【SPONSORED LINK】

論理と集合3|「必要条件」「十分条件」は論理のド基本

数学では「仮定」が何で,「結論」が何かということを意識するのは非常に重要です.

これを間違えるとまったく意味のない議論になってしまい,すべてが破綻することもあります.

たとえば,「$p$であるとき,$q$を証明せよ.」という問いで,証明の中で$q$を使ってしまうという誤りがよくあります.

これは「まだ$q$が成り立つか分かっていないのに,$q$が成り立つ前提で話を進めてしまっている」というのが間違いです.

この記事では,論理関係の基本として,必要条件,十分条件について詳しく説明します.

【SPONSORED LINK】

命題と条件

必要条件,十分条件について説明する前に,「命題」と「条件」の概念について整理しておきます.

しかし,この節はあまり深く考えるとよく分からなくなる恐れがあるので,ある程度読み飛ばして次の「必要条件と十分条件」の節に進んでしまっても構いません.

命題

まずは「命題」について説明します.

正しいか正しくないかが明確に決まる主張を命題という.また,命題が正しいとき命題はであるといい,命題が正しくないとき命題はであるという.

少し曖昧な感じがする人はその感覚は正しいです.

しかし,厳密に命題というものを定義するには「数理論理学」という数学を学ぶ必要があるので,詳しくはここでは触れません.

要は

  • 彼の身長は180cm以上ある
  • 2は偶数である
  • 5は4で割り切れる

など正しいか正しくないかが決まる事柄を命題というわけですね.

一方,

  • 彼女は頭が良い
  • 彼は背が高い

など判断する人の主観に依存する事柄は命題とは言いません.

また,

  • 「2は偶数である」は真
  • 「5は4で割り切れる」は偽

ですね.

条件

次に「条件」について説明します.

文字$x$を含んだ文や式において,文字のとる値を変えると真偽が変わるものがある.このような文字$x$を含んだ文や式を,$x$の条件という.

たとえば,

  • $x$は整数である
  • $x$は3以上の奇数である

$x$が変わるごとに真偽もそれに対して決まるので「$x$の条件」ですね.

命題と条件

命題は条件$p$と$q$を用いて「$p$ならば,$q$である」の形で書かれることが多くあります.

たとえば,条件$p$と$q$を

  • $p$:$x$は4の倍数である
  • $q$:$x$は偶数である

と定めると,「$p$ならば,$q$である」は「$x$が4の倍数ならば,$x$は2の倍数である」ということになり,これは真の命題です.

また,条件$p$と$q$を

  • $p$:三角形Xは二等辺三角形である
  • $q$:三角形Xは正三角形である

と定めると,「$p$ならば,$q$である」は「三角形Xが二等辺三角形ならば,Xは正三角形である」ということになり,これは偽の命題ですね.

命題$p\Ra q$が真であるとは,$p$が成り立つときに必ず$q$が成り立つことをいう.

必要条件と十分条件

それではこの記事の本題の

  • 必要条件
  • 十分条件

について説明します.

必要条件と十分条件の定義

[必要条件,十分条件] 条件$p$, $q$に対し,命題「$p$ならば,$q$である」を,

\begin{align*} p\Ra q \end{align*}

と書く.命題$p\Ra q$が真であるとき,

  • $p$は$q$の十分条件である
  • $q$は$p$の必要条件である

という.また,命題$p\Ra q$と命題$q\Ra p$がともに真であるとき,$p$は$q$の必要十分条件である,または$p$と$q$は同値であるという.

$p$が$q$の必要十分条件なときは,$q$は$p$の必要十分条件でもありますね.

さて,すでに「命題の真偽」については少し説明しましたが,ここでもう一度触れておきます.

先ほど[ポイント]で「命題$p\Ra q$が真であるとは,$p$が成り立つときに必ず$q$が成り立つことをいう.」と書きましたが,この「必ず」という部分が重要です.

つまり,$p$が成り立っているのに,$q$が成り立たない場合が1つでもあれば,命題$p\Ra q$は偽であるということになります.

具体例

それでは具体例を考えてみましょう.

次のそれぞれの場合において,命題$p$, $q$はそれぞれ他方の必要条件か,十分条件か.

