前回の記事では等差数列の和の公式を考えました.
さて,等差数列と並んで等比数列は重要な数列であり,等比数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和
が計算できることは大切です.
この記事では
- 等比数列の和の公式
- 等比数列の和の具体例
- 等比数列の和の公式の導出
を順に説明します.
「数列」の一連の記事
等比数列の和
等比数列の和の公式は
- 公比$r$が$r=1$の場合
- 公比$r$が$r\neq1$の場合
の2種類ありますが,$r=1$の場合は簡単なので重要なのは$r\neq1$の場合です.
初項$a$,公比$r$の等比数列の初項から第$n$項までの和は
である.
具体例1
初項$3$,公比$1$の等比数列$3,\ 3,\ 3,\ 3,\dots$の初項から第$n$項までの和を$n$で表せ.
上の公式の$a=3$, $r=1$の場合なので,
である.
このように,公比が$1$のときは同じものを$n$個足し合わせるだけなので当たり前ですね.
具体例2
等比数列$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 38,\dots$の初項から第$50$項までの和を求めよ.
等差数列$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 38,\dots$は初項$3$,公比$2$の等差数列だから上の公式の$a=3$, $r=2$の場合である.
よって,この数列の初項から第$50$項までの和は
である.
等比数列の和の公式の導出
それでは公式を導出しましょう.
$r=1$の場合
$r=1$のとき,数列は
ですから,初項から第$n$項までの和が
となることは明らかでしょう.
$r\neq1$の場合
まず,和を$S_n$とおきます.つまり,
です.両辺に$r-1$をかければ,
となります.この右辺は
と変形できるので,
が成り立ちます.両辺を$r-1$で割って,求める公式
が得られます.
補足
因数分解
$x^2-y^2$や$x^3-y^3$が因数分解できるように,実数$x$, $y$と任意の自然数$n$に対し,
と因数分解ができます.これを知っていれば,$x=r$, $y=1$の場合,
を考え,両辺に$\dfrac{a}{1-r}$をかけることで,すぐに等比数列の和の公式
が得られます.

3次以上の展開と因数分解の公式の総まとめ
$r$が1より大きいか小さいかで対応する
公比が$r\neq1$の場合の和は
ですが,分母と分子に$-1$をかけて
とも表せます.これらは
- $r>1$の場合には$\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$を使い,
- $r<1$の場合には$\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$を使うと,
$a$以外は正の数になり,計算が楽になることが多いです.
このように,公比が1より大きいか小さいかで公式の形を使い分ければ,計算が少し見やすくなります.
シグマ記号$\sum$
数列の和を便利に表すものとしてシグマ記号$\sum$があります.
シグマ記号$\sum$を用いれば,数列の和
を短く表すことができます.
次の記事では,具体例を使ってシグマ記号$\sum$の考え方と公式を説明します.
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