数学では「仮定」が何で，「結論」が何かということを意識するのは非常に重要です．
これを間違えるとまったく意味のない議論になってしまい，すべてが破綻することもあります．
たとえば，「$p$であるとき，$q$を証明せよ．」という問いで，証明の中で$q$を使ってしまうという誤りがよくあります．
これは「まだ$q$が成り立つか分かっていないのに，$q$が成り立つ前提で話を進めてしまっている」というのが間違いです．
この記事では，論理関係の基本として，必要条件，十分条件について詳しく説明します．
一連の記事はこちら
【論理と集合１｜「集合」は数学の共通語！集合の基礎知識】
【論理と集合２｜補集合の計算は「ド・モルガンの法則」】
【論理と集合３｜「必要条件」「十分条件」は論理のド基本】←今の記事
【論理と集合４｜命題を集合を使って考える超便利な方法】
【論理と集合５｜対偶はどういう時に使う？対偶の性質】
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命題と条件
必要条件，十分条件について説明する前に，「命題」と「条件」の概念について整理しておきます．
しかし，この節はあまり深く考えるとよく分からなくなる恐れがあるので，ある程度読み飛ばして次の「必要条件と十分条件」の節に進んでしまっても構いません．
命題
まずは「命題」について説明します．
正しいか正しくないかが明確に決まる主張を命題という．また，命題が正しいとき命題は真であるといい，命題が正しくないとき命題は偽であるという．
少し曖昧な感じがする人はその感覚は正しいです．
しかし，厳密に命題というものを定義するには「数理論理学」という数学を学ぶ必要があるので，詳しくはここでは触れません．
要は
- 彼の身長は180cm以上ある
- ２は偶数である
- ５は４で割り切れる
など正しいか正しくないかが決まる事柄を命題というわけですね．
一方，
- 彼女は頭が良い
- 彼は背が高い
など判断する人の主観に依存する事柄は命題とは言いません．
また，
- 「２は偶数である」は真
- 「５は４で割り切れる」は偽
ですね．
条件
次に「条件」について説明します．
文字$x$を含んだ文や式において，文字のとる値を変えると真偽が変わるものがある．このような文字$x$を含んだ文や式を，$x$の条件という．
たとえば，
- $x$は整数である
- $x$は３以上の奇数である
は$x$が変わるごとに真偽もそれに対して決まるので「$x$の条件」ですね．
命題と条件
命題は条件$p$と$q$を用いて「$p$ならば，$q$である」の形で書かれることが多くあります．
たとえば，条件$p$と$q$を
- $p$：$x$は４の倍数である
- $q$：$x$は偶数である
と定めると，「$p$ならば，$q$である」は「$x$が4の倍数ならば，$x$は2の倍数である」ということになり，これは真の命題です．
また，条件$p$と$q$を
- $p$：三角形Xは二等辺三角形である
- $q$：三角形Xは正三角形である
と定めると，「$p$ならば，$q$である」は「三角形Xが二等辺三角形ならば，Xは正三角形である」ということになり，これは偽の命題ですね．
命題$p\Ra q$が真であるとは，$p$が成り立つときに必ず$q$が成り立つことをいう．
必要条件と十分条件
それではこの記事の本題の
- 必要条件
- 十分条件
について説明します．
必要条件と十分条件の定義
[必要条件，十分条件] 条件$p$, $q$に対し，命題「$p$ならば，$q$である」を，
と書く．命題$p\Ra q$が真であるとき，
- $p$は$q$の十分条件である
- $q$は$p$の必要条件である
という．また，命題$p\Ra q$と命題$q\Ra p$がともに真であるとき，$p$は$q$の必要十分条件である，または$p$と$q$は同値であるという．
$p$が$q$の必要十分条件なときは，$q$は$p$の必要十分条件でもありますね．
さて，すでに「命題の真偽」については少し説明しましたが，ここでもう一度触れておきます．
