三角関数4
三角関数の増減・グラフは円から考えよ

三角関数

三角関数$\cos{\theta}$, $\sin{\theta}$, $\tan{\theta}$のグラフは横軸$\theta$の平面に描くことができます.

この記事では

  • 三角関数$\sin{\theta}$の増減とグラフ
  • 三角関数$\cos{\theta}$の増減とグラフ
  • 三角関数$\tan{\theta}$の増減とグラフ

を説明します.

ただし,この記事では点$\mrm{O}$を原点,点$\mrm{P}$を単位円周上の偏角$\theta$の点$(\cos{\theta},\sin{\theta})$とします.

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三角関数と三角比の違いは?|偏角から三角関数を定義する!
三角形の内角の和は180°なので,直角三角形から定義する三角比sinθ,cosθ,tanθは0°<θ<90°の範囲でしか定義できません.この記事では単位円を使って,全ての実数θに対してsinθ,cosθ,tanθを定義します.

$\sin{\theta}$の増減とグラフ

点$\mrm{P}$が単位円周上を1周するときに$\sin{\theta}$がどのように増減しているかを掴み,グラフを描きましょう.

$\sin{\theta}$の増減

点$\mrm{P}$が単位円周上を1周するとき($\theta$が$0\leqq\theta\leqq2\pi$の範囲を動くとき),以下のように$\cos{\theta}$は増減します.

[1] $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ $(0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circ)$のとき

$\sin{\theta}$は$0$から$1$まで増加

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[2] $\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{3\pi}{2}$ $(90^\circ\leqq\theta\leqq270^\circ)$のとき

$\sin{\theta}$は$1$から$-1$まで減少

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[3] $\dfrac{3\pi}{2}\leqq\theta\leqq2\pi$ $(270^\circ\leqq\theta\leqq360^\circ)$のとき

$\sin{\theta}$は$-1$から$0$まで増加

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よって,$\sin{\theta}$の増減表は以下のようになりますね.

$\sin{\theta}$の増減
$\theta$ $0$ $\dots$ $\dfrac{\pi}{2}$ $\dots$ $\dfrac{3\pi}{2}$ $\dots$ $2\pi$
$\sin{\theta}$ $0$ $\nearrow$ $1$ $\searrow$ $-1$ $\nearrow$ $0$

$\sin{\theta}$のグラフ

以上の増減をふまえつつ,$y=\sin{\theta}$のグラフを

    \begin{align*}\theta=\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\frac{3\pi}{4}\end{align*}

で順にプロットしていきましょう.

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このように点$\mrm{P}$を単位円上で動かすと,$\sin{\theta}$のグラフが下図のようになることが分かりますね.

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この図からも$\theta$が$2\pi$ごとに同じ値を取ることが見てとれますね.

先ほどの$\sin{\theta}$の増減表でも見たように

  • $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$で単調増加
  • $\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{3\pi}{2}$で単調減少
  • $\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq2\pi$で単調増加

となっていることを確認してください.

$\cos{\theta}$の増減とグラフ

点$\mrm{P}$が単位円周上を1周するときに$\cos{\theta}$がどのように増減しているかを掴み,グラフを描きましょう.

$\cos{\theta}$の増減

点$\mrm{P}$が単位円周上を1周するとき($\theta$が$0\leqq\theta\leqq2\pi$の範囲を動くとき),以下のように$\cos{\theta}$は増減します.

[1] $0\leqq\theta\leqq\pi$ $(0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ)$のとき

$\cos{\theta}$は$1$から$-1$まで減少

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[2] $\pi\leqq\theta\leqq2\pi$ $(180^\circ\leqq\theta\leqq360^\circ)$のとき

$\cos{\theta}$は$-1$から$1$まで増加

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よって,$\cos{\theta}$の増減表は以下のようになりますね.

$\cos{\theta}$の増減
$\theta$ $0$ $\dots$ $\pi$ $\dots$ $2\pi$
$\cos{\theta}$ $1$ $\searrow$ $-1$ $\nearrow$ $1$

$\cos{\theta}$のグラフ

先ほどの$\sin{\theta}$と同じように考えると,$\sin{\theta}$のグラフが下図のようになることが分かりますね.

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この図からも$\theta$が$2\pi$ごとに同じ値を取ることが見てとれますね.

先ほどの$\cos{\theta}$の増減表でも見たように

  • $0\leqq\theta\leqq\pi$で単調減少
  • $\pi\leqq\theta\leqq2\pi$で単調増加

となっていることを確認してください.

$\tan{\theta}$の増減とグラフ

最後に$\tan{\theta}$のグラフを考えましょう.

$\sin$, $\cos$と同じように増減 → グラフと考えても良いですが,グラフを描けば増減が自然に分かるので,グラフを描いてから増減を考えましょう.

$\tan{\theta}$は直線$\mrm{OP}$と$x=1$の交点の$y$座標として得られることを思い出しておきましょう.

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三角関数と三角比の違いは?|偏角から三角関数を定義する!
三角形の内角の和は180°なので,直角三角形から定義する三角比sinθ,cosθ,tanθは0°<θ<90°の範囲でしか定義できません.この記事では単位円を使って,全ての実数θに対してsinθ,cosθ,tanθを定義します.

$y=\tan{\theta}$のグラフを

    \begin{align*}\theta=\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{6}\end{align*}

で順にプロットしていきましょう.

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このように点$\mrm{P}$を単位円上で動かすと,$\tan{\theta}$のグラフが下図のようになることが分かりますね.

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この図からも$\theta$が$2\pi$ごとに同じ値を取ることが見てとれますね.

また,点$\mrm{P}$が$y$軸上にあるとき$\tan{\theta}$を定義されず,$x=\dfrac{\pi}{2}+n\pi$($n$は整数)で表される直線は漸近線となりますね.

以上より,$\tan{\theta}$の増減表が以下のようになることも分かりますね.

$\tan{\theta}$の増減
$\theta$ $0$ $\dots$ $\dfrac{\pi}{2}$ $\dots$ $\dfrac{3\pi}{2}$ $\dots$ $2\pi$
$\sin{\theta}$ $0$ $\nearrow$ × $\nearrow$ × $\nearrow$ $0$

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