剛体の運動４｜重心とその例

【剛体の運動の基本3|力のつりあいとその例】の続きです．

剛体にはたらく力がつりあっているとは，

力の和が0である
任意の点での力のモーメントの和が0

であることをいうのでした．

さて，質点や剛体の「ある意味での中心」として，重心があります．詳しく書けば，この重心とは剛体にはたらく重力を合成したときの作用点です．

この記事では，重心について説明します．

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1 重心
2 重心の例
- 2.1 例1
- 2.2 例2

重心

例えば，円板の中心に糸をつけて静かに糸で吊るすと，円板は水平の状態で静止します．これは，円板にはたらく重力と，糸による張力がつりあっている状態になっています．

これは「円板にはたらく重力は円板の中心にはたらいている」ということになります．物理的に表現すれば，「円板の中心は重力の合力の作用点である」と表現できます．

[重心]　剛体にはたらく重力の合力の作用点を，その剛体の重心という．

つまり，円板には中心にのみ重力がはたらくわけではなく，円板の端っこの所にも重力ははたらきます．しかし，これらは全て鉛直下向きですから，全ての箇所にはたらく重力を合成して考えることができます．

このときの合力の作用点を「重心」というのです．

「重心」はそういう意味では，剛体の「中心」というイメージにも繋がります．

数学では三角形の重心を習いますが，均質な三角形の板の「物理的な重心」は「数学的な重心」に一致します．

ただし，重さにムラがある三角形の板の「物理的な重心」が「数学的な重心」と一致するとは限りません．このことは直感的にも分かることでしょう．

また，「重心」に関しては次の[事実]も非常に大切です．

[事実]　剛体がある点，軸，面に対して対称であれば，重心はその点，軸，面上にある．

例えば，ある直線 $l$ に関して左右対称な板があったとき，重心はその直線 $l$ 上にあります．同様に，物体が点対称であれば，その点が重心にありますし，面対称であればその面上にあります．

これも直感的に明らかでしょう．

重心の例

重心の例をいくつか挙げます．

例1

すでに円板の重心は円板の中心であることを説明しましたが，[事実]からもこのことを説明しておきます．

円板の中心 $\mrm{O}$ を通る直線 $l$ を引くと，直線 $l$ を軸として線対称ですから，円板の重心は直線 $l$ 上にあります．

また，円板の中心 $\mrm{O}$ を通る直線 $l'$ を引くと，直線 $l'$ を軸として線対称ですから，円板の重心は直線 $l'$ 上にあります．

さて，円板の重心は直線 $l$ 上にあり，かつ直線 $l'$ 上にあることが分かりました．直線 $l$ 上かつ直線 $l'$ 上にある点は中心 $\mrm{O}$ ですから，円板の重心は中心 $\mrm{O}$ であることが分かります．

例2

半径5の円板 $D_1$ から，下図のように半径2の円板 $D_2$ をくり抜いた板 $D$ の重心を考えます．

つまり，外側の大きい円板が $D_1$ ，中の小さい円板が $D_2$ ，灰色の部分が $D$ ですね．

$D$ の重心を $\mrm{A}$ ，円板 $D_1$ の重心を $\mrm{A_1}$ ，円板 $D_2$ の重心を $\mrm{A_2}$ とすると，例1でみたように $\mrm{A_1}$ は $D_1$ の中心， $\mrm{A_2}$ は $D_2$ の中心です．

このとき， $D$ と $D_2$ を組み合わせると $D_2$ になります．よって，重心は「重力の合力の作用点」でしたから， $\mrm{A}$ にはたらく $D$ の重力と $\mrm{A_2}$ にはたらく $D_2$ の重力の合力の作用点が $\mrm{A_1}$ となります．

$\mrm{A_1}$ と $\mrm{A_2}$ の相似比は $5:2$ なので面積比は $25:4$ ですから， $\mrm{A_2}$ にはたらく $D_2$ の重力を $4\ve{W}$ とすると， $\mrm{A_1}$ にはたらく $D_1$ の重力は $25\ve{W}$ となります．

$\mrm{A}$ にはたらく $D$ の重力の大きさを $\ve{W'}$ とすると， $\ve{W}$ と $\ve{W'}$ は同じ向きだから， $|\ve{W'}|+|4\ve{W}|=|25\ve{W}|$ より $|\ve{W'}|=21|\ve{W}|$ となります．

よって， $\mrm{A_1}$ は線分 $\mrm{AA_2}$ を $4:21$ に内分します．すなわち， $\mrm{A}$ は線分 $\mrm{A_1}\mrm{A_2}$ を $4:25$ に外分する点となります．

【参考記事：剛体の運動の基本2|力の合成の4つのパターン】