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漸化式の基本3|数学的帰納法はイメージは「ドミノ倒し」!

[数学的帰納法]は高校数学で学ぶ重要な証明法の1つで,「任意の自然数$n$に対して,〜が成り立つことを示せ.」という問題に対して威力を発揮します.

実際に[数学的帰納法]は[背理法]と並んで,大学受験では超頻出です.

初めて[数学的帰納法]を学んだとき,多くの人は「なんか不思議な論法やなあ」と思うようで,実際に問題を解くにつれて腑に落ちてくる人は多いようです.

この記事では,[数学的帰納法]のイメージを最初に説明し,その後に実際に数学的帰納法を用いて例題を考えます.

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数学的帰納法の仕組み

「任意の自然数$n$に対して,〜が成り立つことを示せ.」という問題に[数学的帰納法]が有効であることは冒頭に述べた通りです.

[数学的帰納法]は,次のような論法の証明です.

  1. $n=1$のときに成り立つことを示す.
  2. 「$n=k$のときに成り立つ」とし,それを利用して$n=k+1$のときに成り立つことを示す.

さて,この[数学的帰納法]は「ドミノ倒し」に例えることができます.

  • 1は「最初のピースを倒す」
  • 2は「$k$個目のピースが倒れると,$k+1$個目のピースも倒れる」

ということに相当します.

もし1が欠けていると「最初のピースが倒せない」し,2が欠けていると「$k$個目が倒れても,$k+1$個目が倒れてくれないかもしれない」ので,1,2のどちらが欠けても[数学的帰納法]は成り立ちませんね.

これが「数学的帰納法」のイメージです.

1,2が証明できれば,

  1. 1より$n=1$のときが成り立つ.
  2. $n=1$が成り立つから,2より$n=2$のときが成り立つ.
  3. $n=2$が成り立つから,2より$n=3$のときが成り立つ.
  4. $n=3$が成り立つから,2より$n=4$のときが成り立つ.
  5. ……

と続いていくので,任意の自然数$n$に対して成り立つことが証明できたことになるわけです.

注意ですが,問題によっては「3以上の任意の自然数$n$に対して,〜を示せ.」などとなっている場合がありますが,このときは

  1. $n=3$のときに成り立つことを示す.
  2. 「$n=k$のときに成り立つ」とし,それを利用して$n=k+1$のときに成り立つことを示す.

とすれば良いことは,以上の話から分かるでしょう.

数学的帰納法は「最初の場合に成り立つこと」を示し,「$n=k$で成り立つとき,$n=k+1$でも成り立つこと」を示すのが基本的な数学的帰納法の王道パターンである.

数学的帰納法の例

それでは,数学的帰納法で証明できる問題を考えます.

以下の問題を数学的帰納法を用いて解け.

  1. 任意の自然数$n$に対して,等式$(*):1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$が成り立つことを示せ.
  2. 2以上の任意の自然数$n$に対して,不等式$(*):3^n>4n$が成り立つことを示せ.
  3. 漸化式$a_1=1,a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n}$を満たす数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.

例1

任意の自然数$n$に対して,等式$(*):1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$が成り立つことを数学的帰納法により示しましょう.

[1] $n=1$のとき

$((*)の左辺)=1=1^2=((*)の右辺)$となって,等式$(*)$が成り立つことが分かります.

[2] 「$n=k$のとき$(*)$が成り立つ」とし,$n=k+1$のとき$(*)$が成り立つことを示します.すなわち,「$1+3+5+\dots+(2k-1)=k^2$が成り立つ」とし,$1+3+5+\dots+\{2(k+1)-1\}=(k+1)^2$が成り立つことを示します.

$1+3+5+\dots+(2k-1)=k^2$が成り立つから,

\begin{align*} &1+3+5+\dots+\{2(k+1)-1\} \\=&\{1+3+5+\dots+(2k-1)\}+\{2(k+1)-1\} \\=&k^2+2k+1 \\=&(k+1)^2 \end{align*}

となって,$n=k+1$の場合にも等式$(*)$が成り立つことが分かりました.

[1], [2]より,$(*)$が示されました.

例2

2以上の任意の自然数$n$に対して,不等式$(*):3^n>4n$が成り立つことを数学的帰納法により示します.

[1] $n=2$のとき

$((*)の左辺)=3^2=9>8=4\times2=((*)の右辺)$となって,不等式$(*)$が成り立つことが分かります.

[2] 「$n=k$ $(k\ge2)$のとき$(*)$が成り立つ」とし,$n=k+1$のとき不等式$(*)$が成り立つことを示します.すなわち,「$3^k>4k$が成り立つ」とし,$3^{k+1}>4(k+1)$が成り立つことを示します.

$3k>k+1$であることに注意すると,$3^k>4k$が成り立つから,

\begin{align*} 3^{k+1}=3\times3^{k}>3\times4k=4\times3k>4\times(k+1) \end{align*}

となって,$n=k+1$の場合にも不等式$(*)$が成り立つことが分かりました.

[1], [2]より,$(*)$が示されました.

例3

$a_1=1$, $a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n}$だから,数列$\{a_n\}$を初項から順に求めると,

\begin{align*} &a_1=1, \\&a_2=\frac{a_1}{1+a_1}=\frac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}, \\&a_3=\frac{a_2}{1+a_2}=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2+1}=\dfrac{1}{3}, \\&a_4=\frac{a_3}{1+a_3}=\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{3+1}=\dfrac{1}{4} \end{align*}

となります.よって,数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\dfrac{1}{n}$と予想できるので,これを数学的帰納法により示します.

[1] $n=1$のとき

$a_1=1$となって,予想が正しいことが分かります.

[2] 「$n=k$のとき予想が正しい」とし,$n=k+1$のとき予想が正しいことが成り立つことを示します.すなわち,「$a_n=\dfrac{1}{n}$が成り立つ」とし,$a_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}$が成り立つことを示します.

$a_n=\dfrac{1}{n}$が成り立つから,

\begin{align*} a_{n+1} =\frac{a_n}{1+a_n} =\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}} =\frac{1}{n+1} \end{align*}

となって,$n=k+1$の場合にも予想が正しいことが分かりました.

[1], [2]より,題意の一般項は$a_n=\dfrac{1}{n}$となります.

数学的帰納法は「任意の自然数$n$に対して,〜を示せ」型の証明で用いることが多い.また,例3のように「〜を求めよ.」といった場合にも「予想を立てて,数学的帰納法により証明する」という手法を用いることもある.

最後までありがとうございました!

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