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ベクトル3|ベクトルの[内積]の基本性質の総まとめ

前回の記事では,内積を定義すると|\ve{a}+\ve{b}|^2(a+b)^2と同じように展開することができて,とても便利なことを説明しました.

この記事では,前回の記事では説明しなかった内積が満たす性質を説明します.

ベクトル\ve{a}, \ve{b}について,内積\ve{a}\cdot\ve{b}が分かれば,\ve{a}\ve{b}のなす角が鋭角か直角か鈍角かが分かります.

また,内積は計算もしやすく

  • 交換法則
  • 分配法則

を満たすため,普通の掛け算のように扱えることも多いです.

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内積の値

内積の定義については前回の記事を参照してください.

まずは内積の値について考えましょう.

内積のとりうる値の範囲

ベクトル\ve{a}, \ve{b}の内積\ve{a}\cdot\ve{b}のとりうる値の範囲は以下のようになっています.

零ベクトルでないベクトル\ve{a}, \ve{b}に対して,

\begin{align*} -|\ve{a}||\ve{b}|\leqq\ve{a}\cdot\ve{b}\leqq|\ve{a}||\ve{b}| \end{align*}

が成り立つ.さらに,等号成立条件について

  • \ve{a}\cdot\ve{b}\leqq|\ve{a}||\ve{b}|の等号成立条件は,\ve{a}\ve{b}が同じ向きであること
  • -|\ve{a}||\ve{b}|\leqq\ve{a}\cdot\ve{b}の等号成立条件は,\ve{a}\ve{b}が逆向きであること

である.

\ve{a}, \ve{b}のなす角を\thetaとすると,定義より

\begin{align*} \ve{a}\cdot\ve{b} =|\ve{a}||\ve{b}|\cos{\theta} \end{align*}

であり,-1\leqq\cos{\theta}\leqq1なので

\begin{align*} -|\ve{a}||\ve{b}|\leqq|\ve{a}||\ve{b}|\cos{\theta}\leqq|\ve{a}||\ve{b}| \end{align*}

である.よって,

\begin{align*} -|\ve{a}||\ve{b}|\leqq\ve{a}\cdot\ve{b}\leqq|\ve{a}||\ve{b}| \end{align*}

が成り立つ.

等号成立条件について

\begin{align*} \ve{a}\cdot\ve{b}=|\ve{a}||\ve{b}| \iff&\cos{\theta}=1 \\\iff&\theta=0^\circ \end{align*}

である.\theta\ve{a}\ve{b}のなす角だったから,\ve{a}\ve{b}は同じ向きのベクトルである.

また,

\begin{align*} \ve{a}\cdot\ve{b}=-|\ve{a}||\ve{b}| \iff&\cos{\theta}=-1 \\\iff&\theta=180^\circ \end{align*}

である.\theta\ve{a}\ve{b}のなす角だったから,\ve{a}\ve{b}は逆向きのベクトルである.

なお,\ve{a}, \ve{b}の少なくとも一方が零ベクトルなら,内積は常に0ですね.

ベクトルの長さと内積

同じベクトル\ve{a}\ve{a}のなす角は0^\circなので,ベクトルの長さ|\ve{a}|は以下のように内積を用いても表せます.

ベクトル\ve{a}に対して,\ve{a}\cdot\ve{a}=|\ve{a}|^2が成り立つ.

内積の定義より

\begin{align*} \ve{a}\cdot\ve{a} =|\ve{a}||\ve{a}|\cos{0^\circ} =|\ve{a}|^2 \end{align*}

が成り立つ.

これは|\ve{a}|=\sqrt{\ve{a}\cdot\ve{a}}とも書けますね.

内積の正負となす角の大きさ

ベクトル\ve{a}, \ve{b}が零ベクトルでなければ,内積\ve{a}\cdot\ve{b}=|\ve{a}||\ve{b}|\cos{\theta}は,|\ve{a}||\ve{b}|がともに正であることから,\cos{\theta}によって正負が決まりますね.

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\theta0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circを動き,\theta=90^\circ\cos{\theta}が正から負へと移りますから,このことは以下のようにまとめることができます.

零ベクトルでないベクトル\ve{a}, \ve{b}に対して,以下が成り立つ.

  • \ve{a}\cdot\ve{b}のなす角が鋭角であることと,\ve{a}\cdot\ve{b}>0は同値
  • \ve{a}\cdot\ve{b}のなす角が直角であることと,\ve{a}\cdot\ve{b}=0は同値
  • \ve{a}\cdot\ve{b}のなす角が鈍角であることと,\ve{a}\cdot\ve{b}<0は同値

このことから,ベクトルの内積を考えれば,鋭角か直角か鈍角かが判定できるわけですね.

内積のとりうる値は-|\ve{a}||\ve{b}|\leqq\ve{a}\cdot\ve{b}\leqq|\ve{a}||\ve{b}|であり,\ve{a}\cdot\ve{b}の正負によって\ve{a}\ve{b}のなす角が鋭角,直角,鈍角のいずれであるかが判断できる.また,\ve{a}\cdot\ve{a}=|\ve{a}|^2は内積とベクトルの長さの関係として基本的である.

直交座標上の内積

内積はxy平面などの座標がなくても定義することができますが,xy平面上の成分で表されたベクトルの[内積]は以下のようにとても簡単に計算することができます.

