数列の基本６｜等差×等比の和の求め方

【数列の基本５｜部分分数分解を用いて計算する数列の和】の続きです．

例えば， $3,5,7,9,\dots$ は等差数列で， $2,6,18,54,\dots$ は等比数列ですから，

$3\times2,\ 5\times6,\ 7\times18,\ 9\times54,\ \dots$

は等差数列，等比数列の各項で積を取った数列です．このような数列の第 $n$ までの和は $n$ を使って表すことができます．

このような「等差×等比の数列の和」は頻出で，是非ともできるようになっておくことが望まれます．

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1 解説動画
2 等差×等比の数列
3 「等差×等比の数列の和」の求め方
4 まとめ

解説動画

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等差×等比の数列

この「等差×等比の数列」という言葉は私の造語ですが，この記事ではこの言葉を用いることにします．

冒頭でも書いたように，「等差×等比の数列」とは，例えば次のような一般項をもつ数列の和を指しています．

$a_1=1\times1,a_2=2\times2,a_3=3\times4,a_4=4\times8,\dots$
$a_1=2\times1,a_2=5\times(-3),a_3=8\times9,a_4=11\times(-27),\dots$
$a_1=7\times27,a_2=5\times9,a_3=3\times3,a_4=1\times1,\dots$

一般的に書けば，等差数列 $\{b_n\}$ と等比数列 $\{c_n\}$ があって，一般項が $a_n=b_nc_n$ となっている数列 $\{a_n\}$ のことを「等差×等比の数列」と呼んでいます．

この記事はこのような数列の和を求めます．

「等差×等比の数列の和」の求め方

上に挙げた3つの数列の和を考えます．自分の手を動かして自分でも解いてみてください．この和は公式を覚えるのではなく，導出方法から考えて覚えるようにしてください．

例1

数列

$a_1=1\times1,a_2=2\times2,a_3=3\times4,a_4=4\times8,\dots$

の第 $n$ 項までの和 $\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$ を求めよ．

まず，第 $n$ 項までの和を $S_n$ とおきます．すなわち，

$S_n=1\times1+2\times2+3\times4+4\times8+\dots+n\times2^{n-1}$

です．この等比数列の部分は $1,2,4,8,\dots$ なので，公比 $2$ ですから， $S_n$ に $2$ をかけて，

$2S_n=1\times2+2\times4+3\times8+4\times16+\dots+n\times2^n$

となります．よって， $S_n-2S_n$ を計算すると，

$\begin{matrix} &S_n&=&1\times1&+&2\times2&+&3\times4&\\ -)&2S_n&=&&&1\times2&+&2\times4&\\ \hline &S_n-2S_n&=&1&+&2&+&4& \end{matrix} \begin{matrix} +\dots+&n\times2^{n-1}&&\\ +\dots+&(n-1)\times2^{n-1}&+&n\times2^n\\ \hline +\dots+&2^{n-1}&-&n\times2^n \end{matrix}$

