三角関数２<br>偏角の変換公式は覚えるな！簡単に導く方法！

$0^\circ\le\theta\le180^\circ$に対して定義される三角比$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$について，以前の記事で

が成り立つことを説明しました．

前回の記事で説明したように三角関数$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$は$\theta$が実数全体で定義されているので，この他にも$\tan{(180^\circ+\theta)}$や$\sin{(90^\circ+\theta)}$などの変換も扱えるようになる必要があります．

しかし，ほとんどの公式は覚える必要はなく，実は分かりやすい公式を少し覚えておくだけで，他の偏角の変換公式は全て導けるようになっています．

今回の記事では

基本の変換公式
他の変換公式の導き方

を順に説明します．

「三角関数」の一連の記事

３タイプの基本の変換公式
他の変換公式の導き方
一般の場合の$(90^\circ-\theta)$型の公式の証明

３タイプの基本の変換公式

以下の公式は図を考えれば一瞬で分かります．まずはこれらを理解しましょう．

実数$\theta$に対して，次が成り立つ．

$\begin{cases}
\cos{(\theta\pm180^{\circ})}=-\cos{\theta}\\
\sin{(\theta\pm180^{\circ})}=-\sin{\theta}
\end{cases}$
$\begin{cases}
\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\\
\sin{(-\theta)}=-\sin{\theta}
\end{cases}$
$\begin{cases}
\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}\\
\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\cos{\theta}
\end{cases}$

公式としては６個ありますが，$\sin$と$\cos$でペアになっているので

タイプ１：$(\theta\pm180^{\circ})$型の公式
タイプ２：$-\theta$型の公式
タイプ３：$(90^{\circ}-\theta)$型の公式

の３タイプですね．

以下では，点$\mrm{O}$を原点，点$\mrm{P}$を単位円周上の偏角$\theta$の点$(\cos{\theta},\sin{\theta})$とします．

三角関数と三角比の違いは？｜偏角から三角関数を定義する！

三角形の内角の和は180°なので，直角三角形から定義する三角比sinθ,cosθ,tanθは0°<θ<90°の範囲でしか定義できません．この記事では単位円を使って，全ての実数θに対してsinθ,cosθ,tanθを定義します．

タイプ１

単位円周上の点$\mrm{P}$と原点対称な点を$\mrm{Q}$とすると，点$\mrm{Q}$の偏角は$\theta+180^\circ$, $\theta-180^\circ$のどちらとも言えるので，点$\mrm{Q}$の座標は

$\begin{align*}\mrm{Q}(\cos{(\theta\pm180^{\circ})},\sin{(\theta\pm180^{\circ})})\end{align*}$

ですね．

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点$\mrm{P}$と点$\mrm{Q}$について$x$座標も$y$座標もともに正負が逆になっているので，$(\theta\pm180^{\circ})$型の公式

$\begin{align*}\cos{(\theta\pm180^{\circ})}=-\cos{\theta},\quad \sin{(\theta\pm180^{\circ})}=-\sin{\theta}\end{align*}$

が得られますね．

タイプ２

単位円周上の点$\mrm{P}$と$x$軸対称な点を$\mrm{Q}$とすると，点$\mrm{Q}$の偏角は$-\theta$なので，点$\mrm{Q}$の座標は

$\begin{align*}\mrm{Q}(\cos{(-\theta)},\sin{(-\theta)})\end{align*}$

ですね．

点$\mrm{P}$と点$\mrm{Q}$について$x$座標は等しく，$y$座標は正負が逆になっているので，$(-\theta)$型の公式

$\begin{align*}\cos{(-\theta)}=\cos{\theta},\quad \sin{(-\theta)}=-\sin{\theta}\end{align*}$

が得られますね．

タイプ３

$(90^\circ-\theta)$型の変換公式が$0<\theta<90^\circ$の場合に成り立つことは以前の記事で証明しましたが，ここでも確認しておきましょう．

三角比３
実は当たり前！３つの(90°-θ)型の変換公式

三角比sin(90°-θ), cos(90°-θ), tan(90°-θ)はいずれも，角度θの三角比sinθ, cosθ, tanθに書き直すことができます．この変換公式を用いることで，角度が揃っていない三角比も計算できることがあります．

$\ang{A}=\theta$, $\ang{B}=90^{\circ}$の直角三角形$\tri{ABC}$を考えると，$\ang{C}=90^{\circ}-\theta$ですね．

