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ベクトルの内積の定義と展開公式を解説

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ベクトルの基本の計算である

  • ベクトルの実数倍
  • ベクトルの和・差

については前回の記事で説明しました.

これらの計算に加えて,2つのベクトル$\ve{a}$, $\ve{b}$に対する内積$\ve{a}\cdot\ve{b}$というものがあります.

内積$\ve{a}\cdot\ve{b}$は2つのベクトル$\ve{a}$, $\ve{b}$の関係を表すものになっており,内積を考えることによってベクトルが便利に扱えるようになります.

この記事では

  • 内積とベクトルの和の長さ
  • 内積の定義と公式
  • 内積の具体例

を順に説明します.

内積とベクトルの和の長さ

ベクトルの内積の必要性を考えるために,まずはベクトルの和$\ve{a}+\ve{b}$の長さ$|\ve{a}+\ve{b}|$をどのように計算すれば良いか考えましょう.

例えば,$\ve{a}$と$\ve{b}$が同じ向きであれば$|\ve{a}+\ve{b}|=|\ve{a}|+|\ve{b}|$となりますね.

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同様に,$\ve{a}$と$\ve{b}$が逆向きの場合には長さの差で求まりますね.

しかし,$\ve{a}$と$\ve{b}$が平行でない場合には$|\ve{a}+\ve{b}|$はそう単純には求められません.

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しかし,実は内積$\ve{a}\cdot\ve{b}$を用いると$|\ve{a}+\ve{b}|$を求めることができるようになります.

内積の定義と公式

内積をどう定義すると良さそうか考えるために余弦定理の復習から始めましょう.

余弦定理の復習

2つの辺の長さとその間の角の大きさが絡む三角形においては余弦定理が大切なのでした.

[余弦定理] $\tri{OAB}$について,$\theta=\ang{O}$とすると以下が成り立つ.

   \begin{align*}\mrm{AB}^2=\mrm{OA}^2+\mrm{OB}^2-2\mrm{OA}\cdot\mrm{OB}\cdot\cos{\theta}\end{align*}

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この$\tri{OAB}$において,$\ve{a}=\Ve{OA}$, $\ve{b}=\Ve{OB}$とすると,余弦定理の等式は

   \begin{align*}|\ve{a}-\ve{b}|^2=|\ve{a}|^2+|\ve{b}|^2-2|\ve{a}||\ve{b}|\cos{\theta}\quad\dots(*)\end{align*}

となりますね.

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内積の定義

余弦定理から得られる等式$(*)$で右辺の項の順番を少し変えて

   \begin{align*}|\ve{a}-\ve{b}|^2=|\ve{a}|^2-2|\ve{a}||\ve{b}|\cos{\theta}+|\ve{b}|^2\end{align*}

とすると,展開公式

   \begin{align*}(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\end{align*}

と似ていることに気が付きますね.そこで,内積$\ve{b}\cdot\ve{c}$を以下のように定義します.

$\ve{0}$でない2つのベクトル$\ve{x}$, $\ve{y}$に対して,$\ve{x}$の始点と$\ve{y}$の始点を一致させたときの2つのベクトルのなす角$\theta(\leqq180^\circ)$を$\ve{x}$と$\ve{y}$のなす角という.

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$\ve{0}$でない2つのベクトル$\ve{x}$, $\ve{y}$のなす角を$\theta$とするとき,

   \begin{align*}|\ve{x}||\ve{y}|\cos{\theta}\end{align*}

を$\ve{x}$と$\ve{y}$の内積 (inner product)といい$\ve{x}\cdot\ve{y}$と表す.また,$\ve{x}=\ve{0}$または$\ve{y}=\ve{0}$のときは$\ve{x}\cdot\ve{y}=0$とする.

ベクトルの展開公式

いまの内積の定義から,余弦定理から得られた先ほどのベクトルの等式は

   \begin{align*}|\ve{a}-\ve{b}|^2=|\ve{a}|^2-2\ve{a}\cdot\ve{b}+|\ve{b}|^2\end{align*}

と表すことができます.

つまり,上のように内積を定義することで$|\ve{a}-\ve{b}|^2$は$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$と同様に展開することができるようになったわけですね.

また,この等式で$-\ve{b}$を$\ve{b}$に置き換えれば

   \begin{align*}|\ve{a}+\ve{b}|^2=|\ve{a}|^2+2\ve{a}\cdot\ve{b}+|\ve{b}|^2\end{align*}

となり,和の場合も$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$と同様に展開できることが分かります.

第2項では性質$-2\ve{b}\cdot(-\ve{a})=2\ve{a}\cdot\ve{b}$を用いています.この性質はのちの記事で説明します.

内積の具体例

内積を使うと,具体的には以下のような問題を解くことができます.

$|\ve{a}|=2$, $|\ve{b}|=3$のベクトル$\ve{a}$, $\ve{b}$のなす角が$60^\circ$のとき,$|\ve{a}-\ve{b}|$を求めよ.

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内積$\ve{a}\cdot\ve{b}$は

   \begin{align*}\ve{a}\cdot\ve{b}=&|\ve{a}||\ve{b}|\cos{30^\circ}=2\cdot3\cdot\frac{1}{2}=3\end{align*}

となるので,ベクトルの長さの2乗の展開公式より,

   \begin{align*}|\ve{a}-\ve{b}|^2=&|\ve{a}|^2-2\ve{a}\cdot\ve{b}+|\ve{b}|^2 \\=&2^2-2\cdot3+3^2=7\end{align*}

となる.よって,$|\ve{a}-\ve{b}|=\sqrt{7}$である.

使っているのは$|\ve{a}-\ve{b}|^2$の展開公式ですね.

先ほど見たように$|\ve{a}-\ve{b}|^2$の展開公式は余弦定理から得られるのでしたから,次の[別解]のように余弦定理を用いても本質的には全く同じです.

[別解] $\mrm{AC}\cdot\mrm{BC}\cos{60^\circ}$は

   \begin{align*}\mrm{AC}\cdot\mrm{BC}\cos{60^\circ}=2\cdot3\cdot\frac{1}{2}=3\end{align*}

となるので,余弦定理より

   \begin{align*}\mrm{AB}^2=&\mrm{AC}^2-2\mrm{AC}\cdot\mrm{BC}\cos{60^\circ}+\mrm{BC}^2 \\=&2^2-2\cdot3+3^2=7\end{align*}

となる.よって,$\mrm{AB}=\sqrt{7}$である.

いまの2つの解答を見比べると,ベクトルの展開公式

   \begin{align*}|\ve{a}-\ve{b}|^2=|\ve{a}|^2-2\ve{a}\cdot\ve{b}+|\ve{b}|^2\end{align*}

と余弦定理が本質的に同じである様子が見てとれますね.

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