論理と集合５｜対偶はどういう時に使う？対偶の性質

この記事では，命題$p\Ra q$の

• 逆
• 裏
• 対偶

について説明します．これらのうちで重要なものは「対偶」です．

条件$p$, $q$の否定をそれぞれ$\overline{p}$, $\overline{q}$で表すとき，命題$\overline{q}\Ra\overline{p}$を命題$\overline{p}\Ra\overline{q}$の対偶といいます．

実は命題$\overline{q}\Ra\overline{p}$の真偽とその対偶$\overline{p}\Ra\overline{q}$の真偽は必ず一致するという性質があります．

この記事では，この対偶の性質について説明し，どのような場合に便利か説明します．

条件の否定

準備として

• 逆
• 裏
• 対偶

の説明に入る前に，「条件の否定」ついて説明します．

具体的に考えてみましょう．

逆，裏，対偶

それでは本題に移ります．

逆・裏・対偶の定義

言葉で説明すると，命題$p\Ra q$に対して

• $p$と$q$を入れ替えたものが逆
• $p$と$q$をともに否定にしたものが裏
• $p$と$q$を入れ替えてともに否定にしたものが対偶

ということになりますね．これを１つの図で表せば，下図のようになります．

この図からも分かるように，

• 逆の逆はもとの命題
• 裏の裏はもとの命題
• 対偶の対偶はもとの命題

ですね．

逆と裏の注意点

逆・裏に関して，次のことに注意してください．

たとえば，

• $p$：$x$は4の倍数である
• $q$：$x$は偶数である

とすると，

• 命題$p\Ra q$は真
• 命題$q\Ra p$は偽
• 命題$\overline{p}\Ra \overline{q}$は偽

となっています．

このことは標語的に「逆(裏)は必ずしも真ならず」とよく言われるくらい大切ですから，勘違いしないように注意してください．

「もとの命題」と「対偶」の関係

さて，冒頭でも書いた通り，命題と対偶については次のような関係があります．

つまり，

• $p\Ra q$が真なら$\overline{q}\Ra\overline{p}$も真
• $p\Ra q$が偽なら$\overline{q}\Ra\overline{p}$も偽

というわけですね．

集合(ベン図)による説明

$p$, $q$を$x$に関する条件とし，$p$, $q$の真理集合をそれぞれ$P$, $Q$とします．

このとき，条件$\overline{p}$の真理集合は補集合$\overline{P}$，条件$\overline{q}$の真理集合は補集合$\overline{Q}$ですね．

[1]　命題$p\Ra q$が真であるとします．

このとき，前回の記事で説明したように包含関係$P\subset Q$を満たします．

すなわち，これをベン図で表すと下図のようになりますね．

ただし，$U$は全体集合です．さて，

• $\overline{P}$はP(赤)の外側
• $\overline{Q}$はQ(青)の外側

ですから，$\overline{Q}\subset\overline{P}$が成り立ちます．

$\overline{p}$, $\overline{q}$を表す集合が$\overline{P}$, $\overline{Q}$でしたから，これは対偶$\overline{q}\Ra \overline{p}$が真であることに他ならりませんね．

[2]　「$p\Ra q$が偽である」とします．

命題$p\Ra q$が真であるとします．このとき，包含関係$P\subset Q$が成り立たず，ベン図で表すと下図のいずれかになりますね．

図を見れば明らかなように，どちらの場合も$\overline{Q}\not\subset\overline{P}$ですから，$\overline{q}\Ra\overline{p}$は偽と分かります．

以上の[1], [2]から，「もとの命題の真偽」と「対偶の真偽」が一致することが分かりました．

証明問題への応用

さて，今みてきた対偶の性質は次のような証明問題で有効です．

$x$, $y$の条件$p$, $q$を

• $p$：実数$x$, $y$が$x+y>0$をみたす
• $q$：実数$x$, $y$が$x>0$または$y>0$をみたす

と定めると，「$p\Ra q$を示せ」ということになりますね．

しかし，これを直接示すのは少々面倒ですが，対偶の性質を用いると簡単に証明することができます．