浮力の基本｜浮力を正しく理解する

湯船やプールに浸かると体が軽くなりますし，水に木片を入れると木片が水に浮きます．

また，ヘリコプターはプロペラを回すことで宙に浮きます．

このように，流体(液体や気体)が物体を「浮かせる力」のこと「浮力」と言います．

物体が完全に沈んでいる場合でも，水面に浮かんでいる場合でも，「浮力」がどういうものかを知っていれば，どちらも同じ考え方で「浮力」の大きさを求めることができます．

「浮力」は苦手に思われることも多いですが，考え方さえ分かってしまえば全く難しいものではありません．

浮力

たとえば，湯船やプールに浸かると体が軽く感じるのは，水が自分の体を上に押し上げようとするからです．

このように，「物体を液体に沈めたときに，液体が物体を押し上げようとする力」を「浮力」と言います．

また，ヘリコプターはプロペラを回すことで宙に浮くように，「液体と物体」の組み合わせ以外でも浮力は生じますが，高校物理の範囲では「物体を液体に沈めたときに，液体が物体を押し上げようとする力」を指すことがほとんどなので，この記事でもほとんど液体の浮力を説明します．

密度の復習

「浮力」の話の前に「密度」について簡単に復習しておきましょう．

物体の単位体積あたりの質量を密度という．

この説明を僕が初めて聞いたときは，「単位体積あたり」という言葉が分からず，「何のこっちゃ？」となりました．

具体的には，次のようなイメージを持っておけばよいです．

体積 $1[\mrm{m^3}]$ の物体の質量が $M[\mrm{kg}]$ のとき，密度は $M[\mrm{kg/m^3}]$

体積が2倍，3倍，……になれば，質量は2倍，3倍，……になります．つまり，体積の増加は質量の増加に比例します．このときの比例係数が「密度」なのです．

なお，密度はギリシャ文字の $\rho$ ローで表すことが多いです．

「密度」の定義に「単位体積」という言葉を使うのは，単位が $[\mrm{m^3}]$ とは限らないからです．もしかすると， $[\mrm{cm^3}]$ かもしれません．

このように，単位がいろいろあり得るため「単位体積」という言葉を使っているだけですから，自分で勝手に単位を決めて読んだ方が理解しやすいかもしれませんね．

さて，「密度」を考えるとき，その物体の量や大きさは全く関係ありません．ですから，例えば，

半径 $1[\mrm{m}]$ の鉄球
半径 $1[\mrm{cm}]$ の鉄球
1辺 $1[\mrm{cm}]$ の立方体の鉄
形がぐちゃぐちゃな $1[\mrm{kg}]$ の鉄の塊

の「密度」は全て等しいです．

このように，「密度」は形や重さなどによらず，全てどの物質を考えているかだけで決まります．

したがって，体積 $V[\mrm{m^3}]$ の物体の質量が $m[\mrm{kg}]$ であったとすると，この物体の体積 $1[\mrm{m^3}]$ の物体の質量は $\dfrac{m}{V}[\mrm{kg}]$ ですから，密度は $\dfrac{m}{V}[\mrm{kg/m^3}]$ となります．

体積 $V[\mrm{m^3}]$ の物体の質量が $m[\mrm{kg}]$ であったとすると，この物体の密度は $\dfrac{m}{V}[\mrm{kg/m^3}]$ である．

浮力の大きさ

それでは，「浮力」の説明に移ります．

力を考える際には

大きさ
向き

が大切なのでした．

「浮力」の向きは「鉛直上向き」で，「大きさ」については次の公式があります．

重力加速度を $g[\mrm{m/s^2}]$ とする．密度 $\rho[\mrm{kg/m^3}]$ の液体に物体を沈める．体積 $V[\mrm{m^3}]$ の物体が全て液面下に沈んでいるとき，物体が液体から受ける浮力の大きさは $\rho Vg[\mrm{N}]$ である．

