論理と集合の基本５｜「逆，裏，対偶」と対偶の利用

【論理と集合の基本4|命題と集合の関係】の続きです．

この記事では，命題の「逆」，「裏」，「対偶」について説明します．「逆」と「裏」に関しては目新しい重要な定理はないのですが，「対偶」に関しては次の定理が成り立ちます．

命題「 $p\Rightarrow q$ 」の真偽は，その対偶「 $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ 」の真偽に一致する．

この事実は非常に重要で，背理法の根拠にもなっています．

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1 条件の否定
2 逆，裏，対偶
- 2.1 逆，裏，対偶の関係
- 2.2 注意点
3 「もとの命題」と「対偶」の関係

条件の否定

「逆」，「裏」，「対偶」の説明に入る前に，「条件の否定」ついて説明します．

まず，条件 $p$ は $x$ についての条件であるとします．なんでも構いませんが，たとえば「整数 $x$ は偶数である」や「整数 $x$ は1以上かつ5以下である」などをイメージしてください．

このとき，条件「 $x$ は条件 $p$ を満たさない」を「条件 $p$ の否定」といい， $\overline{p}$ で表します．

これだけではよく分からないと思いますので，例を挙げます．

たとえば，条件 $p_1$ が

$p_1$ ：整数 $x$ は偶数である

ならば，「条件 $p_1$ の否定 $\overline{p_1}$ 」は

$\overline{p_1}$ ：整数 $x$ は奇数である

となります．また，

$p_2$ ：整数 $x$ は1以上かつ5以下である

ならば，「条件 $p_2$ の否定 $\overline{p_2}$ 」は

$\overline{p_2}$ ：整数 $x$ は0以下または6以上である

となります．

なお，「条件 $p$ の否定 $\overline{p}$ の否定 $\overline{\overline{p}}$ 」はもとの条件 $p$ に一致します．つまり， $p\Leftrightarrow\overline{\overline{p}}$ となります．

逆，裏，対偶

まずは定義です．

命題「 $p\Rightarrow q$ 」に対し，命題

$q\Rightarrow p$

$\overline{p}\Rightarrow\overline{q}$

$\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$

をそれぞれ「 $p\Rightarrow q$ の逆」，「 $p\Rightarrow q$ の裏」，「 $p\Rightarrow q$ の対偶」という．

命題の形を見ると，命題「 $p\Rightarrow q$ 」の $p$ と $q$ を入れ替えたものが「逆」， $p$ と $q$ をともに否定にしたものが「裏」， $p$ と $q$ を入れ替えてともに否定にしたものが「対偶」ということになりますね．

逆，裏，対偶の関係

命題「 $p\Rightarrow q$ 」，「 $q\Rightarrow p$ 」，「 $\overline{p}\Rightarrow\overline{q}$ 」，「 $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ 」の関係は下図のようになっています．

たとえば，図では「 $\overline{p}\Rightarrow\overline{q}$ 」の対偶は，「 $q\Rightarrow p$ 」となっていますが，これを実際に確かめます．

$\overline{p}$ と $\overline{q}$ を入れ替えて否定 $\overline{\overline{p}}$ と $\overline{\overline{q}}$ にすれば良いので，「 $\overline{\overline{q}}\Rightarrow\overline{\overline{p}}$ 」となりますが，上で述べたように否定の否定はもとにもどりますから，これは結局「 $q\Rightarrow p$ 」となることが分かります．

注意点

「逆」，「裏」に関しては次のことに注意してください．

もとの命題が真であっても，「逆」，「裏」は真であるとは限らない．

標語的に「逆(裏)は必ずしも真ならず」と言われることがよくあります．このことは，次の場合を考えれば簡単に分かります．

$p$ ： $x$ は4の倍数である
$q$ ： $x$ は偶数である

このとき， $p\Rightarrow q$ は真ですが，逆 $q\Rightarrow p$ は偽です．

もちろん，逆 $q\Rightarrow p$ も真となることもありますが，このとき「 $p$ と $q$ は同値である」ということになります．これは【論理と集合の基本3|必要条件と十分条件】で説明した通りです．

「もとの命題」と「対偶」の関係

さて，冒頭でも書きましたが，「命題」とその「対偶」については次のように非常に強い[定理]があります．

[定理]　命題「 $p\Rightarrow q$ 」の真偽は，その対偶「 $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ 」の真偽に一致する．

つまり， $p\Rightarrow q$ が真なら $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ も真ですし， $p\Rightarrow q$ が偽なら $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ も偽です．

逆に， $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ が真なら $p\Rightarrow q$ も真ですし， $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ が偽なら $p\Rightarrow q$ も偽です．

集合(ベン図)による説明

$p$ ， $q$ を $x$ に関する条件とし， $p$ ， $q$ の真理集合をそれぞれ $P$ ， $Q$ とします．

真理集合については，【論理と集合の基本4|命題と集合の関係】を参照してください．

このとき，条件 $p$ の否定 $\overline{p}$ は「 $x$ は $p$ を満たさない」という条件なので， $\overline{p}$ を表す集合は $\overline{P}$ で，同様に， $\overline{q}$ を表す集合は $\overline{Q}$ である，ということに注意して下さい．

以下で，[1]「 $p\Rightarrow q$ が真である」とき「 $q\Rightarrow q$ が真である」と[2]「 $p\Rightarrow q$ が偽である」とき「 $q\Rightarrow q$ が偽である」を示します．

[1]　「 $p\Rightarrow q$ が真である」とします．

このとき， $P$ ， $Q$ は $P\subset Q$ を満たします．これは前回の記事で説明しました．これをベン図で表すと以下のようになります．

さて，ここで $\overline{P}$ は $P$ (青丸)の外側で， $\overline{Q}$ は $Q$ (黒丸)の外側です．ですから，図を見れば明らかなように， $\overline{Q}\subset\overline{P}$ が成り立ちます．

