浮力の基本｜浮力を正しく理解する

湯船やプールに浸かると体が軽くなりますし，水に木片を入れると木片が水に浮きます．また，ヘリコプターはプロペラを回すことで宙に浮きます．
このように，流体(液体や気体)が物体を「浮かせる力」のこと「浮力」と言います．

物体が完全に沈んでいる場合でも，水面に浮かんでいる場合でも，「浮力」がどういうものかを知っていれば，どちらも同じ考え方で「浮力」の大きさを求めることができます．

「浮力」は苦手に思われることも多いですが，考え方さえ分かってしまえば全く難しいものではありません．

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1 浮力
2 浮力の例
- 2.1 例1(物体を液面上に浮かべた場合)
- 2.2 例2(物体を液面下に完全に沈めた場合)
3 物体の浮き沈みについての補足

浮力

たとえば，湯船やプールに浸かると体が軽くなるのは，水が自分の体を上に押し上げようとするからです．このように，「物体を液体に沈めたときに，液体が物体を押し上げようとする力」を「浮力」と言います．

しかし，ヘリコプターはプロペラを回すことで宙に浮くように，「液体と物体」の組み合わせ以外でも浮力は生じます．

しかし，高校物理の範囲では「物体を液体に沈めたときに，液体が物体を押し上げようとする力」を指すことがほとんどなので，この記事でもほとんど液体の浮力について話を進めます．

さて，「力」を理解するためには「大きさ」と「向き」の2つを理解しなければなりません．「浮力」の「向き」はいつでも「鉛直上向き」です．

密度の復習

「浮力」の話に移りたいところですが，まず「密度」について簡単に復習しておきます．

「密度」とは「単位体積あたりの質量」と言いますが，僕が初めて聞いたときは「何のこっちゃ？」となりました．

「単位体積あたり」という言葉を使うから面倒なのであって，具体的な次のようなイメージを持っておけばよいです．

体積 $1[\mathrm{m^3}]$ の物体の質量が $M[\mathrm{kg}]$ のとき，密度は $M[\mathrm{kg/m^3}]$

体積が2倍，3倍，……になれば，質量は2倍，3倍，……になります．つまり，体積の増加は質量の増加に比例します．このときの比例係数が「密度」なのです．

「密度」の定義に「単位体積」という言葉を使うのは，単位が $[\mathrm{m^3}]$ とは限らないからです．もしかすると， $[\mathrm{cm^3}]$ かもしれません．単位が何か分からないので，「単位体積」という言葉を使っているのです．

さて，「密度」を考えるとき，その物体の量や大きさは全く関係ありません．ですから，例えば，

半径 $1[\mathrm{m}]$ の鉄球
半径 $1[\mathrm{cm}]$ の鉄球
1辺 $1[\mathrm{cm}]$ の立方体の鉄
形がぐちゃぐちゃな $1[\mathrm{kg}]$ の鉄の塊

は全て「密度」は等しいです．「密度」は形や重さなどによらず，全てどの物質を考えているかだけで決まります．

したがって，体積 $V[\mathrm{m^3}]$ の物体の質量が $m[\mathrm{kg}]$ であったとすると，この物体の体積 $1[\mathrm{m^3}]$ の物体の質量は $\dfrac{m}{V}[\mathrm{kg}]$ ですから，密度は $\dfrac{m}{V}[\mathrm{kg/m^3}]$ となります．

体積 $V[\mathrm{m^3}]$ の物体の質量が $m[\mathrm{kg}]$ であったとすると，この物体の密度は $\dfrac{m}{V}[\mathrm{kg/m^3}]$ である．

浮力の大きさ

「浮力」の「向き」はいつでも「鉛直上向き」ですから，問題は「浮力」の「大きさ」となります．

「浮力」の「大きさ」については次の公式があります．

[公式]　重力加速度を $g[\mathrm{m/s^2}]$ とする．密度 $\rho[\mathrm{kg/m^3}]$ の液体に物体を沈める．体積 $V[\mathrm{m^3}]$ の物体が全て液面下に沈んでいるとき，物体が液体から受ける浮力の大きさは $\rho Vg[\mathrm{N}]$ である．

なお， $\rho$ はギリシャ文字で「ロー」と読みます．

さて，ここで注意したいのは，[公式]から「物体の体積が同じであれば，別の物質であっても『浮力』の『大きさ』は変わらない」ということです．

ここで，もしかすると次のように思った人がいるかもしれません．

「たとえば，同じ体積の木片と鉄球を水に沈めたら，木片は浮くけど，鉄球は沈むやん？やから，鉄球より木片にはたらくの方が浮力が大きいはずや！」

はい，確かに木片は浮きますし，鉄球は沈みます．しかし，そこから「浮力」の「大きさ」の大小は分かりません．というのは，同じ体積の木片と鉄球では，はたらく重力の大きさが異なるからです．

すなわち，鉄球にはたらく重力は「浮力」より大きいため，「浮力」が重力に負けて沈むのです．一方，木片にはたらく重力は「浮力」より小さいため，「浮力」が重力に勝って浮き上がるのです．

このように，体積が同じであれば，浮力が等しいということは[直感]としてとても大切です．

[直感]　物体Aと物体Bの体積が同じであるとする(素材は違ってもよい)．このとき，物体Aと物体Bを同一の液体に沈めたとき，物体Aにはたらく浮力と，物体Bにはたらく浮力は等しい．

アルキメデスの原理

「浮力」の[公式]はそれで良いのですが，[公式]をもう少し考えてみます．

液体の密度は $\rho[kg/m^3]$ で，物体が液面下に体積 $V[m^3]$ 沈んでいます．よって， $\rho V[kg]$ は物体が押しのけた液体の質量です．

