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係数の和が1の2つのベクトルの和

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この記事では次の問題を考えましょう.

平面上の同一直線上にない3点$\mrm{O,A,B}$を考える.このとき,0以上の実数$k,\ell$を$k+\ell=1$を満たして動かすとき

    \begin{align*}\Ve{OX}=k\Ve{OA}+\ell\Ve{OB}\end{align*}

なる点$\mrm{X}$が描く図形を図示せよ.

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$k,\ell$は$k+\ell=1$, $k\ge0$, $\ell\ge0$を満たして動く実数なので,例えば$(k,\ell)=(0,1),(\frac{1}{2},\frac{1}{2}),(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$のようにいろんな値をとるわけですね.

このように,$k,\ell$を動かしたときに点$\mrm{X}$が描く図形を求めるのがこの問題というわけですね.

この記事では

  • 係数の和が1の2つのベクトルの和
  • 知っておきたい発展形

を順に解説します.

係数の和が1の2つのベクトルの和

冒頭の問題の$\Ve{OX}=k\Ve{OA}+\ell\Ve{OB}$がどのようなベクトルであるかを考えるには,ベクトルの内分の公式がポイントになります.

内分の公式

まずはベクトルの内分の公式を思い出しておきましょう.

$\tri{OAB}$について,線分$\mrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mrm{P}$とすると,

    \begin{align*}&\Ve{OP}=\frac{n\Ve{OA}+m\Ve{OB}}{m+n}\end{align*}

が成り立つ.

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この公式の等式は分数を分けると,

    \begin{align*}&\Ve{OP}=\frac{n}{m+n}\Ve{OA}+\frac{m}{m+n}\Ve{OB}\end{align*}

となっており,このときの$\Ve{OA}$と$\Ve{OB}$の係数の和は

    \begin{align*}\frac{n}{m+n}+\frac{m}{m+n}=1\end{align*}

となっていますね.つまり,$\Ve{OA}$と$\Ve{OB}$の係数の逆比

    \begin{align*}\frac{m}{m+n}:\frac{n}{m+n}=m:n\end{align*}

が線分$\mrm{AB}$を点$\mrm{X}$が内分する比となっているわけですね.

具体例な$(k,\ell)$で考える

ここで冒頭の問題を考えてみましょう.

(再掲)平面上の同一直線上にない3点$\mrm{O,A,B}$を考える.このとき,0以上の実数$k,\ell$を$k+\ell=1$を満たして動かすとき

    \begin{align*}\Ve{OX}=k\Ve{OA}+\ell\Ve{OB}\end{align*}

なる点$\mrm{X}$が描く図形を図示せよ.

具体的に$k,\ell$をとって,点$\mrm{X}$がどのような図形を描くか考えてみましょう.

具体例1

$(k,\ell)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$のときは

    \begin{align*}\Ve{OX}=\frac{1}{2}\Ve{OA}+\frac{1}{2}\Ve{OB}\end{align*}

となり,これは内分の公式で$m=n=1$としたものに他なりません.

よって,点$\mrm{X}$は線分$\mrm{AB}$を$1:1$に内分する点(中点)であることが分かります.

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具体例2

$(k,\ell)=(\frac{2}{3},\frac{1}{3})$のときは

    \begin{align*}\Ve{OX}=\frac{2}{3}\Ve{OA}+\frac{1}{3}\Ve{OB}\end{align*}

となり,これは内分の公式で$m=1$, $n=2$としたものに他なりません.

よって,点$\mrm{X}$は線分$\mrm{AB}$を$1:2$に内分する点であることが分かります.

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解答

以上のことから,冒頭の問題で点$\mrm{X}$は線分$\mrm{AB}$上を動きそうなことが分かりますね.

(再掲)平面上の同一直線上にない3点$\mrm{O,A,B}$を考える.このとき,0以上の実数$k,\ell$を$k+\ell=1$を満たして動かすとき

    \begin{align*}\Ve{OX}=k\Ve{OA}+\ell\Ve{OB}\end{align*}

なる点$\mrm{X}$が描く図形を図示せよ.

線分$\mrm{AB}$を$\ell:k$に内分する点を$\mrm{P}$とすると,ベクトルの内分の公式より

    \begin{align*}\Ve{OP}&=\frac{k\Ve{OA}+\ell\Ve{OB}}{k+\ell} \\&=k\Ve{OA}+\ell\Ve{OB}\end{align*}

である.よって,$\mrm{X}=\mrm{P}$だから点$\mrm{X}$が描く図形は線分$\mrm{AB}$(端点を含む)である.

