三角関数$\cos{\theta}$, $\sin{\theta}$, $\tan{\theta}$も関数ですから，これらのグラフがどうなるのかは気になるところです．
$\cos{\theta}$, $\sin{\theta}$のグラフは，定義から単位円周上で点を動かして考えることができます．
この記事では
- 三角関数$\sin{\theta}$の増減とグラフ
- 三角関数$\cos{\theta}$の増減とグラフ
- 三角関数$\tan{\theta}$の増減とグラフ
を説明します．
この記事では点Oを原点，点Pを単位円周上の偏角$\theta$の点$(\cos{\theta},\sin{\theta})$とします．
「三角関数」の一連の記事
$\sin{\theta}$の増減とグラフ
点$\mrm{P}$が単位円周上を１周するときに$\sin{\theta}$がどのように増減しているかを掴み，グラフを描きましょう．
$\sin{\theta}$の増減
点$\mrm{P}$が単位円周上を１周するとき（$\theta$が$0\leqq\theta\leqq2\pi$の範囲を動くとき），以下のように$\sin{\theta}$は増減します．
[１] $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ $(0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circ)$のとき
$\sin{\theta}$は$0$から$1$まで増加
[２] $\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{3\pi}{2}$ $(90^\circ\leqq\theta\leqq270^\circ)$のとき
$\sin{\theta}$は$1$から$-1$まで減少
[３] $\dfrac{3\pi}{2}\leqq\theta\leqq2\pi$ $(270^\circ\leqq\theta\leqq360^\circ)$のとき
$\sin{\theta}$は$-1$から$0$まで増加
よって，$\sin{\theta}$の増減表は以下のようになりますね．
| $\theta$ | $0$ | $\dots$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dots$ | $\dfrac{3\pi}{2}$ | $\dots$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin{\theta}$ | $0$ | $\nearrow$ | $1$ | $\searrow$ | $-1$ | $\nearrow$ | $0$ |
$\sin{\theta}$のグラフ
以上の増減をふまえつつ，$y=\sin{\theta}$のグラフを
で順にプロットしていきましょう．
このように点$\mrm{P}$を単位円上で動かすと，$\sin{\theta}$のグラフが下図のようになることが分かりますね．
この図からも$\theta$が$2\pi$ごとに同じ値を取ることが見てとれますね．
先ほどの$\sin{\theta}$の増減表でも見たように
- $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$で単調増加
- $\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{3\pi}{2}$で単調減少
- $\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq2\pi$で単調増加
となっていることを確認してください．
$\cos{\theta}$の増減とグラフ
点$\mrm{P}$が単位円周上を１周するときに$\cos{\theta}$がどのように増減しているかを掴み，グラフを描きましょう．
$\cos{\theta}$の増減
点$\mrm{P}$が単位円周上を１周するとき（$\theta$が$0\leqq\theta\leqq2\pi$の範囲を動くとき），以下のように$\cos{\theta}$は増減します．
[１] $0\leqq\theta\leqq\pi$ $(0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ)$のとき
$\cos{\theta}$は$1$から$-1$まで減少
[２] $\pi\leqq\theta\leqq2\pi$ $(180^\circ\leqq\theta\leqq360^\circ)$のとき
$\cos{\theta}$は$-1$から$1$まで増加
よって，$\cos{\theta}$の増減表は以下のようになりますね．
| $\theta$ | $0$ | $\dots$ | $\pi$ | $\dots$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\cos{\theta}$ | $1$ | $\searrow$ | $-1$ | $\nearrow$ | $1$ |
$\cos{\theta}$のグラフ
先ほどの$\sin{\theta}$と同じように考えると，$\sin{\theta}$のグラフが下図のようになることが分かりますね．
この図からも$\theta$が$2\pi$ごとに同じ値を取ることが見てとれますね．
先ほどの$\cos{\theta}$の増減表でも見たように
- $0\leqq\theta\leqq\pi$で単調減少
- $\pi\leqq\theta\leqq2\pi$で単調増加
となっていることを確認してください．
$\tan{\theta}$の増減とグラフ
最後に$\tan{\theta}$のグラフを考えましょう．
$\tan{\theta}$の図形的意味（復習）
$\tan{\theta}$は直線$\mrm{OP}$と$x=1$の交点の$y$座標として得られることを思い出しておきましょう．
$\tan{\theta}$のグラフ
$y=\tan{\theta}$のグラフを
で順にプロットしていきましょう．
このように点$\mrm{P}$を単位円上で動かすと，$\tan{\theta}$のグラフが下図のようになることが分かりますね．
この図から$\theta$が$\pi$ごとに同じ値を取ることが見てとれますね．
また，点$\mrm{P}$が$y$軸上にあるとき$\tan{\theta}$を定義されず，$x=\dfrac{\pi}{2}+n\pi$（$n$は整数）で表される直線は漸近線となりますね．
以上より，$\tan{\theta}$の増減表が以下のようになることも分かりますね．
| $\theta$ | $0$ | $\dots$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dots$ | $\dfrac{3\pi}{2}$ | $\dots$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin{\theta}$ | $0$ | $\nearrow$ | × | $\nearrow$ | × | $\nearrow$ | $0$ |
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