数列８<br>[等差×等比]型の数列の和は引き算がポイント

例えば

等差数列$3,5,7,9,\dots$
等比数列$2,6,18,54,\dots$

を併せてできる数列

$\begin{align*} 3\times2,\quad 5\times6,\quad 7\times18,\quad 9\times54,\ \dots \end{align*}$

を考えます．

このような[等差×等比]型の数列の初項から第$n$項までの和は，$n$を使って表すことができます．

この記事では，「[等差×等比]型の数列の和」の求め方を解説し，具体的に[等差×等比]型の数列の例を挙げて計算します．

「数列」の一連の記事

[等差×等比]型の数列
1. [等差×等比]型の数列とは
2. [等差×等比]型の数列の和の求め方
[等差×等比]型の数列の和の例
漸化式

[等差×等比]型の数列

一般に，数列の和を計算することは困難ですが，等差数列や等比数列のような分かりやすい数列の和は比較的簡単に求めることができます．

[等差×等比]型の数列も和が計算できる数列で，教科書でも扱われるため試験でも頻出です．

[等差×等比]型の数列とは

分かりやすく書けるとは限りませんが，[等差×等比]型の数列の和は冒頭でも書いたように，「[等差×等比]型の数列」とは，例えば次のような一般項をもつ数列の和を指しています．

$a_1=1\times1,\quad a_2=2\times2,\quad a_3=3\times4,\quad a_4=4\times8,\dots$
$a_1=2\times1,\quad a_2=5\times(-3),\quad a_3=8\times9,\quad a_4=11\times(-27),\dots$
$a_1=7\times27,\quad a_2=5\times9,\quad a_3=3\times3,\quad a_4=1\times1,\dots$

一般的には，等差数列$\{b_n\}$と等比数列$\{c_n\}$があって，一般項が$a_n=b_nc_n$となっている数列$\{a_n\}$のことを「[等差×等比]型の数列」と呼んでいます．

なお，本来このような数列に名前がついていませんが，この記事では「[等差×等比]型の数列」という表現を用います．

[等差×等比]型の数列の和の求め方

等差数列$\{b_n\}$と等比数列$\{c_n\}$を用意し，一般項をそれぞれ

$b_n=b+nd$
$c_n=cr^n$

としましょう．

数列１
最初の一歩は等差数列と等比数列！

中学入試などでは，例えば「,3,7,13,21,31,\square$の$\square$に入る数字を求めよ」といった問題が出題されることがあります．実はこれはまさに数列の問題で，これを詳しく扱っていくのが高校数...

このとき，数列$\{b_{n}c_{n}\}$の一般項は$cr^n(b+nd)$なので，この初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，

$\begin{align*} S_n=cr^1(b+1\cdot d)+cr^2(b+2\cdot d)+\dots+cr^n(b+nd) \end{align*}$

となり，私たちはこの$S_n$を求めたいわけですね．

さて，数列$\{c_n\}$の公比$r$を$S_n$にかけた$rS_n$は

$\begin{align*} S_n=cr^2(b+1\cdot d)+cr^3(b+2\cdot d)+\dots+cr^{n+1}(b+nd) \end{align*}$

となるので，$S_n-rS_n$は

$\begin{align*} \begin{matrix} &S_n&=&cr^{1}(b+1\cdot d)&+&cr^{2}(b+2\cdot d)&+\dots+&cr^{n}(b+nd)&&\\ -)&rS_n&=&&&cr^{2}(b+1\cdot d)&+\dots+&cr^{n}\{b+(n-1)d\}&+&cr^{n+1}(b+nd)\\ \hline &(1-r)S_n&=&cr(b+d)&+&cr^{2}d&+\dots+&cr^{n}d&-&cr^{n+1}(b+nd) \end{matrix} \end{align*}$

となります．ここで，右辺の$cr^{2}d+\dots+cr^{n}d$の部分は初項$cr^2d$，公比$r$の等比数列になっているので，

$\begin{align*} cr^{2}d+\dots+cr^{n}d =&\frac{cr^{2}d(1-r^{n-1})}{1-r} \end{align*}$

