この記事では，命題$p\Ra q$の
- 逆
- 裏
- 対偶
について説明します．これらのうちで重要なものは「対偶」です．
条件$p$, $q$の否定をそれぞれ$\overline{p}$, $\overline{q}$で表すとき，命題$\overline{q}\Ra\overline{p}$を命題$\overline{p}\Ra\overline{q}$の対偶といいます．
実は命題$\overline{q}\Ra\overline{p}$の真偽とその対偶$\overline{p}\Ra\overline{q}$の真偽は必ず一致するという性質があります．
この記事では，この対偶の性質について説明し，どのような場合に便利か説明します．
一連の記事はこちら
【論理と集合１｜「集合」は数学の共通語！集合の基礎知識】
【論理と集合２｜補集合の計算は「ド・モルガンの法則」】
【論理と集合３｜「必要条件」「十分条件」は論理のド基本】
【論理と集合４｜命題を集合を使って考える超便利な方法】
【論理と集合５｜対偶はどういう時に使う？対偶の性質】←今の記事
条件の否定
準備として
- 逆
- 裏
- 対偶
の説明に入る前に，「条件の否定」ついて説明します．
$x$の条件$p$に対して，「$x$は条件$p$を満たさない」という条件を$p$の否定という．条件$p$の否定は$\overline{p}$と表すことが多い．
具体的に考えてみましょう．
次の条件を否定せよ．
- $p_1$：整数$x$は偶数である
- $p_2$：整数$x$は１以上かつ５以下である
- $p_3$：三角形Xは鋭角三角形である
(1) $x$が否定$\overline{p_1}$を満たすとは「整数$x$が偶数でない」ということなので，
$\overline{p_1}$：整数$x$は奇数である
となる．
(2) $x$が否定$\overline{p_2}$を満たすとは「整数$x$が[１以上かつ５以下]でない」ということなので，
$\overline{p_2}$：整数$x$は０以下または４以上である
となる．
(2) Xが否定$\overline{p_3}$を満たすとは「三角形Xが鋭角三角形でない」ということなので，
$\overline{p_3}$：三角形Xは直角三角形または鈍角三角形である
となる．
条件$p$の否定は「条件$p$を満たさないもの全て」とも言い換えられる．
逆，裏，対偶
それでは本題に移ります．
逆・裏・対偶の定義
条件$p$, $q$に対して
- 命題$q\Ra p$を命題$p\Ra q$の逆
- 命題$\overline{p}\Ra\overline{q}$を命題$p\Ra q$の裏
- 命題$\overline{q}\Ra\overline{p}$を命題$p\Ra q$の対偶
という．
言葉で説明すると，命題$p\Ra q$に対して
- $p$と$q$を入れ替えたものが逆
- $p$と$q$をともに否定にしたものが裏
- $p$と$q$を入れ替えてともに否定にしたものが対偶
ということになりますね．これを１つの図で表せば，下図のようになります．
この図からも分かるように，
- 逆の逆はもとの命題
- 裏の裏はもとの命題
- 対偶の対偶はもとの命題
ですね．
逆と裏の注意点
逆・裏に関して，次のことに注意してください．
もとの命題が真であっても，逆・裏は真であるとは限らない．
たとえば，
- $p$：$x$は4の倍数である
- $q$：$x$は偶数である
とすると，
- 命題$p\Ra q$は真
- 命題$q\Ra p$は偽
- 命題$\overline{p}\Ra \overline{q}$は偽
となっています．
このことは標語的に「逆(裏)は必ずしも真ならず」とよく言われるくらい大切ですから，勘違いしないように注意してください．
「もとの命題」と「対偶」の関係
さて，冒頭でも書いた通り，命題と対偶については次のような関係があります．
条件$p$, $q$に対して，命題$p\Ra q$の真偽とその対偶$\overline{q}\Ra\overline{p}$は一致する．
つまり，
- $p\Ra q$が真なら$\overline{q}\Ra\overline{p}$も真
- $p\Ra q$が偽なら$\overline{q}\Ra\overline{p}$も偽
というわけですね．
集合(ベン図)による説明
$p$, $q$を$x$に関する条件とし，$p$, $q$の真理集合をそれぞれ$P$, $Q$とします．
このとき，条件$\overline{p}$の真理集合は補集合$\overline{P}$，条件$\overline{q}$の真理集合は補集合$\overline{Q}$ですね．
[1] 命題$p\Ra q$が真であるとします．
このとき，前回の記事で説明したように包含関係$P\subset Q$を満たします．
【前回の記事：論理と集合４｜命題を集合を使って考える超便利な方法】
$x$の条件$p$に対して，条件$p$をみたす$x$全部の集合を条件$p$の真理集合といいます．条件$p$, $q$のそれぞれの真理集合を$P$, $Q$とするとき，$p\Ra q$が真であることと$P\subset Q$が成り立つことは同値です．前回の記事ではこのことを丁寧に説明しました．
すなわち，これをベン図で表すと下図のようになりますね．
ただし，$U$は全体集合です．さて，
- $\overline{P}$はP(赤)の外側
- $\overline{Q}$はQ(青)の外側
ですから，$\overline{Q}\subset\overline{P}$が成り立ちます．
$\overline{p}$, $\overline{q}$を表す集合が$\overline{P}$, $\overline{Q}$でしたから，これは対偶$\overline{q}\Ra \overline{p}$が真であることに他ならりませんね．
[2] 「$p\Ra q$が偽である」とします．
命題$p\Ra q$が真であるとします．このとき，包含関係$P\subset Q$が成り立たず，ベン図で表すと下図のいずれかになりますね．
図を見れば明らかなように，どちらの場合も$\overline{Q}\not\subset\overline{P}$ですから，$\overline{q}\Ra\overline{p}$は偽と分かります．
以上の[1], [2]から，「もとの命題の真偽」と「対偶の真偽」が一致することが分かりました．
証明問題への応用
さて，今みてきた対偶の性質は次のような証明問題で有効です．
実数$x$, $y$が$x+y>0$をみたすなら，$x>0$または$y>0$であることを示せ．
$x$, $y$の条件$p$, $q$を
- $p$：実数$x$, $y$が$x+y>0$をみたす
- $q$：実数$x$, $y$が$x>0$または$y>0$をみたす
と定めると，「$p\Ra q$を示せ」ということになりますね．
しかし，これを直接示すのは少々面倒ですが，対偶の性質を用いると簡単に証明することができます．
実数$x$, $y$が$x\leqq0$かつ$y\leqq0$をみたすとき，$x+y\leqq0$をみたす．いま
- 「$x\leqq0$かつ$y\leqq0$」は「$x>0$または$y>0$」の否定
- $x+y\leqq0$は$x+y>0$の否定
なので，示すべき命題の対偶が真と分かり，示すべき命題も真であ．
元の命題の証明が難しくても，対偶は簡単に示すことができる場合もある．
次の記事では，対偶の「親戚」の証明法である背理法について説明します．
背理法を用いると「$\sqrt{2}$が無理数である」など直接証明しにくいことも証明できる場合があります．