三角関数と三角比の違いは?|偏角から三角関数を定義する!

三角関数
三角関数

$\ang{B}=90^\circ$の直角三角形$\tri{ABC}$について,$\theta=\ang{A}$としたときの3種類の辺の比を

    \begin{align*}\cos{\theta}=\dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}},\quad \sin{\theta}=\dfrac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}},\quad \tan{\theta}=\dfrac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}\end{align*}

と名付けたものを三角比というのでした.

Rendered by QuickLaTeX.com

三角形の内角の和は常に$180^\circ$だったので,$\theta=\ang{A}$は$0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$の範囲しか動きません.

そこで,単位円を使うことで$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$の場合にも$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$が定義できることを以前の記事で説明しました.

同じ方法を用いると,さらに広く全ての実数$\theta$に対して$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を定義することができ,このときこれらを三角関数と呼びます.

この記事では,

  • 偏角(三角関数の準備)
  • 三角関数の定義

を順に解説します.

偏角(三角関数の準備)

三角関数を定義するために偏角を準備しておきましょう.ざっくり言えば,向きのついた角を偏角といいます.

$xy$平面上の原点$\mrm{O}$とは異なる点$\mrm{P}$に対して,$x$軸の正方向からベクトル$\Ve{OP}$への有向角を($x$軸正方向からの)点$\mrm{P}$の偏角という.ただし,反時計回りを正とする.

Rendered by QuickLaTeX.com

具体例1(負の偏角)

$xy$平面上の$x$軸正方向からの偏角が$-40^{\circ}$の点$\mrm{Q}$を1点図示せよ.

下図の点$\mrm{Q}$は$xy$平面上の$x$軸正方向からの偏角が$-40^{\circ}$の点である.

Rendered by QuickLaTeX.com

具体例2(360°を超える偏角)

$xy$平面上の$x$軸正方向からの偏角が$390^{\circ}$の点$\mrm{R}$を1点図示せよ.

下図の点$\mrm{R}$は$xy$平面上の$x$軸正方向からの偏角が$390^{\circ}$の点である.

Rendered by QuickLaTeX.com

三角関数の定義

偏角を定義してしまえば,三角比を$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$にまで拡張したのと同じ考え方で,任意の実数$\theta$に対して$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を定義することができます.

三角比sinθ,cosθ,tanθの角度θを90°以上に拡張する考え方
直角三角形の1つの鋭角をθとして三角比sinθ,cosθ,tanθを定義する方法では,θは0°θ<90°の範囲でしか考えられません.しかし,単位円を用いることで0°≦θ≦180°の範囲まで三角比を拡張することができます.

三角関数の定義

三角関数の定義は以下の通りです.

$\theta$を実数とする.このとき,偏角$\theta$の単位円周上の点$\mrm{P}$について,

  • $\mrm{P}$の$x$座標を$\cos{\theta}$
  • $\mrm{P}$の$y$座標を$\sin{\theta}$

と定義する.

Rendered by QuickLaTeX.com

また,$\cos{\theta}\neq0$のとき,$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$と定義する.

このように,単位円を使って任意の実数$\theta$に対して定義された$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を三角関数と呼びます.

定義の点$\mrm{P}$の$x$座標が$\cos{\theta}=0$だったので,このとき($\theta=\pm90^\circ,\pm270^\circ,\dots$のとき)$\tan{\theta}$は定義できないことになります.

数学において0で割ってはいけないため,$\cos{\theta}\neq0$のときのみ$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$を定義するわけですね.

$\tan$の図形的意味

$xy$平面上の直線$x=1$と直線$\mrm{OP}$の交点の$y$座標が$\tan\theta$となります.

Rendered by QuickLaTeX.com

これも三角比を$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$に拡張したときと同じですね.

4つの関係式

$\sin$, $\cos$, $\tan$に関する4つの関係式も三角比の場合と同様に成り立ちます.

実数$\theta$について,

  • $\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$
  • $\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$
  • $1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$
  • $1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$

が成り立つ.ただし,3つ目の公式は$\cos{\theta}\neq0$,4つ目の公式は$\sin{\theta}\neq0$,$\cos{\theta}\neq0$とする.

最後の条件は$\tan{\theta}$が定義されており,分母が0になってはいけないためにあります.

これらの4つの関係式はそれぞれ

  • $\tan$と$\cos$と$\sin$の関係式
  • $\cos$と$\sin$の関係式
  • $\cos$と$\tan$の関係式
  • $\sin$と$\tan$の関係式

となっていることは意識しておきたいところです.これが意識できていれば

  • $\cos$から$\sin$を求めるときは公式$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$
  • $\tan$から$\sin$を求めるときは公式$1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$

といったように,どの公式を使うのがよいかは自然に見えてくるはずですね.

管理人

プロフィール

山本やまもと 拓人たくと

元予備校講師.講師として駆け出しの頃から予備校の生徒アンケートで抜群の成績を残し,通常の8倍の報酬アップを提示されるなど頭角を表す.

飛び級・首席合格で大学院に入学しそのまま首席修了するなど数学の深い知識をもち,本質をふまえた分かりやすい授業に定評がある.

現在はオンライン家庭教師,社会人向け数学教室での講師としての教育活動とともに,京都大学で数学の研究も行っている.専門は非線形偏微分方程式論.大学数学系YouTuberとしても活動中.

趣味は数学,ピアノ,甘いもの食べ歩き.

Twitter・大学数学YouTube・公式LINEを見てみる

コメント