と計算できます．

数列３
等比数列の和の公式を具体例から理解する

公比rの等比数列の和の公式は，r=1の場合とr≠1の場合の２種類あります．この記事では等比数列の和の公式を具体例から説明し，どのように導出するかを説明します．

よって，

$\begin{align*} &(1-r)S_n=cr(b+d)+cr^2\cdot d\cdot\frac{1-r^{n-1}}{1-r}-cr^{n+1}(b+nd) \end{align*}$

となるので，両辺を$1-r$で割って，

$\begin{align*} S_n=\frac{cr(b+d)}{1-r}+\frac{cr^{2}d(1-r^{n-1})}{(1-r)^2}-\frac{cr^{n+1}(b+nd)}{1-r} \end{align*}$

と$S_n$が計算できますね．

とはいえ，文字でやっていてもなかなか分かりにくいですから，以下で具体例を考えましょう．

[等差×等比]型の数列の和の例

それでは具体的に[等差×等比]型の数列の和を求めましょう．

以下の数列の初項から第$n$項までの和を求めよ．

$a_1=1\times1,\quad a_2=2\times2,\quad a_3=3\times4,\quad a_4=4\times8,\dots$
$a_1=2\times1,\quad a_2=5\times(-3),\quad a_3=8\times9,\quad a_4=11\times(-27),\dots$
$a_1=7\times27,\quad a_2=5\times9,\quad a_3=3\times3,\quad a_4=1\times1,\dots$

問１

初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくと，

$\begin{align*} S_n=1\times1+2\times2+3\times4+4\times8+\dots+n\times2^{n-1} \end{align*}$

です．この等比数列の部分は$1,2,4,8,\dots$なので，公比２ですから，$S_n$に２をかけて，

$\begin{align*} 2S_n=1\times2+2\times4+3\times8+4\times16+\dots+n\times2^n \end{align*}$

となります．よって，$S_n-2S_n$を計算すると，

$\begin{align*} \begin{matrix} &S_n&=&1\times1&+&2\times2&+\dots+&n\times2^{n-1}&&\\ -)&2S_n&=&&&1\times2&+\dots+&(n-1)\times2^{n-1}&+&n\times2^n\\ \hline &S_n-2S_n&=&1&+&2&+\dots+&2^{n-1}&-&n\times2^n \end{matrix} \end{align*}$

すなわち，

$\begin{align*} -S_n=1+2+4+8+\dots+2^{n-1}-2^{n}n \end{align*}$

となります．この右辺の$1+2+4+8+\dots+2^{n-1}$は初項１，公比２の等比数列の和になっているので，等比数列の和の公式から，

$\begin{align*} &1+2+4+8+\dots+2^{n-1} \\=&\frac{2^n-1}{2-1} =2^{n}-1 \end{align*}$

です．よって，

$\begin{align*} &-S_n=(2^{n}-1)-2^{n}n \\\iff&S_n=-2^{n}(1-n)+1 \end{align*}$

が得られます．もともと，第$n$項までの和を$S_n$とおいていたので，

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}a_k =2^{n}(n-1)+1 \end{align*}$

となります．

問２

初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくと，

$\begin{align*} S_n=2\times1+5\times(-3)+8\times9+11\times(-27)+\dots+(3n-1)\times(-3)^{n-1} \end{align*}$

です．この等比数列の部分は$1,-3,9,-27,\dots$なので，公比は$-3$ですから，$S_n$に$-3$をかけて，

$\begin{align*} -3S_n=2\times(-3)+5\times9+8\times(-27)+11\times81+\dots+(3n-1)\times(-3)^n \end{align*}$