すなわち，

$-S_n=1+2+4+8+\dots+2^{n-1}-2^{n}n$

となります．この右辺の初項から第 $n$ 項までは，初項 $1$ ，公比 $2$ の等比数列の和になっているので，等比数列の和の公式から，

$1+2+4+8+\dots+2^{n-1}$
$=\f{2^n-1}{2-1}$
$=2^{n}-1$

です．

【参考記事：数列の基本２｜等差数列と等比数列の和の公式】

よって，

$-S_n=(2^{n}-1)-2^{n}n=2^{n}(1-n)-1$

が得られます．もともと，第 $n$ 項までの和を $S_n$ とおいていたので，

$\dsum_{k=1}^{n}a_k=2^{n}(n-1)+1$

となります．

例2

数列

$a_1=2\times1,a_2=5\times(-3),a_3=8\times9,a_4=11\times(-27),\dots$

の第 $n$ 項までの和 $\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$ を求めよ．

まず，第 $n$ 項までの和を $S_n$ とおきます．すなわち，

$S_n=2\times1+5\times(-3)+8\times9+11\times(-27)+\dots+(3n-1)\times(-3)^{n-1}$

です．この等比数列の部分は $1,-3,9,-27,\dots$ なので，公比は $-3$ ですから， $S_n$ に $-3$ をかけて，

$-3S_n=2\times(-3)+5\times9+8\times(-27)+11\times81+\dots+(3n-1)\times(-3)^n$

である．よって， $S_n-(-3)S_n$ を計算すると，

$\begin{matrix} &S_n&=&2\times1&+&5\times(-3)&\\ -)&(-3)S_n&=&&&2\times(-3)&\\ \hline &4S_n&=&2&+&3\times(-3)& \end{matrix} \begin{matrix} +\dots+&(3n-1)\times(-3)^{n-1}&&\\ +\dots+&(3n-4)\times(-3)^{n-1}&+&(3n-1)\times (-3)^n\\ \hline +\dots+&3\times(-3)^{n-1}&-&(3n-1)\times (-3)^n \end{matrix}$

すなわち，

$4S_n=2+3\cub{(-3)+9+\dots+(-3)^{n-1}}-(3n-1)\times (-3)^n$

となります．この右辺の第 $2$ 項のカッコの中身は，初項 $-3$ ，公比 $-3$ の等比数列の和になっているので，等比数列の和の公式から，

$(-3)+9+\dots+(-3)^{n-1}$
$=(-3)\f{1-(-3)^{n-1}}{1-(-3)}$
$=\f{-3-(-3)^{n}}{4}$

です．よって，

$4S_n$
$=2+\f{-9+(-3)^{n+1}}{4}-(3n-1)\times (-3)^n$
$=-\f{1}{4}+\bra{\f{1}{4}+n}(-3)^{n+1}+(-3)^n$

が得られます．もともと，第 $n$ 項までの和を $S_n$ とおいていたので，

$\dsum_{k=1}^{n}a_k=-\f{1}{16}+\f{1+4n}{16}(-3)^{n+1}+\f{1}{4}(-3)^n$

となります．

例3

数列

$a_1=7\times27,a_2=5\times9,a_3=3\times3,a_4=1\times1,\dots$

の第 $n$ 項までの和 $\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$ を求めよ．

まず，第 $n$ 項までの和を $S_n$ とおきます．すなわち，

$S_n=7\times27+5\times9+3\times3+1\times1+\dots+(-2n+9)\times\bra{\f{1}{3}}^{n-4}$

です．この等比数列の部分は $27,9,3,1,\dots$ なので，公比は $\dfrac{1}{3}$ ですから， $S_n$ に $\dfrac{1}{3}$ をかけて，

$\f{S_n}{3}=7\times9+5\times3+3\times1+1\times\f{1}{3}+\dots+(-2n+9)\times\bra{\f{1}{3}}^{n-3}$

である．よって， $\frac{S_n}{3}-S_n$ を計算すると，

$\begin{matrix} &\frac{S_n}{3}&=&&&7\times9&\\ -)&S_n&=&7\times27&+&5\times9&\\ \hline &-\frac{2S_n}{3}&=&-189&+&2\times9& \end{matrix} \begin{matrix} +\dots+&(-2n+11)\times(\frac{1}{3})^{n-4}&+&(-2n+9)\times(\frac{1}{3})^{n-3}\\ +\dots+&(-2n+9)\times(\frac{1}{3})^{n-4}&&\\ \hline +\dots+&2\times(\frac{1}{3})^{n-4}&+&(-2n+9)\times(\frac{1}{3})^{n-3} \end{matrix}$

すなわち，

$-\f{2S_n}{3}=-189+2\cub{9+3+\dots+\bra{\f{1}{3}}^{n-4}}+(-2n+9)\bra{\f{1}{3}}^{n-3}$

となります．この右辺の第 $2$ 項のカッコの中身は，初項 $9$ ，公比 $\dfrac{1}{3}$ の等比数列の和になっているので，等比数列の和の公式から，

$9+3+\dots+\bra{\f{1}{3}}^{n-4}$
$=9\times\f{1-(\frac{1}{3})^{n-1}}{1-\frac{1}{3}}$
$=\f{27\{1-(\frac{1}{3})^{n-1}\}}{2}$

です．よって，

$-\f{2S_n}{3}$
$=-163-27\bra{\f{1}{3}}^{n-1}+(-2n+9)\bra{\f{1}{3}}^{n-3}$
$=-162-3\bra{\f{1}{3}}^{n-3}+(-2n+9)\bra{\f{1}{3}}^{n-3}$
$=-162+(6-2n)\bra{\f{1}{3}}^{n-3}$