三角関数1
三角関数と三角比の違いは?三角関数を定義しよう!

三角関数
三角関数

直角三角形の1つの鋭角を$\theta$としたとき,3種類の辺の比を

   \begin{align*}\sin{\theta},\quad\cos{\theta},\quad\tan{\theta}\end{align*}

と名付けたものを三角比というのでした.

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三角形の内角の和は常に$180^\circ$だったので,直角三角形の1つの鋭角$\theta$は$0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$の範囲しか動きません.

したがって,直角三角形を考えていたのでは,例えば

  • $\sin{120^\circ}$のような$90^\circ$を超える$\theta$
  • $\sin{-30^\circ}$のような負の$\theta$

で$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を考えることができません.

そこで,単位円を使うことで$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$の場合にも$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$が定義できることを以前の記事で説明しました.

この記事では,さらに広く全ての実数$\theta$に対して$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を定義します.

このように全ての実数$\theta$に対して定義された$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を三角関数といいます.

三角関数の準備

三角関数を定義するために,いくつか準備をします.

偏角

角度に向きをつけたものを偏角といいます.

$xy$平面上の原点$\mrm{O}$とは異なる点$\mrm{P}$に対して,$x$軸の正方向からベクトル$\Ve{OP}$への有向角を($x$軸正方向からの)点$\mrm{P}$の偏角という.ただし,反時計回りを正とする.

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例えば

  • 負の偏角は時計回りの有向角
  • $360^\circ$以上の偏角は1周以上の有向角

ということですね.

例1

下図の点$\mrm{Q}$の偏角は$-40^{\circ}$です.

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例2

下図の点$\mrm{R}$の偏角は$390^\circ$です.

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三角関数の定義

偏角を定義してしまえば,あとは三角比を$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$なる$\theta$にまで拡張したのと同じ考え方で,任意の実数$\theta$に対して$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を定義することができます.

三角比4
角度が90°以上の三角比はこう考える!
直角三角形の1つの鋭角をθとして三角比sinθ,cosθ,tanθを定義する方法では,θは0°<θ<90°の範囲でしか考えられません.しかし,単位円を用いることで0°≦θ≦180°の範囲まで三角比を拡張することができます.

三角関数の定義

三角関数の定義は以下の通りです.

$\theta$を実数とする.このとき,偏角$\theta$の単位円周上の点$\mrm{P}$について,

  • $\mrm{P}$の$x$座標を$\cos{\theta}$
  • $\mrm{P}$の$y$座標を$\sin{\theta}$

と定義する.

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また,$\cos{\theta}\neq0$のとき,$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$と定義する.

偏角を定義したことによって,任意の実数$\theta$に対して$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を考えることができるようになりました.

このように,単位円を使って任意の実数$\theta$に対して定義された$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を三角関数といいます.

$\cos{\theta}\neq0$のときのみ$\tan{\theta}$を定義するのは,数学において分母が$0$であってはならないからですね.

つまり,定義の点$\mrm{P}$の$x$座標が$\cos{\theta}$だったので,点$\mrm{P}$が$y$軸上にあるとき($\theta=\pm90^\circ,\pm270^\circ,\dots$のとき),$\tan{\theta}$は定義できないことになります.

ワンポイント数学4
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$\tan$の図形的意味

$xy$平面上の直線$x=1$と直線$\mrm{OP}$の交点の$y$座標が$\tan\theta$となります.

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これは三角比を$0^\circ\le\theta\le180^\circ$に拡張したときと同じですね.

4つの関係式

$\sin$, $\cos$, $\tan$に関する4つの関係式も三角比の場合と同様に成り立ちます.

実数$\theta$について,

  • $\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$
  • $\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$
  • $1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$
  • $1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$

の4つの関係式が成り立つ.

ただし,3つ目の公式は$\cos{\theta}\neq0$のときに,4つ目の公式は$\sin{\theta}\neq0$かつ$\tan{\theta}\neq0$のときに成り立つ.

これらの関係式の証明もやはり三角比を$0^\circ\le\theta\le180^\circ$に拡張したときと同じです.

これらの4つの関係式はそれぞれ

  • $\tan$と$\cos$と$\sin$の関係式
  • $\cos$と$\sin$の関係式
  • $\cos$と$\tan$の関係式
  • $\sin$と$\tan$の関係式

となっていることは意識しておきたいところです.

これが意識できていれば

  • $\cos$から$\sin$を求めるときは公式$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$
  • $\tan$から$\sin$を求めるときは公式$1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$

といったように,どの公式を使うのがよいかは自然に見えてくるはずですね.

管理人

プロフィール

山本やまもと 拓人たくと

元予備校講師.講師として駆け出しの頃から予備校の生徒アンケートで抜群の成績を残し,通常の8倍の報酬アップを提示されるなど頭角を表す.

飛び級・首席合格で大学院に入学しそのまま首席修了するなど数学の深い知識をもち,本質をふまえた分かりやすい授業に定評がある.

現在はオンライン家庭教師,社会人向け数学教室での講師としての教育活動とともに,京都大学で数学の研究も行っている.専門は非線形偏微分方程式論.大学数学系YouTuberとしても活動中.

趣味は数学,ピアノ,甘いもの食べ歩き.

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