漸化式の基本３｜数学的帰納法はイメージは「ドミノ倒し」！

[数学的帰納法]は高校数学で学ぶ重要な証明法の１つで，「任意の自然数 $n$ に対して，〜が成り立つことを示せ．」という問題に対して威力を発揮します．

実際に[数学的帰納法]は[背理法]と並んで，大学受験では超頻出です．

初めて[数学的帰納法]を学んだとき，多くの人は「なんか不思議な論法やなあ」と思うようで，実際に問題を解くにつれて腑に落ちてくる人は多いようです．

この記事では，[数学的帰納法]のイメージを最初に説明し，その後に実際に数学的帰納法を用いて例題を考えます．

一連の記事はこちら

【漸化式の基本１｜漸化式とは？漸化式の考え方を例から解説！】
【漸化式の基本２｜等差数列，等比数列の漸化式】
【漸化式の基本３｜数学的帰納法はイメージは「ドミノ倒し」！】←今の記事

背理法の記事はこちら

【背理法１｜背理法はこう考える！仕組みを具体例から理解する】
【背理法２｜背理法が有効な証明の２つのタイプと例】

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数学的帰納法の仕組み

「任意の自然数 $n$ に対して，〜が成り立つことを示せ．」という問題に[数学的帰納法]が有効であることは冒頭に述べた通りです．

[数学的帰納法]は，次のような論法の証明です．

$n=1$ のときに成り立つことを示す．
「 $n=k$ のときに成り立つ」とし，それを利用して $n=k+1$ のときに成り立つことを示す．

さて，この[数学的帰納法]は「ドミノ倒し」に例えることができます．

1は「最初のピースを倒す」
2は「 $k$ 個目のピースが倒れると， $k+1$ 個目のピースも倒れる」

ということに相当します．

もし1が欠けていると「最初のピースが倒せない」し，2が欠けていると「 $k$ 個目が倒れても， $k+1$ 個目が倒れてくれないかもしれない」ので，1,2のどちらが欠けても[数学的帰納法]は成り立ちませんね．

これが「数学的帰納法」のイメージです．

1,2が証明できれば，

1より $n=1$ のときが成り立つ．
$n=1$ が成り立つから，2より $n=2$ のときが成り立つ．
$n=2$ が成り立つから，2より $n=3$ のときが成り立つ．
$n=3$ が成り立つから，2より $n=4$ のときが成り立つ．
……

と続いていくので，任意の自然数 $n$ に対して成り立つことが証明できたことになるわけです．

注意ですが，問題によっては「3以上の任意の自然数 $n$ に対して，〜を示せ．」などとなっている場合がありますが，このときは

$n=3$ のときに成り立つことを示す．
「 $n=k$ のときに成り立つ」とし，それを利用して $n=k+1$ のときに成り立つことを示す．

とすれば良いことは，以上の話から分かるでしょう．

数学的帰納法は「最初の場合に成り立つこと」を示し，「 $n=k$ で成り立つとき， $n=k+1$ でも成り立つこと」を示すのが基本的な数学的帰納法の王道パターンである．

数学的帰納法の例

それでは，数学的帰納法で証明できる問題を考えます．

以下の問題を数学的帰納法を用いて解け．

任意の自然数 $n$ に対して，等式 $(*):1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$ が成り立つことを示せ．
2以上の任意の自然数 $n$ に対して，不等式 $(*):3^n>4n$ が成り立つことを示せ．
漸化式 $a_1=1,a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n}$ を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．

例1

任意の自然数 $n$ に対して，等式 $(*):1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$ が成り立つことを数学的帰納法により示しましょう．

[1]　 $n=1$ のとき

$((*)の左辺)=1=1^2=((*)の右辺)$ となって，等式 $(*)$ が成り立つことが分かります．

[2]　「 $n=k$ のとき $(*)$ が成り立つ」とし， $n=k+1$ のとき $(*)$ が成り立つことを示します．すなわち，「 $1+3+5+\dots+(2k-1)=k^2$ が成り立つ」とし， $1+3+5+\dots+\{2(k+1)-1\}=(k+1)^2$ が成り立つことを示します．

$1+3+5+\dots+(2k-1)=k^2$ が成り立つから，

$\begin{align*} &1+3+5+\dots+\{2(k+1)-1\} \\=&\{1+3+5+\dots+(2k-1)\}+\{2(k+1)-1\} \\=&k^2+2k+1 \\=&(k+1)^2 \end{align*}$

となって， $n=k+1$ の場合にも等式 $(*)$ が成り立つことが分かりました．

[1], [2]より， $(*)$ が示されました．

例2

2以上の任意の自然数 $n$ に対して，不等式 $(*):3^n>4n$ が成り立つことを数学的帰納法により示します．

[1]　 $n=2$ のとき

$((*)の左辺)=3^2=9>8=4\times2=((*)の右辺)$ となって，不等式 $(*)$ が成り立つことが分かります．

[2]　「 $n=k$ $(k\ge2)$ のとき $(*)$ が成り立つ」とし， $n=k+1$ のとき不等式 $(*)$ が成り立つことを示します．すなわち，「 $3^k>4k$ が成り立つ」とし， $3^{k+1}>4(k+1)$ が成り立つことを示します．

$3k>k+1$ であることに注意すると， $3^k>4k$ が成り立つから，

$\begin{align*} 3^{k+1}=3\times3^{k}>3\times4k=4\times3k>4\times(k+1) \end{align*}$

となって， $n=k+1$ の場合にも不等式 $(*)$ が成り立つことが分かりました．

[1], [2]より， $(*)$ が示されました．

例3

$a_1=1$ , $a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n}$ だから，数列 $\{a_n\}$ を初項から順に求めると，

$\begin{align*} &a_1=1, \\&a_2=\frac{a_1}{1+a_1}=\frac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}, \\&a_3=\frac{a_2}{1+a_2}=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2+1}=\dfrac{1}{3}, \\&a_4=\frac{a_3}{1+a_3}=\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{3+1}=\dfrac{1}{4} \end{align*}$