剛体の運動３｜剛体にはたらく力のつりあいとその例

物体の大きさを考えない「質点」にはたらく力がつり合っているとは単に合力が$\ve{0}$であることをいい，例えば静止している物体にはたらく力がつり合っていれば，その物体は静止し続けるのでした．

このように，質点にはたらく力がつり合っていると，あたかも力がはたらいていないかのように質点は運動をします．

物体の大きさを考える「剛体」については，単純に力の和が0であることだけでは十分ではありません．

例えば，前回の記事で説明したように，大きさが等しく逆向きの2力があり，この2力の作用線が異なる場合には，合力は$\ve{0}$ですが，物体は静止せず回転します．

このように，合力が$\ve{0}$であっても物体が静止しない場合があります．

したがって，剛体の運動では回転(力のモーメント)も考える必要もあります．

剛体にはたらく力のつりあい

[剛体にはたらく力のつりあい]は，次のようになります．

「力がつり合っている」と言う場合に，加わる力のベクトルの和が$\ve{0}$であることを述べた条件1は自然ですね．

冒頭でも述べたように，質点にはたらく力のつりあいは「並進運動しない条件」である条件1だけでしたが，剛体の力のつりあいは「回転しない条件」である条件2が加わります．

剛体にはたらく力がつりあっているときには，以下が成り立ちます．

このことは，質点にはたらく力のつりあいの場合と同じなので，質点の場合が分かっていればその類推で理解できますね．

剛体にはたらく力のつりあいの例

具体例を考えます．

棒は静止しているので，剛体としての棒にはたらく力はつり合っています．棒にはたらく力は

• 壁からの垂直抗力$\ve{F}_1$
• 床と物体の摩擦力$\ve{F}_2$
• 床からの垂直抗力$\ve{F}_3$
• 重力$m\ve{g}$ (大きさ$mg[\mrm{N}]$)

ですね．ここで，$\ve{F}_1$, $\ve{F}_2$, $\ve{F}_3$の大きさをそれぞれ$F_1[\mrm{N}]$, $F_2[\mrm{N}]$, $F_3[\mrm{N}]$としておきましょう．

合力の大きさが0

[剛体にはたらく力のつりあい]の条件1から，剛体である棒にはたらく力の合力は$\ve{0}$になっています．すなわち，

なので，

• 鉛直方向の成分
• 水平方向の成分

を考えると，

が得られます．

力のモーメントの和が0

次に，[剛体にはたらく力のつりあい]の条件2を考えます．

条件2から，どの点の周りの力のモーメントの和も0となるので，棒の接地している点の周りでの力のモーメントの和は0となっています．

まず，

• $\ve{F}_2$の作用線
• $\ve{F}_3$の作用線

はいずれも回転軸を通るので，この2本の作用線と回転軸の距離は0です．

よって，$\ve{F}_2$と$\ve{F}_3$の力のモーメントは0です．

ここで，棒の長さを$\ell$とします．

このとき，

• 回転軸と重力$m\ve{g}$の作用線との距離は$\dfrac{l}{2}\ell\cos{\theta}$
• 回転軸と垂直抗力$\ve{F}_1$の作用線との距離は$\ell\sin{\theta}$

なので，

• 重力$m\ve{g}$の力のモーメントは正(反時計回り)で，大きさは$\dfrac{l}{2}mg\ell\cos{\theta}$
• 垂直抗力$\ve{F}_1$の力のモーメントは負(時計回り)で，大きさは$F_1\ell\sin{\theta}$

となりますね．

以上の全ての力のモーメントがつり合っている，すなわち和が0なので，

となります．

剛体にはたらく力のつりあい

以上から，３つの等式

が得られました．これを解いて，$F_1=F_2=\dfrac{mg}{2\tan\theta}$, $F_3=mg$となります．よって，

• $\ve{F}_1$は水平方向の壁と逆向きに大きさ$\dfrac{mg}{2\tan\theta}$
• $\ve{F}_2$は水平方向の壁向きに大きさ$\dfrac{mg}{2\tan\theta}$
• $\ve{F}_3$は鉛直上向きに大きさ$mg$

と分かります．

なお，結果を見れば分かるように，棒の長さ$\ell[\mrm{m}]$は全く関係がありませんね．

ですから，質量$m[\mrm{kg}]$と立てかける角度$\theta$が同じなら，長い棒であろうが短い棒であろうが$\ve{F}_1$, $\ve{F}_2$, $\ve{F}_3$は変化しません．