【SPONSORED LINK】

論理と集合2|補集合の計算は「ド・モルガンの法則」

前回の記事の中で

  • 和集合
  • 共通部分
  • 補集合

について説明しました.これらを組み併せた

  • 共通部分の補集合\overline{A\cap B}
  • 和集合の補集合\overline{A\cup B}

がどうなるのかを教えてくれる定理として「ド・モルガンの法則」があります.

「ド・モルガンの法則」は補集合を考える際に基本的な定理なので,当たり前に使えるようになっておいてください.

【SPONSORED LINK】

準備

まずはいくつか準備をしておきましょう.

共通部分,和集合,補集合の復習

念のために,共通部分,和集合,補集合の定義を確認しておきましょう.

A, Bを集合とする.このとき,

  1. ABの両方に含まれる要素全部の集合をAB共通部分といい,A\cap Bで表す.
  2. ABの少なくとも一方に含まれる要素全部の集合をAB和集合といい,A\cup Bで表す.

また,集合Cが集合Uの部分集合であるとき,Cに属さないUの要素全部の集合をUにおけるC補集合といい,\overline{C}と表す.

たとえば,集合A=\{1,3,4\}, B=\{0,1,2,3\}に対して,

  • A\cap B=\{1,3\}
  • A\cup B=\{0,1,2,3,4\}

です.さらに,U=\{1,2,3,4,5\}に対して,UにおけるA, Bの補集合は

  • \overline{A}=\{0,2,5\}
  • \overline{B}=\{4,5\}

となります.記号の上では全体集合Uを明示しないことが多いですが,全体集合が何かは常に意識しておくことが必要です.

ベン図

円のような閉曲線で集合を表した図をベン図といい,べン図は集合を視覚的に表す際に非常によく用いられます.

Rendered by QuickLaTeX.com

たとえば,上のベン図は全体集合がUで,赤丸の内部がAで,青丸の内部がBとなっています.よって,

  • 共通部分A\cap B
  • 和集合A\cup B
  • Aの補集合\overline{A}

は下図のようになりますね.

Rendered by QuickLaTeX.com

ド・モルガンの法則

それでは,「ド・モルガンの法則」の説明に移ります.

ド・モルガンの法則

[ド・モルガンの法則] 全体集合が同じ集合A, Bに対し,次の等式が成り立つ.

  1. \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}
  2. \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}

それぞれ

  1. 共通部分の補集合は,補集合の和集合
  2. 和集合の補集合は,補集合の共通部分

ですね.形式的に書けば,

  1. \overline{\cap}=\cup
  2. \overline{\cup}=\cap

というわけですね.

ド・モルガンの法則が成り立つことの説明

さて,全体集合をUとし,「ド・モルガンの法則」の意味をベン図から考えてみましょう.

公式1

まずは\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}を考えます.

[1] \overline{A\cap B}について

A\cap Bをベン図で表せば

Rendered by QuickLaTeX.com

であり,\overline{A\cap B}A\cap Bの補集合なので,\overline{A\cap B}をベン図で表せば

Rendered by QuickLaTeX.com

となります.

[2] \overline{A}\cup\overline{B}について

\overline{A}\overline{B}をベン図で表せば

Rendered by QuickLaTeX.com

なので,この和集合\overline{A}\cup \overline{B}をベン図で表せば

Rendered by QuickLaTeX.com

となります.

[1], [2]より,\overline{A\cap B}\overline{A}\cup\overline{B}が同じ集合であることが分かるので,

\begin{align*} \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B} \end{align*}

が成り立つことが分かりました.

公式2

同様の考え方により,\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}が成り立つことも分かります.

[1] \overline{A\cup B}について

A\cup Bをベン図で表せば

Rendered by QuickLaTeX.com

であり,\overline{A\cup B}A\cup Bの補集合なので,\overline{A\cup B}をベン図で表せば

Rendered by QuickLaTeX.com

となります.

[2] \overline{A}\cap\overline{B}について

\overline{A}\overline{B}をベン図で表せば

Rendered by QuickLaTeX.com

なので,この共通部分\overline{A}\cap \overline{B}をベン図で表せば

Rendered by QuickLaTeX.com

となります.

[1], [2]より,\overline{A\cup B}\overline{A}\cap\overline{B}が同じ集合であることが分かるので,

\begin{align*} \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B} \end{align*}

が成り立つことが分かりました.

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする

最後までありがとうございました

以下の関連記事もいかがですか?

SPONSORED LINK
関連記事

記事一覧はこちらからどうぞ!

記事

一覧へ

Twitterを

フォロー

TouTube

を見る

オススメ

参考書

大学数学の

姉妹ブログ