重複順列の考え方・求め方をシンプルに理解しよう

以前の記事で説明したように，５枚のカード$\fbox{A}\fbox{B}\fbox{C}\fbox{D}\fbox{E}$を一列に並べてできる文字列の数は$5!$通りありますね．

では，次の問題はどうでしょうか？

３枚のカード$\fbox{A}$と，１枚ずつのカード$\fbox{B}\fbox{C}$の合計５枚のカードを一列に並べてできる並びは全部で何通りか．

この場合の数は単純に$6!$通りよりも少なくなります．このように，同じものを含む順列を重複順列といい，普通の順列のように考えるだけでは場合の数は得られません．

この記事では，重複順列の場合の数の求め方として

重複で割る考え方
組み合わせの考え方

を順に説明します．

「場合の数と確率」の一連の記事

重複順列
1. 考え方１
2. 考え方２
具体例
重複順列の公式

重複順列

冒頭の問題を２つの考え方から解きましょう．

３枚のカード$\fbox{A}$と，１枚ずつのカード$\fbox{B}\fbox{C}$の合計５枚のカードを一列に並べてできる並びは全部で何通りか．

考え方１

「普通の順列で考えてから重複で割る」という考え方で解きましょう．

なお，順列の考え方については以下の記事を参照してください．

場合の数２
順列のₙPₖの考え方と公式は超カンタン！

「モノを一列に並べること」を順列といい，順列の場合の数はいたる所に現れます．この記事では，順列ₙPₖの考え方と公式は樹形図を考えれば瞬時に分かることを説明しています．

まず３枚のカード$\fbox{A}$を全て区別し，$\fbox{A1}\fbox{A2}\fbox{A3}$としましょう．

こうすると，異なる５枚のカード$\fbox{A1}\fbox{A2}\fbox{A3}\fbox{B}\fbox{C}$ができあがるから，これらの順列は$5!$通りある．

この順列それぞれでカード$\fbox{A}$の区別をなくすと，例えば

$\fbox{A1}\fbox{A2}\fbox{A3}\fbox{B}\fbox{C}$
$\fbox{A1}\fbox{A3}\fbox{A2}\fbox{B}\fbox{C}$
$\fbox{A2}\fbox{A1}\fbox{A3}\fbox{B}\fbox{C}$
$\fbox{A2}\fbox{A3}\fbox{A1}\fbox{B}\fbox{C}$
$\fbox{A3}\fbox{A1}\fbox{A2}\fbox{B}\fbox{C}$
$\fbox{A3}\fbox{A2}\fbox{A1}\fbox{B}\fbox{C}$

はいずれも$\fbox{A1}\fbox{A2}\fbox{A3}\fbox{B}\fbox{C}$となる．

同様にカード$\fbox{A}$の区別をなくすと，最初の$5!$通りの順列において６個ずつ同じものができあがる．

よって，求める場合の数は

$\begin{align*}\frac{5!}{6}=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{6}=20\end{align*}$

である．よって，$20$通りである．

一度同じものを全て異なるとみなせば普通の順列の考え方ができ，そのあとに区別をなくせば同じものが同じ個数ずつできるので，その重複分で割れば良いというわけですね．

考え方２

次に「組み合わせ」の考え方から解きましょう．

なお，順列の考え方については以下の記事を参照してください．

場合の数４
組み合わせのₙCₖを考え方から基本性質まで攻略

「６個の文字A, B, C, D, E, Fから３つ選ぶ場合の数」のように，いくつかのものからいくつかを選ぶことを「組み合わせ」と言います．この記事では，場合の数で頻出の組み合わせの場合の数の考え方と求め方を説明します．

カードを並べる場所は全部で５ヶ所あるから，カード$\fbox{A}$を並べる場所を選ぶ場合の数は$\Co{5}{3}$である．

カード$\fbox{A}$を並べる場所を決めれば，残りの２ヶ所から１ヶ所選んでカード$\fbox{B}$を並べれば良く，この場合の数は$\Co{2}{1}$である．

残る$\fbox{C}$の並べる場所は$1$通りに決まるから，求める場合の数は

$\begin{align*}\Co{5}{3}\times\Co{2}{1}=\frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}\times\frac{2}{1}=20\end{align*}$

である．

具体例

今の問題では，２個以上同じものがあるのはカード$\fbox{A}$だけでしたが，次のようになっても考え方は同じです．

３枚のカード$\fbox{A}$と，２枚のカード$\fbox{B}$，２枚のカード$\fbox{C}$の合計７枚のカードを一列に並べてできる並びは全部で何通りか．

考え方１のように考えると，次のような解答になります．

[考え方１]　まず３種類のカード$\fbox{A}$それぞれで全て区別し，$\fbox{A1}\fbox{A2}\fbox{A3}\fbox{B1}\fbox{B2}\fbox{C1}\fbox{C2}$の順列を考えると，場合の数は$7!$通りある．

