複素数5|複素数の指数zⁿの計算はド・モアブルの定理が鉄板

複素数
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前回の記事では複素数の積・商が極形式を用いれば簡単に計算できることを説明しました.

このことを応用すると,複素数$z$の累乗$z^n$ ($n$は整数)も簡単に計算することができ,この定理をド・モアブルの定理といいます.

$z$の累乗$z^n$は大学以降では$z$の(べき)と呼ばれることも多いです.

ド・モアブルの定理を用いれば,$(1-i)^5$のような計算も慣れれば数秒で求めることができます.

この記事では,

  • 極形式を用いた計算の復習
  • ド・モアブルの定理
  • ド・モアブルの定理の証明

を順に説明します.

極形式を用いた計算

前回の記事で説明した極形式を用いた複素数の積・商について復習しておきましょう.

極形式の積

[極形式の積] $r\geqq0$, $s\geqq0$とし,$\theta$, $\phi$を実数とする.複素数$z,w$が

   \begin{align*}&z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta}), \\&w=s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})\end{align*}

と極形式で表したとき,

   \begin{align*}zw=rs\{\cos{(\theta+\phi)}+i\sin{(\theta+\phi)}\}\end{align*}

が成り立つ.

つまり,

  • 絶対値$r$, $s$の複素数をかければ,絶対値$rs$の複素数になる
  • 偏角$\theta$, $\phi$の複素数をかければ,偏角$\theta+\phi$の複素数になる

というわけですね.

極形式の商

[極形式の商] $r\geqq0$, $s\geqq0$とし,$\theta$, $\phi$を実数とする.複素数$z,w$が

   \begin{align*}&z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta}), \\&w=s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})\end{align*}

と極形式で表したとき,

   \begin{align*}\frac{z}{w}=\frac{r}{s}\{\cos{(\theta-\phi)}+i\sin{(\theta-\phi)}\}\end{align*}

が成り立つ.

つまり,

  • 絶対値$r$の複素数を,絶対値$s$の複素数で割れば,絶対値$\dfrac{r}{s}$の複素数になる
  • 偏角$\theta$の複素数を,偏角$\phi$の複素数で割れば,偏角$\theta-\phi$の複素数になる

というわけですね.

また,$z=1$とすると,$w$の逆数が

   \begin{align*}w^{-1}=s^{-1}(\cos{(-\phi)}+i\sin{(-\phi)})\end{align*}

と表せることに注意してください.

詳しくは以下の記事を参照してください.

複素数4
複素数の極形式で積・商が超簡単に求められる話
複素数の極形式r(cosθ+i sinθ)を用いると,複素数の積・商を簡単に求めることができます.この記事では,具体例を用いて極形式を用いた掛け算・割り算の計算を説明します.

ド・モアブルの定理の考え方

いま復習した複素数の極形式を用いた積と商をもとにして,複素数$z$の累乗$z^n$ ($n$は整数)がどのように計算できるか考えましょう.

2つの複素数$z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$と$z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$の積は,上で復習した極形式の積なので

   \begin{align*}z^2 =&r\cdot r(\cos{(\theta+\theta)}+i\sin{(\theta+\theta)}) \\=&r^2(\cos{(2\theta)}+i\sin{(2\theta)})\end{align*}

が成り立つことが分かります.さらに,$z$と$z^2$の積を考えれば,

   \begin{align*}z^3 =&r^2\cdot r(\cos{(2\theta+\theta)}+i\sin{(2\theta+\theta)}) \\=&r^3(\cos{(3\theta)}+i\sin{(3\theta)})\end{align*}

が成り立つことが分かります.

これを続けていけば,任意の自然数$n$に対して,

   \begin{align*}z^n=r^n(\cos{(n\theta)}+i\sin{(n\theta)})\end{align*}

が成り立ちそうですね.

たとえば,$z=\dfrac{6}{5}(\cos{\dfrac{\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{\pi}{5}})$の場合に$z^2,z^3,z^4$は

   \begin{align*}&z^2=\bra{\frac{6}{5}}^2\brb{\cos\bra{2\cdot\frac{\pi}{5}}+i\sin\bra{2\cdot\frac{\pi}{5}}}, \\&z^3=\bra{\frac{6}{5}}^3\brb{\cos\bra{3\cdot\frac{\pi}{5}}+i\sin\bra{3\cdot\frac{\pi}{5}}}, \\&z^4=\bra{\frac{6}{5}}^4\brb{\cos\bra{4\cdot\frac{\pi}{5}}+i\sin\bra{4\cdot\frac{\pi}{5}}}\end{align*}

となります.