よって,点$\mrm{X}$が描く図形は以下の通りである.

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$(k,\ell)=(1,0)$のときは点$\mrm{X}$が線分$\mrm{AB}$を$0:1$に内分し,$(k,\ell)=(0,1)$のときは点$\mrm{X}$が線分$\mrm{AB}$を$1:0$に内分すると考えています.

知っておきたい発展形

以上の内容をもとに,よく出題される発展形も紹介しておきます.

$k,\ell$の和が1でないパターン

平面上の同一直線上にない3点$\mrm{O,A,B}$を考える.このとき,0以上の実数$k,\ell$を$k+\ell=2$を満たして動かすとき

    \begin{align*}\Ve{OX}=k\Ve{OA}+\ell\Ve{OB}\end{align*}

なる点$\mrm{X}$が描く図形を図示せよ.

この問題では係数の和が2なので上の考え方が直接は使えませんが,両辺を2で割って$\dfrac{k}{2}+\dfrac{\ell}{2}=1$となることを用いれば,上の考え方が使えるようになります.

0以上の実数$k,\ell$が$k+\ell=2$を満たして動くとき,$\dfrac{k}{2},\dfrac{\ell}{2}$も0以上で$\dfrac{k}{2}+\dfrac{\ell}{2}=1$を満たす.また,

    \begin{align*}\Ve{OX}=k\Ve{OA}+\ell\Ve{OB} =\frac{k}{2}\cdot2\Ve{OA}+\frac{\ell}{2}\cdot2\Ve{OB}\end{align*}

である.よって,$\Ve{OA’}=2\Ve{OA}$, $\Ve{OB’}=2\Ve{OB}$とおけば

    \begin{align*}\Ve{OX}=\frac{k}{2}\Ve{OA'}+\frac{\ell}{2}\Ve{OB'}\end{align*}

が成り立つ.よって,点$\mrm{X}$が描く図形は以下の通りである.

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$\Ve{OX}=k\Ve{OA}+\ell\Ve{OB}$の係数の和が1となるように無理矢理変形して考えれば良いわけですね.

$k,\ell$が実数全体を動くパターン

平面上の同一直線上にない3点$\mrm{O,A,B}$を考える.このとき,実数$k,\ell$を$k+\ell=1$を満たして動かすとき

    \begin{align*}\Ve{OX}=k\Ve{OA}+\ell\Ve{OB}\end{align*}

なる点$\mrm{X}$が描く図形を図示せよ.

この問題では係数$k,\ell$が実数全体を動くので,$k,\ell$は負の値にもなりますね.

[パターン1] $k\ge0$かつ$\ell\ge0$のとき,点$\mrm{X}$は線分$\mrm{AB}$を描く(端点を含む).

[パターン2] $\ell<0$のときは$\ell=-\ell’$とおくと$\ell’>0$で,線分$\mrm{AB}$を$\ell’:k$に外分する点を$\mrm{P}$とすると,ベクトルの外分の公式より

    \begin{align*}\Ve{OP}=\frac{k\Ve{OA}-\ell'\Ve{OB}}{k-\ell'} =\frac{k\Ve{OA}+\ell\Ve{OB}}{k+\ell} =k\Ve{OA}+\ell\Ve{OB}\end{align*}

である.よって,$\mrm{X}=\mrm{P}$だから,点$\mrm{X}$が描く図形は点$\mrm{A}$を端点とする点$\mrm{B}$の反対側の半直線である.

[パターン3] $k<0$のときは点$\mrm{X}$が描く図形は点$\mrm{B}$を端点とする点$\mrm{A}$の反対側の半直線である.

[パターン1]〜[パターン3]を併せて,点$\mrm{X}$が描く図形は直線$\mrm{AB}$である.

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$k<0$または$\ell<0$のとき,点$\mrm{X}$は線分$\mrm{AB}$を外分するので,実数全体を動くとき点$\mrm{X}$は直線$\mrm{AB}$全体を動くわけですね.

管理人

プロフィール

山本やまもと 拓人たくと

元予備校講師.講師として駆け出しの頃から予備校の生徒アンケートで抜群の成績を残し,通常の8倍の報酬アップを提示されるなど頭角を表す.

飛び級・首席合格で大学院に入学しそのまま首席修了するなど数学の深い知識をもち,本質をふまえた分かりやすい授業に定評がある.

現在はオンライン家庭教師,社会人向け数学教室での講師としての教育活動とともに,京都大学で数学の研究も行っている.専門は非線形偏微分方程式論.大学数学系YouTuberとしても活動中.

趣味は数学,ピアノ,甘いもの食べ歩き.

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