よって，三角比の定義から

$\begin{align*}&\cos{\theta}=\frac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}}=\sin{(90^\circ-\theta)}, \\&\sin{\theta}=\frac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}}=\cos{(90^\circ-\theta)}\end{align*}$

が得られますね．

この証明は$0<\theta<90^\circ$の場合のみの証明となっていますが，任意の実数$\theta$に対して成り立つことが証明できます（証明はこの記事の最後を参照）．

他の変換公式の導き方

他のタイプの偏角の変換公式は，上でみた３タイプの基本の変換公式から導けます．

（再掲）実数$\theta$に対して，次が成り立つ．

$\begin{cases}
\cos{(\theta\pm180^{\circ})}=-\cos{\theta}\\
\sin{(\theta\pm180^{\circ})}=-\sin{\theta}
\end{cases}$
$\begin{cases}
\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\\
\cos{(-\theta)}=-\sin{\theta}
\end{cases}$
$\begin{cases}
\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}\\
\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\cos{\theta}
\end{cases}$

慣れれば数秒で導けるようになります．具体的にみていきましょう．

変換公式の例１

$\cos(-180^{\circ}-\theta)$を簡単にせよ．

$(\theta-180^\circ)$型の変換公式と$(-\theta)$型の変換公式を使います．

$\begin{align*}\cos(-180^{\circ}-\theta) =-\cos(-\theta) =-\cos{\theta}\end{align*}$

変換公式の例２

$\sin(\theta-90^{\circ})$を簡単にせよ．

$90^\circ$が絡む三角関数では$(90^\circ-\theta)$型の公式に持ち込むのが鉄板です．

$\begin{align*}\sin(\theta-90^{\circ}) =&\sin\{-(90^{\circ}-\theta)\} \\=&-\sin(90^{\circ}-\theta) =-\cos{\theta}\end{align*}$

変換公式の例３

$\sin(90^{\circ}+\theta)$を簡単にせよ．

今回も$90^\circ$が絡むので，やはり$(90^\circ-\theta)$型の公式を使います．

$\begin{align*}\sin(90^{\circ}+\theta) =&\sin\{90^{\circ}-(-\theta)\} \\=&\cos(-\theta) =\cos{\theta}\end{align*}$

変換公式の例４

$\tan(180^{\circ}-\theta)$を簡単にせよ．

$\tan$の変換公式は$\tan$の定義$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$を用いて$\sin$, $\cos$を使って表してから，それぞれで変換公式を使えば良いですね．

$\begin{align*}\tan(180^{\circ}-\theta) =&\dfrac{\sin{(180^{\circ}-\theta)}}{\cos{(180^{\circ}-\theta)}} \\=&\dfrac{\sin{(-\theta)}}{\cos{(-\theta)}} =\dfrac{-\sin{\theta}}{\cos{\theta}} =-\tan{\theta}\end{align*}$

一般の場合の$(90^\circ-\theta)$型の公式の証明

先ほどの$(90^\circ-\theta)$型の公式

$\begin{align*}\cos{(\theta+90^{\circ})}=-\sin{\theta},\quad \sin{(\theta+90^{\circ})}=\cos{\theta}\end{align*}$

は$0<\theta<90^\circ$の場合のものでしたから，任意の$\theta$に対しても成り立つことを示しておきましょう．

（再々掲）実数$\theta$に対して，次が成り立つ．

$\begin{align*} &\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}, \\&\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\cos{\theta} \end{align*}$

さまざまな証明方法がありますが，ここでは$(\theta+90^{\circ})$型の変換公式を経由することで示しましょう．

単位円周上の点$\mrm{P}$を原点中心に$90^\circ$回転させた点を$\mrm{Q}$とすると，点$\mrm{Q}$の座標は

$\begin{align*}(\cos{(\theta+90^{\circ})},\sin{(\theta+90^{\circ})})\end{align*}$

である．

この図から$(\theta+90^\circ)$型の変換公式

$\cos{(\theta+90^{\circ})}=-\sin{\theta}$
$\sin{(\theta+90^{\circ})}=\cos{\theta}$

が成り立つ．これを用いれば，$(90^\circ-\theta)$型の変換公式

$\begin{align*} \cos{(90^\circ-\theta)} =&\cos{(90^\circ+(-\theta))} \\=&-\sin{(-\theta)} =\sin{\theta}, \\\sin{(90^\circ-\theta)} =&\sin{(90^\circ+(-\theta))} \\=&\cos{(-\theta)} =\cos{\theta} \end{align*}$