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漸化式の基本3|数学的帰納法はイメージは「ドミノ倒し」!

[数学的帰納法]は高校数学で学ぶ重要な証明法の1つで,「任意の自然数nに対して,〜が成り立つことを示せ.」という問題に対して威力を発揮します.

実際に[数学的帰納法]は[背理法]と並んで,大学受験では超頻出です.

初めて[数学的帰納法]を学んだとき,多くの人は「なんか不思議な論法やなあ」と思うようで,実際に問題を解くにつれて腑に落ちてくる人は多いようです.

この記事では,[数学的帰納法]のイメージを最初に説明し,その後に実際に数学的帰納法を用いて例題を考えます.

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数学的帰納法の仕組み

「任意の自然数nに対して,〜が成り立つことを示せ.」という問題に[数学的帰納法]が有効であることは冒頭に述べた通りです.

[数学的帰納法]は,次のような論法の証明です.

  1. n=1のときに成り立つことを示す.
  2. n=kのときに成り立つ」とし,それを利用してn=k+1のときに成り立つことを示す.

さて,この[数学的帰納法]は「ドミノ倒し」に例えることができます.

  • 1は「最初のピースを倒す」
  • 2は「k個目のピースが倒れると,k+1個目のピースも倒れる」

ということに相当します.

もし1が欠けていると「最初のピースが倒せない」し,2が欠けていると「k個目が倒れても,k+1個目が倒れてくれないかもしれない」ので,1,2のどちらが欠けても[数学的帰納法]は成り立ちませんね.

これが「数学的帰納法」のイメージです.

1,2が証明できれば,

  1. 1よりn=1のときが成り立つ.
  2. n=1が成り立つから,2よりn=2のときが成り立つ.
  3. n=2が成り立つから,2よりn=3のときが成り立つ.
  4. n=3が成り立つから,2よりn=4のときが成り立つ.
  5. ……

と続いていくので,任意の自然数nに対して成り立つことが証明できたことになるわけです.

注意ですが,問題によっては「3以上の任意の自然数nに対して,〜を示せ.」などとなっている場合がありますが,このときは

  1. n=3のときに成り立つことを示す.
  2. n=kのときに成り立つ」とし,それを利用してn=k+1のときに成り立つことを示す.

とすれば良いことは,以上の話から分かるでしょう.

数学的帰納法は「最初の場合に成り立つこと」を示し,「n=kで成り立つとき,n=k+1でも成り立つこと」を示すのが基本的な数学的帰納法の王道パターンである.

数学的帰納法の例

それでは,数学的帰納法で証明できる問題を考えます.

以下の問題を数学的帰納法を用いて解け.

  1. 任意の自然数nに対して,等式(*):1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2が成り立つことを示せ.
  2. 2以上の任意の自然数nに対して,不等式(*):3^n>4nが成り立つことを示せ.
  3. 漸化式a_1=1,a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n}を満たす数列\{a_n\}の一般項を求めよ.

例1

任意の自然数nに対して,等式(*):1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2が成り立つことを数学的帰納法により示しましょう.

[1] n=1のとき

((*)の左辺)=1=1^2=((*)の右辺)となって,等式(*)が成り立つことが分かります.

[2] 「n=kのとき(*)が成り立つ」とし,n=k+1のとき(*)が成り立つことを示します.すなわち,1+3+5+\dots+(2k-1)=k^2が成り立つ」とし,1+3+5+\dots+\{2(k+1)-1\}=(k+1)^2が成り立つことを示します.

1+3+5+\dots+(2k-1)=k^2が成り立つから,

\begin{align*} &1+3+5+\dots+\{2(k+1)-1\} \\=&\{1+3+5+\dots+(2k-1)\}+\{2(k+1)-1\} \\=&k^2+2k+1 \\=&(k+1)^2 \end{align*}

となって,n=k+1の場合にも等式(*)が成り立つことが分かりました.

[1], [2]より,(*)が示されました.

例2

2以上の任意の自然数nに対して,不等式(*):3^n>4nが成り立つことを数学的帰納法により示します.

[1] n=2のとき

((*)の左辺)=3^2=9>8=4\times2=((*)の右辺)となって,不等式(*)が成り立つことが分かります.

[2] 「n=k (k\ge2)のとき(*)が成り立つ」とし,n=k+1のとき不等式(*)が成り立つことを示します.すなわち,3^k>4kが成り立つ」とし,3^{k+1}>4(k+1)が成り立つことを示します.

3k>k+1であることに注意すると,3^k>4kが成り立つから,

\begin{align*} 3^{k+1}=3\times3^{k}>3\times4k=4\times3k>4\times(k+1) \end{align*}

となって,n=k+1の場合にも不等式(*)が成り立つことが分かりました.

[1], [2]より,(*)が示されました.

例3

a_1=1, a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n}だから,数列\{a_n\}を初項から順に求めると,

\begin{align*} &a_1=1, \\&a_2=\frac{a_1}{1+a_1}=\frac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}, \\&a_3=\frac{a_2}{1+a_2}=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2+1}=\dfrac{1}{3}, \\&a_4=\frac{a_3}{1+a_3}=\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{3+1}=\dfrac{1}{4} \end{align*}

となります.よって,数列\{a_n\}の一般項はa_n=\dfrac{1}{n}と予想できるので,これを数学的帰納法により示します.

[1] n=1のとき

a_1=1となって,予想が正しいことが分かります.

[2] 「n=kのとき予想が正しい」とし,n=k+1のとき予想が正しいことが成り立つことを示します.すなわち,a_n=\dfrac{1}{n}が成り立つ」とし,a_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}が成り立つことを示します.

a_n=\dfrac{1}{n}が成り立つから,

\begin{align*} a_{n+1} =\frac{a_n}{1+a_n} =\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}} =\frac{1}{n+1} \end{align*}

となって,n=k+1の場合にも予想が正しいことが分かりました.

[1], [2]より,題意の一般項はa_n=\dfrac{1}{n}となります.

数学的帰納法は「任意の自然数nに対して,〜を示せ」型の証明で用いることが多い.また,例3のように「〜を求めよ.」といった場合にも「予想を立てて,数学的帰納法により証明する」という手法を用いることもある.

最後までありがとうございました!

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