さて，ここで注意したいのは，浮力の公式において物体に関する情報は体積 $V[\mrm{m^3}]$ のみだという点です．

つまり，浮力の大きさに物体の素材は全く関係なく，木材を沈めても鉄球を沈めても，体積が同じであれば浮力の大きさは同じです．

ここで，「木片は水に浮くけど，鉄球は水に沈む．だから，鉄球より木片にはたらく浮力の方が大きのでは？」と思った人も少ないかもしれませんね．

確かに，同じ体積の木材と鉄球を用意したとき，木片は浮きますし鉄球は沈みます．これは，浮力の大きさは同じでも，重力の大きさが異なるからです．

つまり，体積が等しい木材と鉄球について，

(木材の重力)<(木材の浮力)=(鉄球の浮力)<(鉄球の重力)

なので，木材は浮力が勝って浮き，鉄球は重力が勝って沈むというわけですね．

このように，「体積が同じであれば，浮力が等しい」という直感としてとても大切です．

物体Aと物体Bの体積が同じであるとする(素材は違ってもよい)．このとき，物体Aと物体Bを同一の液体に沈めたとき，物体Aにはたらく浮力と，物体Bにはたらく浮力は等しい．

アルキメデスの原理

いまみた浮力の公式はそれで良いのですが，少し詳しくみておきましょう．

液体の密度は $\rho[kg/m^3]$ で，物体が液面下に体積 $V[m^3]$ 沈んでいますから， $\rho V[kg]$ は物体が押しのけた液体の質量です．

したがって， $\rho Vg[\mrm{N}]$ は「物体が押しのけた分の液体にはたらく重力」です．

このことは浮力の基本原理で，「アルキメデスの原理」と呼ばれています．

[アルキメデスの原理]　物体が流体中にあるとき，物体は「物体が押しのけた分の流体にはたらく重力」と同じ大きさの「浮力」を受ける．

さて，このように液体に対する「浮力」は[アルキメデスの原理]で説明することができます．

実は，液体以外に関しても[アルキメデスの原理]は有効なので，ここでは詳しく書けませんが，ヘリコプターが宙に浮くのも[アルキメデスの原理]を用いて説明することができます．

「流体」は「空気や水」のような「流れのあるもの」を指しますが，高校物理では「液体」と思ってよいです．

この[アルキメデスの原理]は「浮力」の基本であり，ぜひとも知っておいて欲しい原理です．

浮力の例

以下で

物体が液面に浮かぶ場合
物体が液面下に完全に沈む場合

の例を考えます．

例1

重力加速度を $g[\mrm{m/s^2}]$ とし，密度 $\rho[\mrm{kg/m^3}]$ の液体に質量 $m[\mrm{kg}]$ の物体を液面上に浮かべると静止したとします．

このとき，物体がどれだけ液面下に沈んでいるのかを考えます．

[アルキメデスの原理]から，液面下に沈んでいる体積 $V[\mrm{m^3}]$ の部分だけに浮力がはたらきます．

したがって，物体が液面下に沈んでいる体積を $V[\mrm{m^3}]$ とすると，物体には

大きさ $\rho Vg[\mrm{N}]$ の浮力
大きさ $mg[\mrm{N}]$ の重力

がはたらいています．

いま物体は静止しているので，これらの力がつり合っています．

【力の基本２｜力のつりあいとその例】

物体にはたらく力の合力が0であるとき，力がつり合っているといいます．物体にはたらく力がつり合っているとき静止している物体は静止し続け，また逆に物体が静止しているとき物体にはたらく力はつり合っています．

すなわち，鉛直上向きの浮力と鉛直下向きの重力の合力は0なので，

$\begin{align*} &\rho Vg-mg=0 \\\iff& V=\dfrac{m}{\rho} \end{align*}$

となります．よって，物体の液面下に沈んでいる部分の体積が $\frac{m}{\rho}[\mrm{m^3}]$ であると分かりました．

例2

重力加速度を $g[\mrm{m/s^2}]$ とし，密度 $\rho[\mrm{kg/m^3}]$ の液体に体積 $V[\mrm{m^3}]$ ，質量 $m[\mrm{kg}]$ の物体を液面下に完全に沈めます．

このとき，水の抵抗は無視するとし，物体がどのような運動をするのかを考えます．

物体には

大きさ $\rho Vg[\mrm{N}]$ の浮力
大きさ $mg[\mrm{N}]$ の重力

がはたらいています．

浮力は鉛直上向き，重力は鉛直下向きにはたらいているので，物体にはたらく力の合力は鉛直下向きに $mg-\rho Vg[\mrm{N}]=(m-\rho V)g[\mrm{N}]$ となります．