また,$z^{-1}=r^{-1}(\cos{(-\theta)}+i\sin{(-\theta)})$なので,これを$n$回積をとると,同様に

   \begin{align*}z^{-n}=r^{-n}\{\cos{(-n\theta)}+i\sin{(-n\theta)}\}\end{align*}

となりそうですね.

ド・モアブルの定理の証明と具体例

以上をまとめたものが,次のド・モアブルの定理です.

[ド・モアブルの定理] $r\geqq0$とし,$\theta$を実数とする.このとき,極形式で表された複素数

   \begin{align*}z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\end{align*}

と任意の整数$n$に対して,

   \begin{align*}z^n=r^n(\cos{(n\theta)}+i\sin{(n\theta)})\end{align*}

が成り立つ.

このように,ド・モアブルの定理は$n$が負の場合であっても成り立つことにも注意しておきましょう.

証明

ド・モアブルの定理は$z$を繰り返しかけていくイメージでしたから,これをきちんと証明するには数学的帰納法を用いればいいですね.

数学的帰納法の仕組みと5つの具体例
知っておきたい発展形まで解説
数学的帰納法は「任意の自然数$n$に対して,〜が成り立つことを示せ.」というタイプの証明問題に対して有効なことが多い証明法です.この記事では,数学的帰納法の仕組みを説明し,発展形も含めて5つの具体例を説明します.

[1] $n\ge0$の場合に成り立つことを数学的帰納法により示す.

(i) $n=0$のとき

   \begin{align*}z^n=&z^0=1 \\=&r^0(\cos{(0\theta)}+i\sin{(0\theta)})\end{align*}

が成り立つ.

(ii) $n=k$ ($k\ge0$)のとき$z^n=r^n(\cos{(n\theta)}+i\sin{(n\theta)})$が成り立つとすると,極形式の積の公式より

   \begin{align*}z^{k+1}=&zz^k \\=&r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\cdot r^k(\cos{(k\theta)}+i\sin{(k\theta)}) \\=&rr^{k}\{\cos{(\theta+k\theta)}+i\sin{(\theta+k\theta)}\} \\=&r^{k+1}\{\cos{(k+1)\theta}+i\sin{(k+1)\theta)}\}\end{align*}

が成り立つ.

(i), (ii)より任意の自然数$n$に対して$z^n=r^n(\cos{(n\theta)}+i\sin{(n\theta)})$が成り立つ.

[2] $n<0$の場合に成り立つことを[1]を利用して示す.

$n=-m$とすると$m>0$なので,[1]で示したことから

   \begin{align*}z^n =&z^{-m} =(z^{-1})^{m} \\=&\{r^{-1}(\cos{(-\theta)}+i\sin{(-\theta)})\}^{m} \\=&r^{-m}\{\cos{(-m\theta)}+i\sin{(-m\theta)}\} \\=&r^{n}\{\cos{(n\theta)}+i\sin{(n\theta)}\}\end{align*}

が成り立つ.

[2]の$n<0$の場合の証明も,負の方向へ進む数学的帰納法で示すことができます.

具体例

最後にド・モアブルの定理を用いて次の問題を解きましょう.

$(1-i)^5$を計算せよ.

複素数の指数計算なので,ド・モアブルの定理が第一感で見えます.

そのため$1-i$を極形式で表して,ド・モアブルの定理を用いましょう.

$1-i$の絶対値は

   \begin{align*}|1-i|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\end{align*}

なので,$1-i$の極形式は

   \begin{align*}1-i =&\sqrt{2}\bra{\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i} \\=&\sqrt{2}\bra{\cos\bra{-\frac{\pi}{4}}+i\sin\bra{-\frac{\pi}{4}}}\end{align*}

となる.よって,ド・モアブルの定理より

   \begin{align*}(1-i)^5 =&\sqrt{2}^5\bra{\cos\bra{-\frac{5\pi}{4}}+i\sin\bra{-\frac{5\pi}{4}}} \\=&4\sqrt{2}\bra{-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i} \\=&4(-1+i)\end{align*}

である.

図形的には下図のようになっていますね.

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