  1. $p$;A君はX高校の生徒である
    $q$:A君は高校生である
  2. $p$:$x$は偶数である
    $q$:$x$は4の倍数である
  3. $p$:$x$は6の倍数である
    $q$:$x$は2の倍数かつ3の倍数である

(1) [$p\Ra q$の真偽] 「$p$:A君はX高校の生徒である」とするとき,必ず「$q$:A君は高校生である」でしょうか?

これは必ず正しいですから,命題「$p\Rightarrow q$」は真です.

したがって,$p$は$q$の十分条件です.

[$q\Ra p$の真偽] 「$q$:A君は高校生である」とするとき,必ず「$p$:A君はX高校の生徒である」でしょうか?

たとえば,A君はY高校の生徒かもしれませんし,Z高校の生徒かもしれませんから,$p$が必ず成り立つとは言えません.

したがって,$p$は$q$の必要条件ではありません.

以上より,「$p$は$q$の十分条件だが必要条件でない」と分かりました.

また,

  • 「$p$が$q$の十分条件である」と「$q$が$p$の必要条件である」は同じ
  • 「$p$は$q$の必要条件でない」と「$q$が$p$の十分条件でない」は同じ

ですから,「$q$は($p$の)必要条件だが十分条件でない」ということでもありますね.

(2) [$p\Ra q$の真偽] 「$p$:$x$は偶数である」とするとき,必ず「$q$:$x$は4の倍数である」でしょうか?

たとえば,$x=6$は$p$をみたしますが,$q$はみたしていません.

したがって,$p$は$q$の十分条件ではありません.

[$q\Ra p$の真偽] 「$q$:$x$は4の倍数である」とするとき,必ず「$p$:$x$は偶数である」でしょうか?

$x$が4の倍数であるとき,$x$は整数$m$によって

\begin{align*} x=4m =2\cdot2m \end{align*}

と表すことができ,$2m$は整数ですから$x$は偶数となりますね.

したがって,$p$は$q$の必要条件です.

以上より「$p$は$q$の必要条件だが十分条件でない」と分かりました.また,これは「$q$は$p$の十分条件だが必要条件でない」ということでもありますね.

(3) [$p\Ra q$の真偽] 「$p$:$x$は6の倍数である」とするとき,必ず「$q$:$x$は2の倍数かつ3の倍数である」でしょうか?

$x$が6の倍数であるとき,$x$は整数$m$によって

\begin{align*} x=6m=3\cdot2m=2\cdot3m \end{align*}

と表すことができ,$2m$は整数ですから$x$は3の倍数,$3m$は整数ですから$x$は2の倍数となりますね.

したがって,$p$は$q$の十分条件,$q$は$p$の必要条件です.

[$q\Ra p$の真偽] 「$q$:$x$は2の倍数かつ3の倍数である」とするとき,必ず「$p$:$x$は6の倍数である」でしょうか?

$x$が2の倍数であるとき,$x$は整数$m$によって$x=2m$と表せます.さらに,$x=2m$が3の倍数であれば,$m$が3の倍数でなければなりませんから,$m$は整数$n$によって$m=3n$と表せます.

よって,$x=6n$となり$x$は6の倍数です.

したがって,$p$は$q$の必要条件,$q$は$p$の十分条件です.

以上より「$p$は$q$の必要十分条件である」,「$q$は$p$の必要十分条件である」と分かりました.

問題集ではさらっと解答が書かれていることが多いのですが,必要条件,十分条件を調べるときは,いつでも上の解答のように$p\Ra q$, $q\Ra p$の真偽をみなければなりません.

このとき,

  • 真の場合は証明をし
  • 偽の場合は反例を見つければ

良いというわけですね.

条件$p$, $q$に対して,$p\Ra q$の真偽で$p$の十分性が,$q\Ra p$の真偽で$p$の必要性が分かる.また,真の場合には証明を,偽の場合には判例を見つければよい.

最後までありがとうございました!

参考になった方は是非シェアをお願いします!

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする

以下の関連記事もいかがですか?

SPONSORED LINK
関連記事

記事一覧はこちらからどうぞ!

記事

一覧へ

Twitterを

フォロー

TouTube

を見る

オススメ

参考書

大学数学の

姉妹ブログ