論理と集合の基本５｜「逆，裏，対偶」と対偶の利用

【論理と集合の基本4|命題と集合の関係】の続きです．

この記事では，命題の「逆」，「裏」，「対偶」について説明します．「逆」と「裏」に関しては目新しい重要な定理はないのですが，「対偶」に関しては次の定理が成り立ちます．

命題「 $p\Rightarrow q$ 」の真偽は，その対偶「 $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ 」の真偽に一致する．

この事実は非常に重要で，背理法の根拠にもなっています．

【SPONSORED LINK】

1 条件の否定
2 逆，裏，対偶
- 2.1 逆，裏，対偶の関係
- 2.2 注意点
3 「もとの命題」と「対偶」の関係

条件の否定

「逆」，「裏」，「対偶」の説明に入る前に，「条件の否定」ついて説明します．

まず，条件 $p$ は $x$ についての条件であるとします．なんでも構いませんが，たとえば「整数 $x$ は偶数である」や「整数 $x$ は1以上かつ5以下である」などをイメージしてください．

このとき，条件「 $x$ は条件 $p$ を満たさない」を「条件 $p$ の否定」といい， $\overline{p}$ で表します．

これだけではよく分からないと思いますので，例を挙げます．

たとえば，条件 $p_1$ が

$p_1$ ：整数 $x$ は偶数である

ならば，「条件 $p_1$ の否定 $\overline{p_1}$ 」は

$\overline{p_1}$ ：整数 $x$ は奇数である

となります．また，

$p_2$ ：整数 $x$ は1以上かつ5以下である

ならば，「条件 $p_2$ の否定 $\overline{p_2}$ 」は

$\overline{p_2}$ ：整数 $x$ は0以下または6以上である

となります．

なお，「条件 $p$ の否定 $\overline{p}$ の否定 $\overline{\overline{p}}$ 」はもとの条件 $p$ に一致します．つまり， $p\Leftrightarrow\overline{\overline{p}}$ となります．

逆，裏，対偶

まずは定義です．

命題「 $p\Rightarrow q$ 」に対し，命題

$q\Rightarrow p$

$\overline{p}\Rightarrow\overline{q}$

$\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$

をそれぞれ「 $p\Rightarrow q$ の逆」，「 $p\Rightarrow q$ の裏」，「 $p\Rightarrow q$ の対偶」という．

命題の形を見ると，命題「 $p\Rightarrow q$ 」の $p$ と $q$ を入れ替えたものが「逆」， $p$ と $q$ をともに否定にしたものが「裏」， $p$ と $q$ を入れ替えてともに否定にしたものが「対偶」ということになりますね．

逆，裏，対偶の関係

命題「 $p\Rightarrow q$ 」，「 $q\Rightarrow p$ 」，「 $\overline{p}\Rightarrow\overline{q}$ 」，「 $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ 」の関係は下図のようになっています．

たとえば，図では「 $\overline{p}\Rightarrow\overline{q}$ 」の対偶は，「 $q\Rightarrow p$ 」となっていますが，これを実際に確かめます．

$\overline{p}$ と $\overline{q}$ を入れ替えて否定 $\overline{\overline{p}}$ と $\overline{\overline{q}}$ にすれば良いので，「 $\overline{\overline{q}}\Rightarrow\overline{\overline{p}}$ 」となりますが，上で述べたように否定の否定はもとにもどりますから，これは結局「 $q\Rightarrow p$ 」となることが分かります．

注意点

「逆」，「裏」に関しては次のことに注意してください．

もとの命題が真であっても，「逆」，「裏」は真であるとは限らない．

標語的に「逆(裏)は必ずしも真ならず」と言われることがよくあります．このことは，次の場合を考えれば簡単に分かります．

$p$ ： $x$ は4の倍数である
$q$ ： $x$ は偶数である

このとき， $p\Rightarrow q$ は真ですが，逆 $q\Rightarrow p$ は偽です．

もちろん，逆 $q\Rightarrow p$ も真となることもありますが，このとき「 $p$ と $q$ は同値である」ということになります．これは【論理と集合の基本3|必要条件と十分条件】で説明した通りです．

