　【SPONSORED LINK】

論理と集合２｜補集合の計算は「ド・モルガンの法則」

2015/12/6 2020/2/11 論理と集合

前回の記事の中で

和集合
共通部分
補集合

について説明しました．これらを組み併せた

共通部分の補集合 $\overline{A\cap B}$
和集合の補集合 $\overline{A\cup B}$

がどうなるのかを教えてくれる定理として「ド・モルガンの法則」があります．

「ド・モルガンの法則」は補集合を考える際に基本的な定理なので，当たり前に使えるようになっておいてください．

一連の記事はこちら

【論理と集合１｜「集合」は数学の共通語！集合の基礎知識】
【論理と集合２｜補集合の計算は「ド・モルガンの法則」】←今の記事
【論理と集合３｜「必要条件」「十分条件」は論理のド基本】
【論理と集合４｜命題を集合を使って考える超便利な方法】
【論理と集合５｜対偶はどういう時に使う？対偶の性質】

【SPONSORED LINK】

準備

まずはいくつか準備をしておきましょう．

共通部分，和集合，補集合の復習

念のために，共通部分，和集合，補集合の定義を確認しておきましょう．

$A$ , $B$ を集合とする．このとき，

$A$ と $B$ の両方に含まれる要素全部の集合を $A$ と $B$ の共通部分といい， $A\cap B$ で表す．
$A$ と $B$ の少なくとも一方に含まれる要素全部の集合を $A$ と $B$ の和集合といい， $A\cup B$ で表す．

また，集合 $C$ が集合 $U$ の部分集合であるとき， $C$ に属さない $U$ の要素全部の集合を $U$ における $C$ の補集合といい， $\overline{C}$ と表す．

たとえば，集合 $A=\{1,3,4\}$ , $B=\{0,1,2,3\}$ に対して，

$A\cap B=\{1,3\}$
$A\cup B=\{0,1,2,3,4\}$

です．さらに， $U=\{1,2,3,4,5\}$ に対して， $U$ における $A$ , $B$ の補集合は

$\overline{A}=\{0,2,5\}$
$\overline{B}=\{4,5\}$

となります．記号の上では全体集合 $U$ を明示しないことが多いですが，全体集合が何かは常に意識しておくことが必要です．

ベン図

円のような閉曲線で集合を表した図をベン図といい，べン図は集合を視覚的に表す際に非常によく用いられます．

たとえば，上のベン図は全体集合が $U$ で，赤丸の内部が $A$ で，青丸の内部が $B$ となっています．よって，

共通部分 $A\cap B$
和集合 $A\cup B$
$A$ の補集合 $\overline{A}$

は下図のようになりますね．

ド・モルガンの法則

それでは，「ド・モルガンの法則」の説明に移ります．

ド・モルガンの法則

[ド・モルガンの法則]　全体集合が同じ集合 $A$ , $B$ に対し，次の等式が成り立つ．

$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$
$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$

それぞれ

共通部分の補集合は，補集合の和集合
和集合の補集合は，補集合の共通部分

ですね．形式的に書けば，

$\overline{\cap}=\cup$
$\overline{\cup}=\cap$

というわけですね．

ド・モルガンの法則が成り立つことの説明

さて，全体集合を $U$ とし，「ド・モルガンの法則」の意味をベン図から考えてみましょう．

公式1

まずは $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$ を考えます．

[1]　 $\overline{A\cap B}$ について

$A\cap B$ をベン図で表せば

であり， $\overline{A\cap B}$ は $A\cap B$ の補集合なので， $\overline{A\cap B}$ をベン図で表せば

となります．

[2]　 $\overline{A}\cup\overline{B}$ について

$\overline{A}$ と $\overline{B}$ をベン図で表せば

なので，この和集合 $\overline{A}\cup \overline{B}$ をベン図で表せば

となります．

[1], [2]より， $\overline{A\cap B}$ と $\overline{A}\cup\overline{B}$ が同じ集合であることが分かるので，

$\begin{align*} \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B} \end{align*}$

が成り立つことが分かりました．

公式2

同様の考え方により， $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$ が成り立つことも分かります．

[1]　 $\overline{A\cup B}$ について

$A\cup B$ をベン図で表せば

であり， $\overline{A\cup B}$ は $A\cup B$ の補集合なので， $\overline{A\cup B}$ をベン図で表せば

となります．

[2]　 $\overline{A}\cap\overline{B}$ について

$\overline{A}$ と $\overline{B}$ をベン図で表せば

なので，この共通部分 $\overline{A}\cap \overline{B}$ をベン図で表せば

となります．

[1], [2]より， $\overline{A\cup B}$ と $\overline{A}\cap\overline{B}$ が同じ集合であることが分かるので，

$\begin{align*} \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B} \end{align*}$

が成り立つことが分かりました．

【次の記事：論理と集合３｜「必要条件」「十分条件」は論理のド基本】

「必要条件」と「十分条件」は数学のどの分野にも必要な考え方です．また，「必要条件」「十分条件」の考え方を理解していれば一瞬で答えが求まるが，知らなければ非常に難しい問題も実際の入試では出題されます．むしろ数学だけに留まらない汎用性のある概念なので，誰でも使えるようになって欲しいところです．