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弾性力の基本｜フックの法則は怖くない

2017/1/6 2019/11/21 力学

バネは置いておくだけでは，静止して何のアクションも起こしませんが，バネは縮められると伸びようとしますし，伸ばされると縮もうとします．

つまり，バネは変形させられると元の形に戻ろうとする弾性力がはたらきます．

バネをギュッと押し縮めると押し返そうとしますが，このとき縮めれば縮めるほど押し返そうとする力が強くなります．

一方で，バネをグッと伸ばすと縮まろうとしますが，このとき伸ばせば伸ばすほど縮まろうとする力が強くなります．

このように，変形させればさせるほど力強く元に戻ろうとする法則は[フックの法則]と呼ばれ，[フックの法則]から弾性力の大きさを計算することができます．

この記事では，弾性力の基本性質を説明したのち，具体的な問題を解いて弾性力の考え方をみます．

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目次

1 弾性力
2 弾性力の例
- 2.1 例1(天井から物体をバネで吊した場合)
- 2.2 例2(天井から物体を2本のバネで吊した場合)

弾性力

冒頭でも書きましたが，「変形させられた物体が元の形に戻ろうとしてはたらく力」のことを「弾性力」といいます．「弾性力」を考えるときの代表例としてはバネが挙げられます．

ここでは，バネを例に弾性力を考えます．

当ブログの物理の記事では常々言っていますが，「力」を考えるときには「大きさ」と「向き」を知る必要があります．

「弾性力」で混乱してしまう人で多いパターンは，この「大きさ」と「向き」がごちゃごちゃになってしまうことでしょう．しかし，本来は「大きさ」と「向き」は別々に考えるべきであって，実際に別々に落ち着いて考えれば混乱することもないでしょう．

以下では，「大きさ」と「向き」のどちらを考えているのか確かめながら読み進めてください．

自然長

「弾性力」を理解するには，まず「自然長」という言葉を知っておかなければなりません．「自然長」とは次で言い表されます．

力が加わっていないバネはある長さの状態で静止する．この長さのことを自然長や自然の長さなどという．

バネの「弾性力」の「大きさ」の「向き」のどちらを知る上でも「自然長」は非常に大切ですから，「バネと聞けば自然長を確認する！」くらいになっておいてください．

弾性力の「向き」

「弾性力」とは「変形させられた物体が元の形に戻ろうとしてはたらく力」でした．

すなわち，「バネは縮められると伸びようとし，伸ばされると縮もうとする力」のことですね．

ここで，「バネが縮んでいる」，「バネが伸びている」とは，「自然長」を用いて次のようにいうことができますね．

バネが縮んでいる=バネが自然長より長い
バネが伸びている=バネが自然長より短い

バネが「自然長より長い」ときは「自然長に戻ろうと縮み」，「自然長より短い」ときは「自然長に戻ろうと伸びる」わけですね．

もっと，簡潔に言えば，

[弾性力の向き]バネはいつでも自然長に戻ろうとする．

となります．これを押さえておけば，「弾性力」の「向き」で迷うことはないでしょう．

弾性力の「大きさ」

「弾性力」の「大きさ」を求めるためには[フックの法則]を用います．[フックの法則]は次で表される法則です．

[フック(Hooke)の法則]　バネの弾性力の大きさ $F[\mathrm{N}]$ は，バネの自然長からの長さの変化 $x[\mathrm{m}]$ に比例する．このときの比例定数 $k[\mathrm{N/m}]$ を「バネ定数」という．

すなわち， $F=kx$ が成り立つ．

注意しなければならないのは，バネ定数はバネに固有であることです．つまり，同じバネを使っている限り，バネ定数は変化しません．

ですから，バネ定数が分かっていれば，あとは自然長からの伸び縮みが分かれば，「弾性力」の大きさはすぐに求められることになります．

また，[フックの法則]は「弾性力」の「向き」については何も述べていないことに注意してください．

「向き」に関しては，[弾性力の向き]に書いたように「自然長から伸びているか，縮んでいるか」のみに関係します．

つまり，弾性力については，いつでも「向き」と「大きさ」を別々に考えなければなりません．

弾性力の例

以下でいくつかの例を見ますが，上で説明した「弾性力」の「向き」と「大きさ」を意識しながら読んでください．

「向き」は[弾性力の向き]，「大きさ」は[フックの法則]を用います．

例1(天井から物体をバネで吊した場合)

重力加速度を $g[\mathrm{m/s^{2}}]$ とします．質量 $m[\mathrm{kg}]$ の物体を天井からバネで吊るすと，バネが自然長から $x[\mathrm{m}]$ 伸びて物体は静止しているとします．

このとき，バネ定数を $k[\mathrm{N/m}]$ を求めます．

バネに物体を吊るすことで，バネは自然長より長くなります．よって，バネによる「弾性力」の「向き」は「鉛直上向き」になります．

また，[フックの法則]より，バネの「弾性力」の「大きさ」は $kx[\mathrm{N}]$ になります．

さらに，物体に「大きさ $mg[\mathrm{N}]$ の鉛直下向きの重力」もはたらいています．

いま，物体は静止しているので，物体にはたらく力はつりあっています．すなわち，物体にはたらく力の合力は $0[\mathrm{N}]$ です．

よって， $mg=kx$ だから $k=\dfrac{mg}{x}$ となります．

【参考記事：力の基本2|力のつりあいとその例】

例2(天井から物体を2本のバネで吊した場合)

重力加速度を $g[\mathrm{m/s^{2}}]$ とします．質量 $m[\mathrm{kg}]$ の物体を天井から2本の同じバネで吊るすと，バネが自然長から $x[\mathrm{m}]$ 伸びて物体は静止しているとします．

このとき，バネ定数を $k[\mathrm{N/m}]$ を求めます．

2本のバネに物体を吊るすことで，バネは2本とも自然長より長くなります．よって，2本のバネによる「弾性力」の「向き」は「鉛直上向き」になります．

また，[フックの法則]より，2本のバネの「弾性力」の「大きさ」はともに $kx[\mathrm{N}]$ になります．

さらに，物体に「大きさ $mg[\mathrm{N}]$ の鉛直下向きの重力」もはたらいています．

いま，物体は静止しているので，物体にはたらく力はつりあっています．すなわち，物体にはたらく力の合力は $0[\mathrm{N}]$ です．

よって， $mg=kx+kx$ だから $k=\dfrac{mg}{2x}$ となります．

【参考記事：力の基本2|力のつりあいとその例】