント」を説明します．

一連の記事はこちら

【剛体の運動１｜物体の回転を考えるときは「力のモーメント」】←今の記事
【剛体の運動２｜剛体にはたらく力の合成の４パターン】
【剛体の運動３｜剛体にはたらく力のつりあいとその例】
【剛体の運動４｜物体の重力はドコにはたらく？重心とは！？】

【SPONSORED LINK】

1 質点と剛体
2 力のモーメント

質点と剛体

たとえば，実際にボールを投げ上げるとき，空気抵抗など様々な要因が絡まり合って運動をしますが，それらを全て加味して考えると複雑になりすぎるため，「空気抵抗は考えないものとする」などと状況を簡単にして考えます．

このように，物理(に限らず科学全般)では，状況を簡略化して考えやすくすることをよく行います．

物体の運動を考える際には，物体を考えるときに物体の大きさを考えずに「物体には大きさがない」とすることがよくあります．

このように，「質量があり，大きさがない物体」として考えられた物体を質点といいます．

質点はその名の通り「質量のある点」ですから，大きさを考えていないことは名前からも分かりますね．

一方，たとえば壁に立てかけた棒が倒れる時などは棒が回転します．この場合，物体を点とみなすと物体の回転を表現することができないため，物体を質点と考えるのは不適当です．

すなわち，回転を表すためには物体の大きさは無視できず，物体の大きさを無視することはできません．

このように，「質量があり，大きさもある物体」として考えられた物体を剛体といいます．

回転を考える際には，物体の大きさを無視できないので，剛体として考えることになる．

力のモーメント

物体の回転を考える際には力のモーメントを用います．

小学生風に言えば，「てこの原理」というのがありますが，あれはまさに「力のモーメント」を用いています．

力の作用線

力のモーメントの説明をするためには，力の作用線を理解しておきましょう．

[力の作用線]　力 $\ve{F}$ の「力の作用線」とは， $\ve{F}$ の作用点を通り， $\ve{F}$ に平行な直線のことをいう．

すなわち，力 $\ve{F}$ の作用点を通り， $\ve{F}$ に平行な直線を「力 $\ve{F}$ の作用線」というわけですね．

力のモーメント

それでは，力のモーメントの

大きさ
向き

を定義しましょう．

力のモーメントの大きさ

[力のモーメントの大きさ]　力 $\ve{F}$ と点Aを考える．点Aと力 $\ve{F}$ の作用線の距離を $\ell[\mrm{m}]$ ，力 $\ve{F}$ の大きさを $F[\mrm{N}]$ とする．

このとき，点Aの周りの $\ve{F}$ の力のモーメントの大きさを $F\ell[\mrm{Nm}]$ と定める．

力のモーメントの大きさ $F\ell[\mrm{Nm}]$ について少し考えましょう．

力の大きさ $F$ が大きいほど，物体を回転させる能力が大きいことは容易に想像できますが， $\ell[\mrm{m}]$ がかけられていることについては，以下のように理解できます．

例えば，レバー式のドアノブを回すとき，回転軸の近くを持ってドアノブを回すよりも，回転軸から遠くを持ってドアノブを回す方が，軽くドアノブを回すことができますね．

これは，回転軸よりも遠いところに力を加えた方が，力のモーメントが大きいということに他なりません．

こう考えると，力のモーメントの大きさ $F\ell[\mrm{Nm}]$ が，力 $\ve{F}$ の作用線と点Aの距離 $\ell$ は大きいほど力のモーメントが大きくなる，ということで直感に合いますね．

力のモーメントの向き

さて，回転には時計回りと反時計回りがありますから，これについて以下のように定義します．

[力のモーメントの向き]　力 $\ve{F}$ と点Aを考える．力 $\ve{F}$ が点Aに関して，

物体を反時計回りに回転させるとき，力のモーメントの向きを正
物体を時計回りに回転させるとき，力のモーメントの向きを負

と定める．

単に

「反時計回り」の回転の向きを正
「時計回り」の回転の向きを負

と名付けただけです．

以上から，「力のモーメント」は

力の大きさと向き
力の作用点
任意の点

を指定して初めて考えることができますね．

例

重力加速度を $g[\mrm{m/s^2}]$ とします．天秤の左側に $m[\mrm{kg}]$ の物体を軸から $x[\mrm{m}]$ の位置に吊るします．

このとき，物体にはたらく力は鉛直下向き，大きさ $mg[\mrm{N}]$ の重力のみです．

このときの，回転軸を中心とする重にはたらく重力による力のモーメントは

重りによる重力の大きさは $mg[\mrm{N}]$ で，作用線は鉛直方向なので回転軸との距離は $x[\mrm{m}]$ です．よって，力のモーメントの大きさは $mgx[\mrm{Nm}]$ となります．
天秤は左が下がりますから，回転軸に関して反時計回りすることになります．よって，力のモーメントの向きは正です．

このように，力のモーメントを考えるときには，必ず「大きさ」と「向き」を考えるようにしてください．

【次の記事：剛体の運動２｜剛体にはたらく力の合成の４パターン】

剛体に複数の力がはたらいているときには，単に力の和を考えるだけではなく，作用点も考える必要があります．剛体にはたらく力の合成を，4パターンに分けてまとめます．

らっこより:

2017年12月26日 12:56 AM

いきなりのコメント失礼します。

モーメントについて初心者です。
俗に言う腕の長さ（例問題でいう、天秤の長さ）が1m未満だった場合、モーメントは吊り下げた重力加速度やFよりも弱くなるのでしょうか。

仮にＦ=300N、Ｌ=0.5mの場合

Ｍ=Ｆ・Ｌ
　=300×0.5
　=150N・m

となるのでしょうか。

返信
- yama-taku より:
  
  2017年12月26日 5:18 PM
  
  ご質問をありがとうございます．
  ご質問の中の「吊り下げた重力加速度」が何を意味するのか分からないのですが，これを単に「重力加速度」と解釈してお答えします．
  物理の基本として，単位の異なるものを比較しても，意味をなしません．このことは，例えば $50[\mathrm{m}]-20[\mathrm{m/s}]$ のように「距離引く速さ」が意味をなさないことからも理解できると思います．
  「力のモーメント」の単位は $[\mathrm{Nm}]$ ですから，単位が $[\mathrm{m/s^2}]$ の「重力加速度 $g$ 」や，単位が $[\mathrm{N}]$ の「力 $F$ 」と比較することが意味をなしません．
  
  なお，おっしゃるように $F=300[\mathrm{N}]$ ， $L=0.5[\mathrm{m}]$ の場合に，「力のモーメントの大きさ」が $150[\mathrm{N・m}]$ になるとの計算は正しいです．
  このように，「数値として」 $F<M$ となることはあり得ますが，やはり単位が異なるので数値を比較しても仕方がない，といったところです．
  
  返信