ここで，カード$\fbox{A}$の区別をなくすと$3!$通り同じものができ，カード$\fbox{B}$の区別をなくすと$2!$通り同じものができ，カード$\fbox{C}$の区別をなくすと$2!$通り同じものができる．

よって，求める場合の数は

$\begin{align*}\frac{7!}{3!2!2!}=\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{3\cdot2\cdot1\cdot2\cdot1\cdot2\cdot1}=210\end{align*}$

である．

また，考え方２のように考えると，次のような解答になります．

[考え方２]　カードを並べる場所は全部で７ヶ所あるから，カード$\fbox{A}$を並べる場所を選ぶ場合の数は$\Co{7}{3}$である．

残る４ヶ所からカード$\fbox{B}$を並べる場所を選ぶ場合の数は$\Co{4}{2}$である．

残る$\fbox{C}$の並べる場所は$1$通りに決まるから，求める場合の数は

$\begin{align*}\Co{7}{3}\times\Co{4}{2}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}\times\frac{4\cdot3}{2\cdot1}=20\end{align*}$

である．

重複順列の公式

いまの考え方と同じ考え方で以下の公式が得られます．

考え方１による公式

「重複で割る」という考え方に慣れないと少し難しく感じるかもしれませんが，計算はこちらの公式の方がしやすいでしょう．

$\mrm{A}_1$, $\mrm{A}_2$，……，$\mrm{A}_n$がそれぞれ$r_1$個, $r_2$個, ……, $r_n$個あるとき，これらの並べ方の総数は

$\begin{align*}\frac{(r_1+r_2+\dots+r_n)!}{r_1!r_2!\dots r_n!}\end{align*}$

である．

$\mrm{A}_1$, $\mrm{A}_2$，……，$\mrm{A}_n$を全て区別すると，$(r_1+r_2+\dots+r_n)!$通りの並べ方がある．

$\mrm{A}_k$ ($k=1,\dots,n$)の区別をなくしたときの重複は$n_k$通りあるから，重複で割って

$\begin{align*}\frac{(r_1+r_2+\dots+r_n)!}{r_1!r_2!\dots r_n!}\end{align*}$

が並べ方の総数である．

考え方２による公式

考え方はこちらの方が簡単に感じるかもしれませんが，計算はこちらの方がしやすいでしょう．

$\mrm{A}_1$, $\mrm{A}_2$，……，$\mrm{A}_n$がそれぞれ$r_1$個, $r_2$個, ……, $r_n$個あるとき，これらの並べ方の総数は

$\begin{align*}\Co{r_1+r_2+\dots+r_n}{r_1}\times\Co{r_2+\dots+r_n}{r_2}\times\dots\times\Co{r_{n-1}+r_n}{r_{n-1}}\end{align*}$

である．

カードを並べる場所は$(r_1+r_2+\dots+r_n)$ヶ所あるので，最初に$\mrm{A}_1$を並べる場所を選ぶ場合の数は$\Co{r_1+r_2+\dots+r_n}{r_1}$である．

さらに，残る$(r_2+\dots+r_n)$ヶ所に$\mrm{A}_2$を並べる場合の数は$\Co{r_2+\dots+r_n}{r_2}$である．

これを$\mrm{A}_{n-1}$まで同様に繰り返せば，$\mrm{A}_n$を並べる位置が決まり，

$\begin{align*}\Co{r_1+r_2+\dots+r_n}{r_1}\times\Co{r_2+\dots+r_n}{r_2}\times\dots\times\Co{r_{n-1}+r_n}{r_{n-1}}\end{align*}$

が求める並べ方の総数である．

２つの考え方の関係

２つの公式の見た目は違いますが，$\Co{n}{r}$が

$\begin{align*}\Co{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\end{align*}$

と表されることを思い出すと，２つの公式が等しいことが証明できます．

場合の数４
組み合わせのₙCₖを考え方から基本性質まで攻略

実際，考え方２による公式から出発すると

$\begin{align*} &\Co{r_1+r_2+\dots+r_n}{r_1}\times\Co{r_2+\dots+r_n}{r_2}\times\dots\times\Co{r_{n-1}+r_n}{r_{n-1}} \\=&\frac{(r_1+r_2+r_3\dots+r_n)!}{r_1!(r_2+r_3\dots+r_n)!}\times\frac{(r_2+r_3\dots+r_n)!}{r_2!(r_3+\dots+r_n)!}\times\dots\times\frac{(r_{n-1}+r_n)!}{r_{n-1}!r_n!} \\=&\frac{(r_1+r_2+\dots+r_n)!}{r_1!r_2!\dots r_n!} \end{align*}$