論理と集合２｜補集合の計算は「ド・モルガンの法則」

前回の記事の中で

• 和集合
• 共通部分
• 補集合

について説明しました．これらを組み併せた

• 共通部分の補集合$\overline{A\cap B}$
• 和集合の補集合$\overline{A\cup B}$

がどうなるのかを教えてくれる定理として「ド・モルガンの法則」があります．

「ド・モルガンの法則」は補集合を考える際に基本的な定理なので，当たり前に使えるようになっておいてください．

準備

まずはいくつか準備をしておきましょう．

共通部分，和集合，補集合の復習

念のために，共通部分，和集合，補集合の定義を確認しておきましょう．

たとえば，集合$A=\{1,3,4\}$, $B=\{0,1,2,3\}$に対して，

• $A\cap B=\{1,3\}$
• $A\cup B=\{0,1,2,3,4\}$

です．さらに，$U=\{1,2,3,4,5\}$に対して，$U$における$A$, $B$の補集合は

• $\overline{A}=\{0,2,5\}$
• $\overline{B}=\{4,5\}$

となります．記号の上では全体集合$U$を明示しないことが多いですが，全体集合が何かは常に意識しておくことが必要です．

ベン図

円のような閉曲線で集合を表した図をベン図といい，べン図は集合を視覚的に表す際に非常によく用いられます．

たとえば，上のベン図は全体集合が$U$で，赤丸の内部が$A$で，青丸の内部が$B$となっています．よって，

• 共通部分$A\cap B$
• 和集合$A\cup B$
• $A$の補集合$\overline{A}$

は下図のようになりますね．

ド・モルガンの法則

それでは，「ド・モルガンの法則」の説明に移ります．

ド・モルガンの法則

それぞれ

1. 共通部分の補集合は，補集合の和集合
2. 和集合の補集合は，補集合の共通部分

ですね．形式的に書けば，

1. $\overline{\cap}=\cup$
2. $\overline{\cup}=\cap$

というわけですね．

ド・モルガンの法則が成り立つことの説明

さて，全体集合を$U$とし，「ド・モルガンの法則」の意味をベン図から考えてみましょう．

公式1

まずは$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$を考えます．

[1]　$\overline{A\cap B}$について

$A\cap B$をベン図で表せば

であり，$\overline{A\cap B}$は$A\cap B$の補集合なので，$\overline{A\cap B}$をベン図で表せば

となります．

[2]　$\overline{A}\cup\overline{B}$について

$\overline{A}$と$\overline{B}$をベン図で表せば

なので，この和集合$\overline{A}\cup \overline{B}$をベン図で表せば

となります．

[1], [2]より，$\overline{A\cap B}$と$\overline{A}\cup\overline{B}$が同じ集合であることが分かるので，

   

が成り立つことが分かりました．

公式2

同様の考え方により，$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$が成り立つことも分かります．

[1]　$\overline{A\cup B}$について

$A\cup B$をベン図で表せば

であり，$\overline{A\cup B}$は$A\cup B$の補集合なので，$\overline{A\cup B}$をベン図で表せば

となります．

[2]　$\overline{A}\cap\overline{B}$について

$\overline{A}$と$\overline{B}$をベン図で表せば

なので，この共通部分$\overline{A}\cap \overline{B}$をベン図で表せば

となります．

[1], [2]より，$\overline{A\cup B}$と$\overline{A}\cap\overline{B}$が同じ集合であることが分かるので，

   

が成り立つことが分かりました．