ここで，重力の方が強いか，浮力の方が強いかで沈んでいくか，浮かんでいくかが変わりますね．つまり，

$mg>\rho Vg\iff m>\rho V$ のとき(重力が強いとき)
$mg<\rho Vg\iff m>\rho V$ のとき(浮力が強いとき)

で運動が変わります．

[1]　 $m>\rho V$ のとき

鉛直下向きに大きさ $(m-\rho V)g[\mrm{N}]$ の力がはたらきます．

このときの鉛直下向きで大きさ $a$ の加速度で運動するとすると，運動方程式より

$\begin{align*} &(m-\rho V)g=ma \\\iff& a=g-\frac{\rho V}{m}g \end{align*}$

となります．

もし浮力がない状態を考えれば物体は自由落下で加速度は $g[\mrm{m/s^2}]$ となるので，今回の結果の $a=g-\frac{\rho V}{m}g$ は浮力があることによって，加速度が $\frac{\rho V}{m}g$ だけ弱められていると解釈できますね．

[2]　 $m<\rho V$ のとき

鉛直上向きに大きさ $(\rho V-m)g[\mrm{N}]$ の力がはたらきます．

このときの鉛直下向きで大きさ $a$ の加速度で運動するとすると，運動方程式より

$\begin{align*} &(\rho V-m)g=ma \\\iff& a=\frac{\rho V}{m}g-g \end{align*}$

となります．

[1]とは逆に，もし重力がない状態を考えれば物体は大きさ $\frac{\rho V}{m}g$ の加速度で上昇していくので，今回の結果の $a=\frac{\rho V}{m}g-g$ は重力があることによって，加速度が $g$ だけ弱められていると解釈できますね．

以上より，[1]と[2]のいずれの場合でも等加速度運動となることが分かりました．

※ただし，現実的には液体の抵抗は無視できず等加速度直線運動にはなりませんが，「動きはじめ」などは液体の抵抗が小さく無視できるので，だいたい等加速度直線運動をしているとみなすことができます．

【力の基本３｜運動方程式，力と質量と加速度の関係】

物体にはたらく力がつり合っていれば，合力が0というつり合いの方程式を考えることができます．一方，物体にはたらく力がつり合っていないときには，物体は加速度をもって運動し，この運動は運動方程式によって考えることができます．

浮力は液体に沈んでいる物体の体積分だけはたらく．

物体の浮き沈みについての補足

例えば，鉄球は水に沈みます．このことは鉄球の大きさによらず，どれだけ鉄球を細かくして軽くしても必ず水に沈みます．

このことを，例2と同じ設定で考えてみましょう．

物体にはたらく力の合力は，鉛直下向きに $(mg-\rho Vg)[\mrm{N}]$ なのでした．これは

$\begin{align*} mg-\rho Vg=Vg\bra{\frac{m}{V}-\rho} \end{align*}$

と変形でき，右辺のかっこの中身を見てみると， $\frac{m}{V}[\mrm{kg/m^3}]$ は「物体の密度」で， $\rho[\mrm{kg/m^3}]$ は「液体の密度」です．

よって，(物体の密度)>(液体の密度)のときは $Vg\bra{\frac{m}{V}-\rho}>0$ なので物体は沈んでいき，(物体の密度)<(液体の密度)のときは $Vg\bra{\frac{m}{V}-\rho}>0$ なので物体は浮かんでいきます．

したがって，物体の浮き沈みは「物体の密度」と「液体の密度」の大小のみによって決まることが分かりました．

木片はスカスカですから密度は小さいので水よりも密度が小さく水に浮かび，一方で鉄球は小さくても重いですから密度は大きいので水よりも密度が大きく水に沈みます．

物体の大きさを変えても密度は変わりませんから，物体を細かくしても浮かぶ物体は浮かびますし，沈む物体は沈むことになります．

(物体の密度)>(液体の密度)のとき物体は沈んでいき，(物体の密度)<(液体の密度)のとき物体は浮かんでいく．