「もとの命題」と「対偶」の関係

さて，冒頭でも書きましたが，「命題」とその「対偶」については次のように非常に強い[定理]があります．

[定理]　命題「 $p\Rightarrow q$ 」の真偽は，その対偶「 $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ 」の真偽に一致する．

つまり， $p\Rightarrow q$ が真なら $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ も真ですし， $p\Rightarrow q$ が偽なら $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ も偽です．

逆に， $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ が真なら $p\Rightarrow q$ も真ですし， $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ が偽なら $p\Rightarrow q$ も偽です．

集合(ベン図)による説明

$p$ ， $q$ を $x$ に関する条件とし， $p$ ， $q$ の真理集合をそれぞれ $P$ ， $Q$ とします．

真理集合については，【論理と集合の基本4|命題と集合の関係】を参照してください．

このとき，条件 $p$ の否定 $\overline{p}$ は「 $x$ は $p$ を満たさない」という条件なので， $\overline{p}$ を表す集合は $\overline{P}$ で，同様に， $\overline{q}$ を表す集合は $\overline{Q}$ である，ということに注意して下さい．

以下で，[1]「 $p\Rightarrow q$ が真である」とき「 $q\Rightarrow q$ が真である」と[2]「 $p\Rightarrow q$ が偽である」とき「 $q\Rightarrow q$ が偽である」を示します．

[1]　「 $p\Rightarrow q$ が真である」とします．

このとき， $P$ ， $Q$ は $P\subset Q$ を満たします．これは前回の記事で説明しました．これをベン図で表すと以下のようになります．

さて，ここで $\overline{P}$ は $P$ (青丸)の外側で， $\overline{Q}$ は $Q$ (黒丸)の外側です．ですから，図を見れば明らかなように， $\overline{Q}\subset\overline{P}$ が成り立ちます．

$\overline{p}$ ， $\overline{q}$ を表す集合が $\overline{P}$ ， $\overline{Q}$ でしたから，結局「 $q\Rightarrow q$ が真である」となり，もとの命題が真なら対偶も真であることが分かりました．

[2]　「 $p\Rightarrow q$ が偽である」とします．

このとき， $P$ ， $Q$ は $P\not\subset Q$ を満たします．これも前回の記事で説明しました．これをベン図で表すと以下どちらかのようになります．

図を見れば明らかなように，どちらの場合も $\overline{Q}\not\subset\overline{P}$ ですから， $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ は偽と分かります．

したがって，「 $q\Rightarrow q$ が偽である」となり，もとの命題が偽なら対偶も偽であることが分かりました．

以上の[1]，[2]から，「もとの命題の真偽」と「対偶の真偽」が一致することが分かりました．

証明問題への応用

この[定理]は次のような証明問題で有効です．

[問]　実数 $x$ ， $y$ が $x+y>0$ をみたすなら， $x>0$ または $y>0$ であることを示せ．

$x$ ， $y$ の条件 $p$ ， $q$ を

$p$ ：実数 $x$ ， $y$ が $x+y>0$ をみたす
$q$ ：実数 $x$ ， $y$ が $x>0$ または $y>0$ をみたす

と定めると，[問]は「 $p\Rightarrow q$ を示せ」ということになります．

しかし，これを直接示すのは少し面倒ですが，[定理]を使えばすぐに示すことができます．

[定理]から，「『もとの命題の真偽』と『対偶の真偽』は一致する」ので，対偶「 $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ 」が真であることを示すことができれば，もとの命題「 $p\Rightarrow q$ 」も真であることが分かるというわけですね．

さて， $\overline{p}$ ， $\overline{q}$ はそれぞれ

$\overline{p}$ ：実数 $x$ ， $y$ が $x+y\leqq0$ をみたす
$\overline{q}$ ：実数 $x$ ， $y$ が $x\leqq0$ かつ $y\leqq0$ をみたす

で( $q$ において，「または」の否定が「かつ」になることに注意．)， $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ を示します．つまり，

実数 $x$ ， $y$ が $x\leqq0$ かつ $y\leqq0$ をみたすなら， $x+y\leqq0$ をみたす

ことを示します．これは簡単に示すことができます．解答は以下のようになります．

[解答]

