ベクトル５｜[位置ベクトル]と内分・外分に関するベクトル

図形と方程式の分野では，線分の

内分点
外分点

を考えました．

ベクトルでも，内分点，外分点に関するベクトルが登場し，図形においてこのベクトルはとても活躍します．

公式の考え方は図形と方程式の分野で学んだ[内分点の公式]，[外分点の公式]とほとんど変わらず，そのため公式の形もほとんど同じです．

ただし，ベクトルにおいてはここで[位置ベクトル]という概念が登場します．

この記事では

位置ベクトルの考え方
内分点・外分点の位置ベクトル
三角形の重心の位置ベクトル

について説明します．

「ベクトル」の一連の記事

位置ベクトル
内分・外分とベクトル
1. 内分点と外分点
2. 内分点・外分点の位置ベクトル
重心のベクトル

位置ベクトル

$xy$平面上の原点$(0,0)$をOとし，$xy$平面上の点$\mrm{X}(a,b)$を考えると，原点Oから点Xへ向かうベクトルは$\ve{x}=\pmat{a\\b}$となります．

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つまり，$xy$平面上の点Xを指定すれば，原点Oから点Xへ向かうベクトルを考えることができます．

しかし，ベクトルは$xy$平面のような座標上で考えるとは限らず，そのため「原点」がそもそも存在しないこともあります．

そのようなときには，「原点に相当する点O」を決めて，点Oを始点とするベクトルを考えると便利なことがよくあり，このベクトルを位置ベクトルといいます．

点Oと点Xを考える．このとき，$\ve{x}=\Ve{OX}$で定まるベクトルを「点Oに関する点Xの位置ベクトル」という．ただし，点Oをとくに定めないときは，単に「点Xの位置ベクトル」という．

また，点Xの位置ベクトルが$\ve{x}$のとき，$\mrm{X}(\ve{x})$と表す．

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$\mrm{X}(\ve{x})$と表すのは，座標を$\mrm{X}(a,b)$と表すのと同じ感覚です．

この位置ベクトルは，座標が入っていないような図形において活躍します．

内分・外分とベクトル

図形と方程式の[内分点の公式]，[外分点の公式]を説明したのち，それぞれに対応するベクトルの公式を説明します．

内分点と外分点

$xy$平面上の内分点と外分点は以下のように計算できるのでした．

$xy$平面上の２点$\mrm{A}(a_1,a_2)$, $\mrm{B}(b_1,b_2)$に対し，線分ABを$m:n$に内分する点をP，$m:n$に外分する点をQとすると，それぞれの座標は

$\begin{align*} &\mrm{P}\bra{\frac{na_1+mb_1}{m+n},\frac{na_2+mb_2}{m+n}}, \\&\mrm{Q}\bra{\frac{-na_1+mb_1}{m-n},\frac{-na_2+mb_2}{m-n}} \end{align*}$

となる．

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【図形と方程式１｜座標の超基本「内分点」と「外分点」の計算】

図形と方程式においては，内分と外分は基本的で当たり前のように出てきます．この記事では，内分点と外分点の考え方から公式まで説明しています．

内分点・外分点の位置ベクトル

座標が入っていない場合でも，位置ベクトルを用いることで内分・外分の位置を表すことができます．

平面上の２点$\mrm{A}(\ve{a})$, $\mrm{B}(\ve{b})$に対して，線分ABを$m:n$に内分する点を$\mrm{P}(\ve{p})$，$m:n$に外分する点を$\mrm{Q}(\ve{q})$とすると，

$\begin{align*} &\ve{p}=\frac{n\ve{a}+m\ve{b}}{m+n}, \\&\ve{q}=\frac{-n\ve{a}+m\ve{b}}{m-n} \end{align*}$

となる．

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この公式は位置ベクトルの始点がどこであっても成り立ちます．

$xy$平面上に

位置ベクトルの始点Oは原点$(0,0)$
Aは点$(a_1,a_2)$
Bは点$(b_1,b_2)$

となるようにおきます．

このとき，$\ve{a}=\pmat{a_1\\a_2}$, $\ve{b}=\pmat{b_1\\b_2}$なので，先ほどみた内分点，外分点の座標の公式と併せて

$\begin{align*} \ve{p} =&\pmat{\frac{na_1+mb_1}{m+n}\\\frac{na_2+mb_2}{m+n}} =\frac{1}{m+n}\pmat{na_1+mb_1\\na_2+mb_2} \\=&\frac{1}{m+n}\bra{\pmat{na_1\\na_2}+\pmat{mb_1\\mb_2}} \\=&\frac{1}{m+n}\bra{n\pmat{a_1\\a_2}+m\pmat{b_1\\b_2}} \\=&\frac{1}{m+n}\bra{n\ve{a}+m\ve{b}} =\frac{n\ve{a}+m\ve{b}}{m+n}, \\\ve{q} =&\pmat{\frac{-na_1+mb_1}{m-n}\\\frac{-na_2+mb_2}{m-n}} =\frac{1}{m-n}\pmat{-na_1+mb_1\\-na_2+mb_2} \\=&\frac{1}{m-n}\bra{\pmat{-na_1\\-na_2}+\pmat{mb_1\\mb_2}} \\=&\frac{1}{m-n}\bra{-n\pmat{a_1\\a_2}+m\pmat{b_1\\b_2}} \\=&\frac{1}{m-n}\bra{-n\ve{a}+m\ve{b}} =\frac{-n\ve{a}+m\ve{b}}{m-n} \end{align*}$

となります．

このように，証明を考えると$xy$平面上の内分点，外分点の公式と同じ形をしているのが当たり前に見えてきますね？

重心のベクトル

今の内分点の位置ベクトルの公式を使えば，三角形の重心の位置ベクトルは三角形の３頂点の位置ベクトルから求めることができます．

平面上の三角形ABCに対して，頂点A, B, Cの位置ベクトルをそれぞれ$\ve{a}$, $\ve{b}$, $\ve{c}$とする．このとき，三角形ABCの重心Gの位置ベクトル$\ve{g}$は

$\begin{align*} &\ve{g}=\frac{\ve{a}+\ve{b}+\ve{c}}{3} \end{align*}$

となる．

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直線CGと辺ABの交点をDとすると，三角形の重心の性質から

$\mrm{AD}=\mrm{DB}$
$\mrm{CG}:\mrm{GD}=2:1$

が成り立つ．よって，[内分点の位置ベクトル]の公式より

$\begin{align*} \ve{g} =&\frac{1\cdot\ve{c}+2\cdot\ve{d}}{1+2} =\frac{\ve{c}+2\ve{d}}{3} \\=&\frac{\ve{c}+2\cdot\frac{\ve{a}+\ve{b}}{1+1}}{3} =\frac{\ve{a}+\ve{b}+\ve{c}}{3} \end{align*}$