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剛体の運動3|剛体にはたらく力のつりあいとその例

物体の大きさを考えない「質点」にはたらく力がつり合っているとは単に合力が$\ve{0}$であることをいい,例えば静止している物体にはたらく力がつり合っていれば,その物体は静止し続けるのでした.

このように,質点にはたらく力がつり合っていると,あたかも力がはたらいていないかのように質点は運動をします.

物体の大きさを考える「剛体」については,単純に力の和が0であることだけでは十分ではありません.

例えば,前回の記事で説明したように,大きさが等しく逆向きの2力があり,この2力の作用線が異なる場合には,合力は$\ve{0}$ですが,物体は静止せず回転します.

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このように,合力が$\ve{0}$であっても物体が静止しない場合があります.

したがって,剛体の運動では回転(力のモーメント)も考える必要もあります.

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剛体にはたらく力のつりあい

[剛体にはたらく力のつりあい]は,次のようになります.

[剛体にはたらく力のつりあい] 剛体にはたらく力$\ve{F}_1,\dots,\ve{F}_n$がつりあっているとは,次の1,2をみたすことをいう.

  1. $\ve{F}_1+\dots+\ve{F}_n=\ve{0}$
  2. 任意の点を中心とした$\ve{F}_1,\dots,\ve{F}_n$の力のモーメントの和が0

「力がつり合っている」と言う場合に,加わる力のベクトルの和が$\ve{0}$であることを述べた条件1は自然ですね.

冒頭でも述べたように,質点にはたらく力のつりあいは「並進運動しない条件」である条件1だけでしたが,剛体の力のつりあいは「回転しない条件」である条件2が加わります.

剛体にはたらく力がつりあっているときには,以下が成り立ちます.

剛体にはたらく力がつりあっているとする.このとき,剛体が静止していれば静止し続け,運動していれば回転せずに等速直線運動をする.

逆に,剛体が静止していれば静止し続け,運動していれば回転せずに等速直線運動をしているとする.このとき,剛体にはたらく力はつりあっている.

このことは,質点にはたらく力のつりあいの場合と同じなので,質点の場合が分かっていればその類推で理解できますね.

剛体にはたらく力のつりあいの例

具体例を考えます.

洗い床,滑らかな壁があるとし,ここに質量$m[\mrm{kg}]$の棒を床との角度が$\theta$となるように壁に立てかけ,棒が静止した.このとき,

  • 壁からの垂直抗力$\ve{F}_1$
  • 床と物体の摩擦力$\ve{F}_2$
  • 床からの垂直抗力$\ve{F}_3$

を求めよ.ただし,重力加速度を$\ve{g}$(大きさを$g[\mrm{m/s^2}]$)とする.

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棒は静止しているので,剛体としての棒にはたらく力はつり合っています.棒にはたらく力は

  • 壁からの垂直抗力$\ve{F}_1$
  • 床と物体の摩擦力$\ve{F}_2$
  • 床からの垂直抗力$\ve{F}_3$
  • 重力$m\ve{g}$ (大きさ$mg[\mrm{N}]$)

ですね.ここで,$\ve{F}_1$, $\ve{F}_2$, $\ve{F}_3$の大きさをそれぞれ$F_1[\mrm{N}]$, $F_2[\mrm{N}]$, $F_3[\mrm{N}]$としておきましょう.

合力の大きさが0

[剛体にはたらく力のつりあい]の条件1から,剛体である棒にはたらく力の合力は$\ve{0}$になっています.すなわち,

\begin{align*} \ve{F}_1+\ve{F}_2+\ve{F}_3+m\ve{g}=\ve{0} \end{align*}

なので,

  • 鉛直方向の成分
  • 水平方向の成分

を考えると,

\begin{align*} \begin{cases} mg=F_3\\ F_1=F_2 \end{cases} \end{align*}

が得られます.

力のモーメントの和が0

次に,[剛体にはたらく力のつりあい]の条件2を考えます.

条件2から,どの点の周りの力のモーメントの和も0となるので,棒の接地している点の周りでの力のモーメントの和は0となっています.

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まず,

  • $\ve{F}_2$の作用線
  • $\ve{F}_3$の作用線

はいずれも回転軸を通るので,この2本の作用線と回転軸の距離は0です.

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よって,$\ve{F}_2$と$\ve{F}_3$の力のモーメントは0です.

ここで,棒の長さを$\ell$とします.

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このとき,

  • 回転軸と重力$m\ve{g}$の作用線との距離は$\dfrac{l}{2}\ell\cos{\theta}$
  • 回転軸と垂直抗力$\ve{F}_1$の作用線との距離は$\ell\sin{\theta}$

なので,

  • 重力$m\ve{g}$の力のモーメントは正(反時計回り)で,大きさは$\dfrac{l}{2}mg\ell\cos{\theta}$
  • 垂直抗力$\ve{F}_1$の力のモーメントは負(時計回り)で,大きさは$F_1\ell\sin{\theta}$

となりますね.

以上の全ての力のモーメントがつり合っている,すなわち和が0なので,

\begin{align*} &0+0+\dfrac{l}{2}mg\ell\cos{\theta}-F_1\ell\sin{\theta}=0 \\\iff& mg=2F_1\tan{\theta} \end{align*}

となります.

剛体にはたらく力のつりあい

以上から,3つの等式

\begin{align*} \begin{cases} mg=F_3\\ F_1=F_2\\ mg=2F_1\tan{\theta} \end{cases} \end{align*}

が得られました.これを解いて,$F_1=F_2=\dfrac{mg}{2\tan\theta}$, $F_3=mg$となります.よって,

  • $\ve{F}_1$は水平方向の壁と逆向きに大きさ$\dfrac{mg}{2\tan\theta}$
  • $\ve{F}_2$は水平方向の壁向きに大きさ$\dfrac{mg}{2\tan\theta}$
  • $\ve{F}_3$は鉛直上向きに大きさ$mg$

と分かります.

なお,結果を見れば分かるように,棒の長さ$\ell[\mrm{m}]$は全く関係がありませんね.

ですから,質量$m[\mrm{kg}]$と立てかける角度$\theta$が同じなら,長い棒であろうが短い棒であろうが$\ve{F}_1$, $\ve{F}_2$, $\ve{F}_3$は変化しません.

最後までありがとうございました!

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