数列2
等差数列の和の公式を直感的に理解する方法

数列
数列

前回の記事でも説明したように,数列の中でも

  • 等差数列
  • 等比数列

は考えやすく,一般項も簡単に求められるのでした.

数列$\{a_n\}$に対して,初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和

    \begin{align*}a_1+a_2+a_3+\dots+a_{n-1}+a_n\end{align*}

を考えることはよくあり,等差数列と等比数列のこの和も簡単に求めることができます.

等比数列の和については次の記事に譲るとし,この記事では

  • 等差数列の和の公式
  • 等差数列の和の直感的な理解
  • 等差数列の和の具体例
  • 等差数列の和の公式の導出

を順に説明します.

等差数列の和

まずは等差数列の和の公式を考えましょう.

初項$a$,公差$d$の等差数列の初項から第$n$項までの和は

    \begin{align*} &a+(a+d)+(a+2d)+\dots+\{a+(n-1)d\} \\=&\frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2} \end{align*}

である.

直感的には次のように考えられます.第$n$項までの等差数列$a,a+d,a+2d,\dots,a+(n-1)d$の平均は,初項$a$と末項$a+(n-1)d$の平均

    \begin{align*}\frac{a+\{a+(n-1)d\}}{2}=\frac{2a+(n-1)d}{2}\end{align*}

に一致します.

よって,第$n$項までの和

    \begin{align*}a+(a+d)+(a+2d)+\dots+\{a+(n-1)d\}\end{align*}

は平均$\dfrac{2a+(n-1)d}{2}$の$n$倍に等しく,$\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}$であることが分かりますね.

具体例1

初項$1$,公差$1$の等差数列$1,\ 2,\ 3,\ 4,\dots$の初項から第$n$項までの和を$n$で表せ.

上の公式の$a=1$, $d=1$の場合なので,

    \begin{align*}1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}\end{align*}

である.

直感的には初項の$1$から第$n$項の$n$までの平均が$\dfrac{n+1}{2}$で,全部で$n$項足し合わせているから

    \begin{align*}n\times\frac{n+1}{2}=\frac{n(n+1)}{2}\end{align*}

と理解できますね.

具体例2

等差数列$3,\ 7,\ 11,\ 15,\ 19,\dots$の初項から第$50$項までの和を求めよ.

等差数列$3,\ 7,\ 11,\ 15,\ 19,\ \dots$は初項$3$,公差$4$の等差数列だから上の公式の$a=3$, $d=4$の場合である.

よって,この数列の初項から第$50$項までの和は

    \begin{align*}&\frac{50(2\times3+(50-1)\times4)}{2} \\=&50(3+49\times2) \\=&150+49\times100 =5050\end{align*}

である.

直感的には初項の$3$から第$50$項の$3+49\times4$までの平均が$\frac{3+(3+49\times4}{2}$で,全部で$50$項足し合わせているから

    \begin{align*}50\times\frac{3+(3+49\times4}{2}\end{align*}

と理解できますね.

等差数列の和の公式の導出

初項$a$,公差$d$の等差数列を$\{a_n\}$とし,初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和を$S_n$とおきます.つまり,

    \begin{align*}S_n=a+(a+d)+(a+2d)+\dots+\{a+(n-1)d\}\end{align*}

です.

また,これは第$n$項から初項に向かって逆に足すと考えれば,

    \begin{align*}S_n=\{a+(n-1)d\}+\{a+(n-2)d\}+\{a+(n-3)d\}+\dots+a\end{align*}

でもあります.よって,この2式の両辺を足せば,

    \begin{align*} \begin{matrix}&S_n&=&a&+&\dots&+&\{a+(n-1)d\}\\ -)&S_n&=&\{a+(n-1)d\}&+&\dots&+&a\\ \hline &2S_n&=&2a+(n-1)d&+&\dots&+&2a+(n-1)d\end{matrix} \end{align*}

となります.

このとき,右辺は$2a+(n-1)d$が$n$個足されているので,

    \begin{align*}&2S_n=n\{2a+(n-1)d\} \\\iff&S_n=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2} \end{align*}

が得られます.

導出の直感的な理解

いまの導出は$a$, $d$が正の整数の場合は次のようにブロックの個数を考えることで理解できます.

$S_n$は以下のブロックの総数に等しいですね.

Rendered by QuickLaTeX.com

$S_n$の和の順を逆にしたものと足し合わせたものは,ブロックを逆さまにして

Rendered by QuickLaTeX.com

と併せたブロックの個数は$n\times\{2a+(n-1)d\}$です.よって,求める$S_n$はこの半分で

    \begin{align*}\frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}\end{align*}

となりますね.

等比数列の和

初項$a$, 公比$r$の等比数列について,$r=1$の場合は初項から第$n$項までの和

    \begin{align*}a+a+a+\dots+a+a\end{align*}

が$na$となることは簡単に分かります.

しかし,$r\neq1$の場合

    \begin{align*}a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-2}+ar^{n-1}\end{align*}

はそう簡単ではなく,$\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$となります.

次の記事では,等比数列の和の公式を説明します.

コメント

タイトルとURLをコピーしました