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弾性力の基本｜バネの力は「フックの法則」で考えよう！

2017/1/6 2020/5/18 力学

バネは置いておくだけでは，静止して何のアクションも起こしませんが，バネは縮められると伸びようとしますし，伸ばされると縮もうとします．

つまり，バネは変形させられると元の形に戻ろうとする弾性力がはたらきます．

バネをギュッと押し縮めると押し返そうとしますが，このとき縮めれば縮めるほど押し返そうとする力が強くなります．

一方で，バネをグッと伸ばすと縮まろうとしますが，このとき伸ばせば伸ばすほど縮まろうとする力が強くなります．

このように，変形させればさせるほど力強く元に戻ろうとする法則は[フックの法則]と呼ばれ，[フックの法則]から弾性力の大きさを計算することができます．

この記事では，弾性力の基本性質を説明したのち，具体的な問題を解いて弾性力の考え方をみます．

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弾性力

日常的にもよく見かける「バネ」は弾性力をもつものの代表ですね．

この記事では，バネの弾性力を考えます．

自然長と弾性力の向き

バネを机などに置くと静止しますが，このときのバネの長さのことを次のようにいいます．

力が加わっていないバネはある長さの状態で静止する．この長さのことを自然長や自然の長さなどという．

当然のことながら，バネの大きさなどによっても自然長はバネごとに違います．

ここで，「バネが縮んでいる」，「バネが伸びている」とは，「自然長」を用いて次のようにいうことができますね．

バネが縮んでいる=バネが自然長より長い
バネが伸びている=バネが自然長より短い

さて，我々の日常から当たり前のことですが，以下の事実を確認しておきましょう．

[弾性力の向き]　バネはいつでも自然長に戻ろうとする．

これを押さえておけば，弾性力の向きで迷うことはないでしょう．

さて，さて「自然長」という言葉を用いると，バネの弾性力は次のようにいうことができますね．

変形させられたバネが自然長に戻ろうとしてはたらく力を弾性力という．

すなわち，バネは

縮められると自然長より短くなるので，伸びて自然長に戻ろうとする
伸ばされると自然長より長くなるので，縮んで自然長に戻ろうとする

というわけですね．

弾性力の「大きさ」

弾性力の大きさを求めることができる公式として，[フックの法則]があります．

[フック(Hooke)の法則]　バネの弾性力の大きさ $F[\mrm{N}]$ は，バネの自然長からの長さの変化 $x[\mrm{m}]$ に比例する．すなわち， $F=kx$ が成り立つ．

このときの比例定数 $k[\mrm{N/m}]$ を「バネ定数」という．

バネ定数 $k$ はバネによって決まっており，バネ定数 $k$ が大きいほど小さい x で大きな弾性力 $F$ が得られます．

つまり，硬いバネほどバネ定数が大きいということができますね．

弾性力の例

以下でいくつかの例を見ますが，上で説明した弾性力の「向き」と「大きさ」を意識しつつ読んでください．

例１(天井から物体をバネで吊した場合)

質量 $m[\mrm{kg}]$ の物体を天井から軽いバネで吊るすと，バネが自然長から $x[\mrm{m}]$ 伸びて物体は静止したとします．このときのバネ定数 $k[\mrm{N/m}]$ を求めましょう．

ただし，重力加速度の大きさを $g[\mrm{m/s^{2}}]$ とします．

このとき，物体はバネから弾性力を受けて鉛直上向きに引っ張られます．

バネ定数は $k[\mrm{N/m}]$ で，バネが自然長から $x[\mrm{m}]$ 伸びていることから，この弾性力の大きさは $kx[\mrm{N}]$ です．

また，物体の質量が $m[\mrm{kg}]$ ，重力加速度が $g[\mrm{m/s^2}]$ なので，物体には鉛直下向きに大きさ $mg[\mrm{N}]$ の重力がはたきます．

これらを図に書き込むと下図のようになります．

物体は静止していることから，物体にはたらく力はつりあっているので，つりあいの条件から

$\begin{align*} kx-mg=0 \iff k=\frac{mg}{x} \end{align*}$

となり，バネ定数が $\dfrac{mg}{x}$ と分かりました．

【力の基本２｜力のつりあいとその例】

物体にはたらく全ての力を合わせた力が0になっていることを「力がつりあっている」といい，力がつりあっている物体は速度を変えず運動を続けます．つまり，静止している物体は静止し続け，等速直線運動をしている物体はそのまま等速直線運動を続けます．

例２(天井から物体を2本のバネで吊した場合)

質量 $m[\mrm{kg}]$ の物体を天井から軽い2本の同じバネで吊るすと，バネが自然長から $x[\mrm{m}]$ 伸びて物体は静止したとします．このときのバネ定数 $k[\mrm{N/m}]$ を求めましょう．

ただし，重力加速度の大きさを $g[\mrm{m/s^{2}}]$ とします．

このとき，物体は2本のバネから弾性力を受けて鉛直上向きに引っ張られます．

バネ定数は $k[\mrm{N/m}]$ で，バネが自然長から $x[\mrm{m}]$ 伸びていることから，どちらのバネにおいても弾性力の大きさは $kx[\mrm{N}]$ です．

また，物体の質量が $m[\mrm{kg}]$ ，重力加速度が $g[\mrm{m/s^2}]$ なので，物体には鉛直下向きに大きさ $mg[\mrm{N}]$ の重力がはたきます．

これらを図に書き込むと下図のようになります．

物体は静止していることから，物体にはたらく力はつりあっているので，つりあいの条件から

$\begin{align*} 2kx-mg=0 \iff k=\frac{mg}{2x} \end{align*}$

となり，バネ定数が $\dfrac{mg}{2x}$ と分かりました．

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