問の対偶「実数 $x$ ， $y$ が $x\leqq0$ かつ $y\leqq0$ をみたすなら， $x+y\leqq0$ をみたす」が真であることを示せば，問も真であることが分かるので，以下対偶を示す．

実数 $x$ ， $y$ が $x\leqq0$ かつ $y\leqq0$ をみたすとする．このとき，両辺足して $x+y\leqq0$ となるから，対偶が成り立つことが分かった．

以上で題意が示された．

[解答終]

このように，直接証明することが面倒であっても，対偶を使うことで簡単に証明できることがあります．対偶を使うことの威力を感じていただけたでしょうか？

「背理法」との関係

この節は分からなければとばしても問題ありません．

背理法とは「命題が偽であると仮定すると矛盾が起こることを示し，命題が真であることを示す証明法」のことをいいます．

【参考記事：背理法1|背理法の仕組みと例】
【参考記事：背理法2|背理法が有効な証明の2つのタイプと例】

言い換えれば，「背理法」とは

「 $p$ かつ $\overline{q}$ となることがある」…… $(*)$ と仮定する．

矛盾が生じる．

矛盾が起きたのは正しいと分かってもいないのに $(*)$ と仮定したのが実は誤りだったからだ．

よって， $p$ かつ $\overline{q}$ とはなり得ない．

すなわち， $p$ が成り立っているなら， $q$ が成り立たなければならない．

したがって， $p\Rightarrow q$ が真

という流れの証明なわけです．

詳しくは説明しませんが，実は「対偶による証明」と「背理法による証明」は論理的には同じことをしています．そのことを感じてもらうために，上の問題を背理法を使って解いてみます．

[問(再掲)]　実数 $x$ ， $y$ が $x+y>0$ をみたすなら， $x>0$ または $y>0$ であることを示せ．

[解答]

背理法により示す．

つまり，ある実数 $x$ ， $y$ は $x+y>0$ をみたすが「 $x\leqq0$ かつ $y\leqq0$ である」…… $(*)$ と仮定する．

このとき， $x\leqq0$ と $y\leqq0$ の両辺を加えると $x+y\leqq0$ となり，これは $x+y>0$ に矛盾する．

よって，仮定 $(*)$ が誤りで， $x<0$ または $y<0$ であることが分かった．

[解答終]

さて，どうでしょうか？「対偶による証明」も「背理法による証明」も，結局は $x\leqq0$ と $y\leqq0$ から $x+y\leqq0$ を導きました．

集合の言葉で言い換えると，「対偶による証明」は $\overline{Q}\Rightarrow\overline{P}$ を示しているわけですが，これは結局 $P\cap \overline{Q}=\emptyset$ であることと同じです．

また，「背理法による証明」は $P\cap\overline{Q}\neq\emptyset$ と仮定して，矛盾を導くことで「実は $P\cap\overline{Q}=\emptyset$ でした！」という論法なわけです．

したがって，「対偶による証明」も「背理法による証明」もどちらも $P\cap \overline{Q}=\emptyset$ を示していることに他ならず，結局同じことをしているのです．

同じとは言っても，問題によっては「一方では証明しやすいけど，他方では証明しにくい」といったこともありますから，どちらを使って証明するべきかはその都度考える必要はあります．

論理と集合の基本５｜「逆，裏，対偶」と対偶の利用

条件の否定

逆，裏，対偶

逆，裏，対偶の関係

注意点

「もとの命題」と「対偶」の関係

集合(ベン図)による説明

証明問題への応用

「背理法」との関係

コメント

コメントを残すコメントをキャンセル

【人気の投稿】

【SPONSORED LINK】

【勉強法の記事】

【科目別の記事】

【SPONSORED LINK】

【閲覧数集計中！】

条件の否定

逆，裏，対偶

逆，裏，対偶の関係

注意点

「もとの命題」と「対偶」の関係

集合(ベン図)による説明

証明問題への応用

「背理法」との関係

SNSでもご購読できます。

コメント

コメントを残す コメントをキャンセル

【人気の投稿】

【SPONSORED LINK】

【勉強法の記事】

【科目別の記事】

【SPONSORED LINK】

【閲覧数 集計中！】

コメントを残すコメントをキャンセル

【閲覧数集計中！】