$0^\circ\le\theta\le180^\circ$に対して定義される三角比$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$について,以前の記事で
が成り立つことを説明しました.
前回の記事で説明したように三角関数$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$は$\theta$が実数全体で定義されているので,この他にも$\tan{(180^\circ+\theta)}$や$\sin{(90^\circ+\theta)}$などの変換も扱えるようになる必要があります.
しかし,ほとんどの公式は覚える必要はなく,実は分かりやすい公式を少し覚えておくだけで,他の偏角の変換公式は全て導けるようになっています.
今回の記事では
- 基本の変換公式
- 他の変換公式の導き方
を順に説明します.
「三角関数」の一連の記事
3タイプの基本の変換公式
以下の公式は図を考えれば一瞬で分かります.まずはこれらを理解しましょう.
実数$\theta$に対して,次が成り立つ.
- $\begin{cases}
\cos{(\theta\pm180^{\circ})}=-\cos{\theta}\\
\sin{(\theta\pm180^{\circ})}=-\sin{\theta}
\end{cases}$ - $\begin{cases}
\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\\
\sin{(-\theta)}=-\sin{\theta}
\end{cases}$ - $\begin{cases}
\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}\\
\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\cos{\theta}
\end{cases}$
公式としては6個ありますが,$\sin$と$\cos$でペアになっているので
- タイプ1:$(\theta\pm180^{\circ})$型の公式
- タイプ2:$-\theta$型の公式
- タイプ3:$(90^{\circ}-\theta)$型の公式
の3タイプですね.
以下では,点$\mrm{O}$を原点,点$\mrm{P}$を単位円周上の偏角$\theta$の点$(\cos{\theta},\sin{\theta})$とします.

タイプ1
単位円周上の点$\mrm{P}$と原点対称な点を$\mrm{Q}$とすると,点$\mrm{Q}$の偏角は$\theta+180^\circ$, $\theta-180^\circ$のどちらとも言えるので,点$\mrm{Q}$の座標は
ですね.
点$\mrm{P}$と点$\mrm{Q}$について$x$座標も$y$座標もともに正負が逆になっているので,$(\theta\pm180^{\circ})$型の公式
が得られますね.
タイプ2
単位円周上の点$\mrm{P}$と$x$軸対称な点を$\mrm{Q}$とすると,点$\mrm{Q}$の偏角は$-\theta$なので,点$\mrm{Q}$の座標は
ですね.
点$\mrm{P}$と点$\mrm{Q}$について$x$座標は等しく,$y$座標は正負が逆になっているので,$(-\theta)$型の公式
が得られますね.
タイプ3
$(90^\circ-\theta)$型の変換公式が$0<\theta<90^\circ$の場合に成り立つことは以前の記事で証明しましたが,ここでも確認しておきましょう.

実は当たり前!3つの(90°-θ)型の変換公式
$\ang{A}=\theta$, $\ang{B}=90^{\circ}$の直角三角形$\tri{ABC}$を考えると,$\ang{C}=90^{\circ}-\theta$ですね.
よって,三角比の定義から
が得られますね.
この証明は$0<\theta<90^\circ$の場合のみの証明となっていますが,任意の実数$\theta$に対して成り立つことが証明できます(証明はこの記事の最後を参照).
他の変換公式の導き方
他のタイプの偏角の変換公式は,上でみた3タイプの基本の変換公式から導けます.
(再掲)実数$\theta$に対して,次が成り立つ.
- $\begin{cases}
\cos{(\theta\pm180^{\circ})}=-\cos{\theta}\\
\sin{(\theta\pm180^{\circ})}=-\sin{\theta}
\end{cases}$ - $\begin{cases}
\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\\
\cos{(-\theta)}=-\sin{\theta}
\end{cases}$ - $\begin{cases}
\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}\\
\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\cos{\theta}
\end{cases}$
慣れれば数秒で導けるようになります.具体的にみていきましょう.
変換公式の例1
$\cos(-180^{\circ}-\theta)$を簡単にせよ.
$(\theta-180^\circ)$型の変換公式と$(-\theta)$型の変換公式を使います.
変換公式の例2
$\sin(\theta-90^{\circ})$を簡単にせよ.
$90^\circ$が絡む三角関数では$(90^\circ-\theta)$型の公式に持ち込むのが鉄板です.
変換公式の例3
$\sin(90^{\circ}+\theta)$を簡単にせよ.
今回も$90^\circ$が絡むので,やはり$(90^\circ-\theta)$型の公式を使います.
変換公式の例4
$\tan(180^{\circ}-\theta)$を簡単にせよ.
$\tan$の変換公式は$\tan$の定義$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$を用いて$\sin$, $\cos$を使って表してから,それぞれで変換公式を使えば良いですね.
一般の場合の$(90^\circ-\theta)$型の公式の証明
先ほどの$(90^\circ-\theta)$型の公式
は$0<\theta<90^\circ$の場合のものでしたから,任意の$\theta$に対しても成り立つことを示しておきましょう.
(再々掲)実数$\theta$に対して,次が成り立つ.
さまざまな証明方法がありますが,ここでは$(\theta+90^{\circ})$型の変換公式を経由することで示しましょう.
単位円周上の点$\mrm{P}$を原点中心に$90^\circ$回転させた点を$\mrm{Q}$とすると,点$\mrm{Q}$の座標は
である.
この図から$(\theta+90^\circ)$型の変換公式
- $\cos{(\theta+90^{\circ})}=-\sin{\theta}$
- $\sin{(\theta+90^{\circ})}=\cos{\theta}$
が成り立つ.これを用いれば,$(90^\circ-\theta)$型の変換公式
が得られる.
一般の$\theta$に関する証明は少し手間がかかりますが,直角三角形の場合を考えれば公式自体はすぐに導けますね.
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