[直交座標上の内積] xy平面上のベクトル\ve{a}=\pmat{a_1\\a_2}, \ve{b}=\pmat{b_1\\b_2}に対して,

\begin{align*} \ve{a}\cdot\ve{b}=a_1b_1+a_2b_2 \end{align*}

が成り立つ.

\ve{a}=\pmat{a_1\\a_2}, \ve{b}=\pmat{b_1\\b_2}より

\begin{align*} &|\ve{a}|^2=a_1^2+a_2^2, \\&|\ve{b}|^2=b_1^2+b_2^2 \end{align*}

であり,\ve{a}-\ve{b}=\pmat{a_1-b_1\\a_2-b_2}なので,

\begin{align*} |\ve{a}-\ve{b}|^2 =&(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2 \\=&(a_1^2-2a_1b_1+b_1^2)+(a_2^2-2a_2b_2+b_2^2) \end{align*}

である.これらを内積の展開公式|\ve{a}-\ve{b}|^2=|\ve{a}|^2-2\ve{a}\cdot\ve{b}+|\ve{b}|^2に代入して,

\begin{align*} (a_1^2-2a_1b_1+&b_1^2)+(a_2^2-2a_2b_2+b_2^2) \\=&(a_1^2+a_2^2)-2\ve{a}\cdot\ve{b}+b_1^2+b_2^2 \end{align*}

であり,整理すると\ve{a}\cdot\ve{b}=a_1a_2+b_1b_2となる.

つまり,2つのベクトルの x 成分同士をかけたものと y 成分同士をかけたものを足せば,それが内積に一致するというわけですね.

この公式から内積はすぐに求まるので,以下のようになります.

\ve{a}=\pmat{1\\3}, \ve{b}=\pmat{2\\-1}に対して,\ve{a}\ve{b}のなす角は鋭角,直角,鈍角のどれか.

[直交座標上の内積]より,

\begin{align*} \ve{a}\cdot\ve{b} =&\pmat{1\\3}\cdot\pmat{2\\-1} \\=&1\cdot2+3\cdot(-1) =-1 \end{align*}

である.よって,\ve{a}\cdot\ve{b}の内積は負だから,\ve{a}\ve{b}のなす角は鈍角である.

このように,成分で表されている2つのベクトルの内積はとても簡単に求まりますね.

座標上の内積はベクトルの成分を用いて簡単に計算できる.

内積の計算

最後に,内積の計算で大切な公式を説明します.

この証明も[直交座標上の内積]の公式を使うと簡単です.

ベクトル\ve{a}, \ve{b}, \ve{c}と実数kに対して,以下が成り立つ.

  • \ve{a}\cdot\ve{b}=\ve{b}\cdot\ve{a}
  • k(\ve{a}\cdot\ve{b})=(k\ve{a})\cdot\ve{b}=\ve{a}\cdot(k\ve{b})
  • \ve{a}\cdot(\ve{b}+\ve{c})=\ve{a}\cdot\ve{b}+\ve{a}\cdot\ve{c}

ベクトル\ve{a}, \ve{b}, \ve{c}xy平面上におき,それぞれ

\begin{align*} \ve{a}=\pmat{a_1\\a_2},\quad \ve{b}=\pmat{b_1\\b_2},\quad \ve{c}=\pmat{c_1\\c_2} \end{align*}

とする.

(1) [直交座標上の内積]の公式より

\begin{align*} \ve{a}\cdot\ve{b} =&a_1b_1+a_2b_2 \\=&b_1a_1+b_2a_2 =\ve{b}\cdot\ve{a} \end{align*}

が成り立つ.

(2) [直交座標上の内積]の公式より

\begin{align*} k(\ve{a}\cdot\ve{b}) =&k(a_1b_1+a_2b_2) \\=&(ka_1)b_1+(ka_2)b_2 \\=&(k\ve{a})\cdot\ve{b}, \\k(\ve{a}\cdot\ve{b}) =&k(a_1b_1+a_2b_2) \\=&a_1(kb_1)+a_2(kb_2) \\=&\ve{a}\cdot(k\ve{b}) \end{align*}

だから,まとめてk(\ve{a}\cdot\ve{b})=(k\ve{a})\cdot\ve{b}=\ve{a}\cdot(k\ve{b})が成り立つ.

(3) [直交座標上の内積]の公式より

\begin{align*} \ve{a}\cdot(\ve{b}+\ve{c}) =&a_1(b_1+c_1)+a_2(b_2+c_2) \\=&(a_1b_1+a_2b_2)+(a_1c_1+a_2c_2) \\=&\ve{a}\cdot\ve{b}+\ve{a}\cdot\ve{c} \end{align*}

だから,\ve{a}\cdot(\ve{b}+\ve{c})=\ve{a}\cdot\ve{b}+\ve{a}\cdot\ve{c}が成り立つ.

内積の定義\ve{a}\cdot\ve{b}=|\ve{a}||\ve{b}|\cos{\theta}は図形的な考察をする際には有効ですが,実際に内積を計算する場合にはベクトルがxy平面上にあれば[直交座標上の内積]の公式がとても便利ですね.

内積は交換法則や分配法則を満たす.

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