$\overline{p}$ ， $\overline{q}$ を表す集合が $\overline{P}$ ， $\overline{Q}$ でしたから，結局「 $q\Rightarrow q$ が真である」となり，もとの命題が真なら対偶も真であることが分かりました．

[2]　「 $p\Rightarrow q$ が偽である」とします．

このとき， $P$ ， $Q$ は $P\not\subset Q$ を満たします．これも前回の記事で説明しました．これをベン図で表すと以下どちらかのようになります．

図を見れば明らかなように，どちらの場合も $\overline{Q}\not\subset\overline{P}$ ですから， $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ は偽と分かります．

したがって，「 $q\Rightarrow q$ が偽である」となり，もとの命題が偽なら対偶も偽であることが分かりました．

以上の[1]，[2]から，「もとの命題の真偽」と「対偶の真偽」が一致することが分かりました．

証明問題への応用

この[定理]は次のような証明問題で有効です．

[問]　実数 $x$ ， $y$ が $x+y>0$ をみたすなら， $x>0$ または $y>0$ であることを示せ．

$x$ ， $y$ の条件 $p$ ， $q$ を

$p$ ：実数 $x$ ， $y$ が $x+y>0$ をみたす
$q$ ：実数 $x$ ， $y$ が $x>0$ または $y>0$ をみたす

と定めると，[問]は「 $p\Rightarrow q$ を示せ」ということになります．

しかし，これを直接示すのは少し面倒ですが，[定理]を使えばすぐに示すことができます．

[定理]から，「『もとの命題の真偽』と『対偶の真偽』は一致する」ので，対偶「 $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ 」が真であることを示すことができれば，もとの命題「 $p\Rightarrow q$ 」も真であることが分かるというわけですね．

さて， $\overline{p}$ ， $\overline{q}$ はそれぞれ

$\overline{p}$ ：実数 $x$ ， $y$ が $x+y\leqq0$ をみたす
$\overline{q}$ ：実数 $x$ ， $y$ が $x\leqq0$ かつ $y\leqq0$ をみたす

で( $q$ において，「または」の否定が「かつ」になることに注意．)， $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ を示します．つまり，

実数 $x$ ， $y$ が $x\leqq0$ かつ $y\leqq0$ をみたすなら， $x+y\leqq0$ をみたす

ことを示します．これは簡単に示すことができます．解答は以下のようになります．

[解答]

問の対偶「実数 $x$ ， $y$ が $x\leqq0$ かつ $y\leqq0$ をみたすなら， $x+y\leqq0$ をみたす」が真であることを示せば，問も真であることが分かるので，以下対偶を示す．

実数 $x$ ， $y$ が $x\leqq0$ かつ $y\leqq0$ をみたすとする．このとき，両辺足して $x+y\leqq0$ となるから，対偶が成り立つことが分かった．

以上で題意が示された．

[解答終]

このように，直接証明することが面倒であっても，対偶を使うことで簡単に証明できることがあります．対偶を使うことの威力を感じていただけたでしょうか？

「背理法」との関係

この節は分からなければとばしても問題ありません．

背理法とは「命題が偽であると仮定すると矛盾が起こることを示し，命題が真であることを示す証明法」のことをいいます．

【参考記事：背理法1|背理法の仕組みと例】
【参考記事：背理法2|背理法が有効な証明の2つのタイプと例】

言い換えれば，「背理法」とは

「 $p$ かつ $\overline{q}$ となることがある」…… $(*)$ と仮定する．

矛盾が生じる．

矛盾が起きたのは正しいと分かってもいないのに $(*)$ と仮定したのが実は誤りだったからだ．

よって， $p$ かつ $\overline{q}$ とはなり得ない．

すなわち， $p$ が成り立っているなら， $q$ が成り立たなければならない．

したがって， $p\Rightarrow q$ が真

という流れの証明なわけです．

詳しくは説明しませんが，実は「対偶による証明」と「背理法による証明」は論理的には同じことをしています．そのことを感じてもらうために，上の問題を背理法を使って解いてみます．

[問(再掲)]　実数 $x$ ， $y$ が $x+y>0$ をみたすなら， $x>0$ または $y>0$ であることを示せ．

[解答]

背理法により示す．

つまり，ある実数 $x$ ， $y$ は $x+y>0$ をみたすが「 $x\leqq0$ かつ $y\leqq0$ である」…… $(*)$ と仮定する．

このとき， $x\leqq0$ と $y\leqq0$ の両辺を加えると $x+y\leqq0$ となり，これは $x+y>0$ に矛盾する．

よって，仮定 $(*)$ が誤りで， $x<0$ または $y<0$ であることが分かった．

[解答終]

さて，どうでしょうか？「対偶による証明」も「背理法による証明」も，結局は $x\leqq0$ と $y\leqq0$ から $x+y\leqq0$ を導きました．

集合の言葉で言い換えると，「対偶による証明」は $\overline{Q}\Rightarrow\overline{P}$ を示しているわけですが，これは結局 $P\cap \overline{Q}=\emptyset$ であることと同じです．

また，「背理法による証明」は $P\cap\overline{Q}\neq\emptyset$ と仮定して，矛盾を導くことで「実は $P\cap\overline{Q}=\emptyset$ でした！」という論法なわけです．

したがって，「対偶による証明」も「背理法による証明」もどちらも $P\cap \overline{Q}=\emptyset$ を示していることに他ならず，結局同じことをしているのです．

同じとは言っても，問題によっては「一方では証明しやすいけど，他方では証明しにくい」といったこともありますから，どちらを使って証明するべきかはその都度考える必要はあります．