である．よって，$S_n-(-3)S_n$を計算すると，

$\begin{align*} \begin{matrix} &S_n&=&2\times1&+&5\times(-3)&+\dots+&(3n-1)\times(-3)^{n-1}&&\\ -)&(-3)S_n&=&&&2\times(-3)&+\dots+&(3n-4)\times(-3)^{n-1}&+&(3n-1)\times (-3)^n\\ \hline &4S_n&=&2&+&3\times(-3)&+\dots+&3\times(-3)^{n-1}&-&(3n-1)\times (-3)^n \end{matrix} \end{align*}$

すなわち，

$\begin{align*} 4S_n=2+3\brb{(-3)+9+\dots+(-3)^{n-1}}-(3n-1)\times (-3)^n \end{align*}$

となります．この右辺の第2項のカッコの中身は，初項$-3$，公比$-3$の等比数列の和になっているので，等比数列の和の公式から，

$\begin{align*} &(-3)+9+\dots+(-3)^{n-1} \\=&(-3)\frac{1-(-3)^{n-1}}{1-(-3)} \\=&\frac{-3-(-3)^{n}}{4} \end{align*}$

です．よって，

$\begin{align*} 4S_n =&2+\frac{-9-3(-3)^{n}}{4}-(3n-1)\times (-3)^n \\=&-\frac{1}{4}+\bra{\frac{1}{4}-3n}(-3)^{n} \end{align*}$

が得られます．もともと，第$n$項までの和を$S_n$とおいていたので，

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}a_k =-\frac{1+(-3)^{n}(1-12n)}{16} \end{align*}$

となります．

問３

初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくと，

$\begin{align*} S_n=7\times27+5\times9+3\times3+1\times1+\dots+(-2n+9)\times\bra{\dfrac{1}{3}}^{n-4} \end{align*}$

です．この等比数列の部分は$27,9,3,1,\dots$なので，公比は$\dfrac{1}{3}$ですから，$S_n$に$\dfrac{1}{3}$をかけて，

$\begin{align*} \frac{S_n}{3}=7\times9+5\times3+3\times1+1\times\frac{1}{3}+\dots+(-2n+9)\times\bra{\frac{1}{3}}^{n-3} \end{align*}$

である．よって，$S_n-\dfrac{S_n}{3}$を計算すると，

$\begin{align*} \begin{matrix} &S_n&=&7\times27&+&5\times9&+\dots+&(-2n+9)\times(\frac{1}{3})^{n-4}&&\\ -)&\frac{1}{3}S_n&=&&&7\times9&+\dots+&(-2n+11)\times(\frac{1}{3})^{n-4}&+&(-2n+9)\times(\frac{1}{3})^{n-3}\\ \hline &\frac{2}{3}S_n&=&189&-&2\times9&-\dots-&2\times(\frac{1}{3})^{n-4}&-&(-2n+9)\times(\frac{1}{3})^{n-3} \end{matrix} \end{align*}$

すなわち，

$\begin{align*} \frac{2S_n}{3}=189-2\brb{9+3+\dots+\bra{\dfrac{1}{3}}^{n-4}}-(-2n+9)\bra{\dfrac{1}{3}}^{n-3} \end{align*}$

となります．この右辺の第2項のカッコの中身は，初項９，公比$\dfrac{1}{3}$の等比数列の和になっているので，等比数列の和の公式から，

$\begin{align*} &9+3+\dots+\bra{\frac{1}{3}}^{n-4} \\=&9\times\frac{1-(\frac{1}{3})^{n-1}}{1-\frac{1}{3}} \\=&\frac{27\{1-(\frac{1}{3})^{n-1}\}}{2} \end{align*}$

です．よって，

$\begin{align*} -\dfrac{2S_n}{3} =&189-2\cdot\frac{27\{1-(\frac{1}{3})^{n-1}\}}{2}-(-2n+9)\bra{\dfrac{1}{3}}^{n-3} \\=&162+3\bra{\frac{1}{3}}^{n-3}-(-2n+9)\bra{\frac{1}{3}}^{n-3} \\=&162+(2n-6)\bra{\frac{1}{3}}^{n-3} \end{align*}$