剛体の運動４｜重心とその例

【剛体の運動の基本3|力のつりあいとその例】の続きです．

剛体にはたらく力がつりあっているとは，

1. 力の和がである
2. 任意の点での力のモーメントの和が

であることをいうのでした．

さて，質点や剛体の「ある意味での中心」として，重心があります．詳しく書けば，この重心とは剛体にはたらく重力を合成したときの作用点です．

この記事では，重心について説明します．

重心

例えば，円板の中心に糸をつけて静かに糸で吊るすと，円板は水平の状態で静止します．これは，円板にはたらく重力と，糸による張力がつりあっている状態になっています．

これは「円板にはたらく重力は円板の中心にはたらいている」ということになります．物理的に表現すれば，「円板の中心は重力の合力の作用点である」と表現できます．

つまり，円板には中心にのみ重力がはたらくわけではなく，円板の端っこの所にも重力ははたらきます．しかし，これらは全て鉛直下向きですから，全ての箇所にはたらく重力を合成して考えることができます．

このときの合力の作用点を「重心」というのです．

「重心」はそういう意味では，剛体の「中心」というイメージにも繋がります．

数学では三角形の重心を習いますが，均質な三角形の板の「物理的な重心」は「数学的な重心」に一致します．

ただし，重さにムラがある三角形の板の「物理的な重心」が「数学的な重心」と一致するとは限りません．このことは直感的にも分かることでしょう．

また，「重心」に関しては次の[事実]も非常に大切です．

例えば，ある直線に関して左右対称な板があったとき，重心はその直線上にあります．同様に，物体が点対称であれば，その点が重心にありますし，面対称であればその面上にあります．

これも直感的に明らかでしょう．

重心の例

重心の例をいくつか挙げます．

例1

すでに円板の重心は円板の中心であることを説明しましたが，[事実]からもこのことを説明しておきます．

円板の中心を通る直線を引くと，直線を軸として線対称ですから，円板の重心は直線上にあります．

また，円板の中心を通る直線を引くと，直線を軸として線対称ですから，円板の重心は直線上にあります．

さて，円板の重心は直線上にあり，かつ直線上にあることが分かりました．直線上かつ直線上にある点は中心ですから，円板の重心は中心であることが分かります．

例2

半径の円板から，下図のように半径の円板をくり抜いた板の重心を考えます．

つまり，外側の大きい円板が，中の小さい円板が，灰色の部分がですね．

の重心を，円板の重心を，円板の重心をとすると，例1でみたようにはの中心，はの中心です．

このとき，とを組み合わせるとになります．よって，重心は「重力の合力の作用点」でしたから，にはたらくの重力とにはたらくの重力の合力の作用点がとなります．

との相似比はなので面積比はですから，にはたらくの重力をとすると，にはたらくの重力はとなります．

にはたらくの重力の大きさをとすると，とは同じ向きだから，よりとなります．

よって，は線分をに内分します．すなわち，は線分をに外分する点となります．

【参考記事：剛体の運動の基本2|力の合成の4つのパターン】

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