したがって， $\rho Vg[\mathrm{N}]$ は「物体が押しのけた分の液体にはたらく重力」に等しいです．

このことは「アルキメデスの原理」と呼ばれ，古来より知られてきました．この「アルキメデスの原理」は浮力の基本原理です．

さて，このように液体に対する「浮力」は[アルキメデスの原理]で説明することができます．実は，液体以外に関しても，[アルキメデスの原理]は有効なのです．

つまり，ヘリコプターが宙に浮くのも[アルキメデスの原理]を用いて説明することができます．このことについては詳しく書きませんが，以上より[アルキメデスの原理]は次のように述べることができます．

[アルキメデスの原理]　物体が流体中にあるとき，物体は「物体が押しのけた分の流体にはたらく重力」と同じ大きさの「浮力」を受ける．

「流体」は「空気や水」のような「流れのあるもの」を指しますが，高校物理では「液体」と思ってよいです．

この[アルキメデスの原理]は「浮力」の基本であり，ぜひとも知っておいて欲しい原理です．

浮力の例

以下でいくつかの例を見ます．

例1(物体を液面上に浮かべた場合)

重力加速度を $g[\mathrm{m/s^2}]$ とし，密度 $\rho[\mathrm{kg/m^3}]$ の液体に質量 $m[\mathrm{kg}]$ の物体を液面上に浮かべると静止したとします．このとき，物体がどれだけ液面下に沈んでいるのかを考えます．

物体が液面下に沈んでいる体積を $V[\mathrm{m^3}]$ とします．[アルキメデスの原理]を考えると，この液面下に沈んでいる体積 $V[\mathrm{m^3}]$ の部分だけに浮力がはたらきます．

したがって，物体にはたらく浮力の大きさは $\rho Vg[\mathrm{N}]$ です．

また，物体には大きさ $mg[\mathrm{N}]$ の重力もはたらいています．

いま浮力は鉛直上向き，重力は鉛直下向きにはたらいており，物体は静止しているので，これらの力がつり合っています．よって，

$\rho Vg=mg$

だから， $V=\dfrac{m}{\rho}$ となります．

【参考記事：力の基本２｜力のつりあいとその例】

よって，物体は液面下に体積 $\dfrac{m}{\rho}[\mathrm{m^3}]$ 沈んでいます．

例2(物体を液面下に完全に沈めた場合)

重力加速度を $g[\mathrm{m/s^2}]$ とし，密度 $\rho[\mathrm{kg/m^3}]$ の液体に体積 $V[\mathrm{m^3}]$ ，質量 $m[\mathrm{kg}]$ の物体を液面下に完全に沈めます．このとき，物体がどのような運動をするのかを考えます．

ただし，水の抵抗は無視するとします．

[公式]から，物体には大きさ $\rho Vg[\mathrm{N}]$ の浮力がはたらいています．また，物体には大きさ $mg[\mathrm{N}]$ の重力もはたらいています．

いま浮力は鉛直上向き，重力は鉛直下向きにはたらいているので，鉛直下向きを正の向きにとると，鉛直方向に浮力は $-\rho Vg[\mathrm{N}]$ であり，重力は $mg[\mathrm{N}]$ となります．

よって，物体にはたらく力の合力は $mg-\rho Vg[\mathrm{N}]$ となります．

【参考記事：運動の基本５｜向きの決め方，向きを変えるとどうなるか】

さて，物体にはたらく力は $mg-\rho Vg[\mathrm{N}]$ で一定です．したがって，物体は等加速度直線運動をします．

よって，物体が加速度 $a[\mathrm{m/s^2}]$ で運動しているとすると，物体に関する運動方程式は

$ma=mg-\rho Vg$

だから， $a=g-\dfrac{\rho Vg}{m}$ となります．

【参考記事：力の基本３｜運動方程式，力と質量と加速度の関係】

よって，物体は鉛直下向きに加速度 $a=g-\dfrac{\rho Vg}{m}$ で等加速度直線運動します．

※現実的には，水の抵抗は無視できないので，等加速度直線運動にはなりません．

しかし，「動き始め」などは水の抵抗を無視できるので，だいたい等加速度直線運動をしているとみなすことができます．

物体の浮き沈みについての補足

例えば，木片を細かくしても，細かくした木片もやはり水面上に浮かびます．このように，密度が一定の物体は，その大きさに関わらず，浮く物体は浮きますし，沈む物体は沈みます．

このことを，例2の結果から少し考えてみます．

例2の結果から， $a=g-\dfrac{\rho Vg}{m}$ となります．これを変形すると，

$a=\left(\dfrac{m}{V}-\rho\right)\dfrac{Vg}{m}$

となります．かっこの中身を見てみると， $\dfrac{m}{V}[\mathrm{kg/m^3}]$ は「物体の密度」で， $\rho[\mathrm{kg/m^3}]$ は「液体の密度」です．

よって，今は鉛直下向きを正としていることに注意すると，(物体の密度)>(液体の密度)のときは $a>0$ ですから物体は沈んでいき，(物体の密度)<(液体の密度)のときは $a<0$ ですから物体は浮かんでいきます．

このように，物体の浮き沈みは「物体の密度」と「液体の密度」の大小のみによって決まるのです．

木片はスカスカですから密度は小さいので，水よりも密度が小さく水に浮かびます．一方，鉄球は小さくても重いですから密度は大きいので，水よりも密度が大きく水に沈みます．

このことは，物体の大きさを変えても，密度は変わりません．したがって，物体を細かくしても浮かぶ物体は浮かびますし，沈む物体は沈むことになります．

(物体の密度)>(液体の密度)のとき物体は沈んでいき，(物体の密度)<(液体の密度)のとき物体は浮かんでいく．

【関連記事：力の基本１｜基本的な6種類の力を知る】

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浮力の基本｜浮力を正しく理解する