先ほど[ポイント]で「命題$p\Ra q$が真であるとは，$p$が成り立つときに必ず$q$が成り立つことをいう．」と書きましたが，この「必ず」という部分が重要です．
つまり，$p$が成り立っているのに，$q$が成り立たない場合が１つでもあれば，命題$p\Ra q$は偽であるということになります．
具体例
それでは具体例を考えてみましょう．
次のそれぞれの場合において，命題$p$, $q$はそれぞれ他方の必要条件か，十分条件か．
- $p$；A君はX高校の生徒である
$q$：A君は高校生である - $p$：$x$は偶数である
$q$：$x$は４の倍数である - $p$：$x$は６の倍数である
$q$：$x$は２の倍数かつ３の倍数である
(1) [$p\Ra q$の真偽] 「$p$：A君はX高校の生徒である」とするとき，必ず「$q$：A君は高校生である」でしょうか？
これは必ず正しいですから，命題「$p\Rightarrow q$」は真です．
したがって，$p$は$q$の十分条件です．
[$q\Ra p$の真偽] 「$q$：A君は高校生である」とするとき，必ず「$p$：A君はX高校の生徒である」でしょうか？
たとえば，A君はY高校の生徒かもしれませんし，Z高校の生徒かもしれませんから，$p$が必ず成り立つとは言えません．
したがって，$p$は$q$の必要条件ではありません．
以上より，「$p$は$q$の十分条件だが必要条件でない」と分かりました．
また，
- 「$p$が$q$の十分条件である」と「$q$が$p$の必要条件である」は同じ
- 「$p$は$q$の必要条件でない」と「$q$が$p$の十分条件でない」は同じ
ですから，「$q$は($p$の)必要条件だが十分条件でない」ということでもありますね．
(2) [$p\Ra q$の真偽] 「$p$：$x$は偶数である」とするとき，必ず「$q$：$x$は4の倍数である」でしょうか？
たとえば，$x=6$は$p$をみたしますが，$q$はみたしていません．
したがって，$p$は$q$の十分条件ではありません．
[$q\Ra p$の真偽] 「$q$：$x$は4の倍数である」とするとき，必ず「$p$：$x$は偶数である」でしょうか？
$x$が4の倍数であるとき，$x$は整数$m$によって
と表すことができ，$2m$は整数ですから$x$は偶数となりますね．
したがって，$p$は$q$の必要条件です．
以上より「$p$は$q$の必要条件だが十分条件でない」と分かりました．また，これは「$q$は$p$の十分条件だが必要条件でない」ということでもありますね．
(3) [$p\Ra q$の真偽] 「$p$：$x$は６の倍数である」とするとき，必ず「$q$：$x$は２の倍数かつ３の倍数である」でしょうか？
$x$が６の倍数であるとき，$x$は整数$m$によって
と表すことができ，$2m$は整数ですから$x$は３の倍数，$3m$は整数ですから$x$は２の倍数となりますね．
したがって，$p$は$q$の十分条件，$q$は$p$の必要条件です．
[$q\Ra p$の真偽] 「$q$：$x$は２の倍数かつ３の倍数である」とするとき，必ず「$p$：$x$は6の倍数である」でしょうか？
$x$が２の倍数であるとき，$x$は整数$m$によって$x=2m$と表せます．さらに，$x=2m$が３の倍数であれば，$m$が３の倍数でなければなりませんから，$m$は整数$n$によって$m=3n$と表せます．
よって，$x=6n$となり$x$は６の倍数です．
したがって，$p$は$q$の必要条件，$q$は$p$の十分条件です．
以上より「$p$は$q$の必要十分条件である」，「$q$は$p$の必要十分条件である」と分かりました．
問題集ではさらっと解答が書かれていることが多いのですが，必要条件，十分条件を調べるときは，いつでも上の解答のように$p\Ra q$, $q\Ra p$の真偽をみなければなりません．
このとき，
- 真の場合は証明をし
- 偽の場合は反例を見つければ
良いというわけですね．
条件$p$, $q$に対して，$p\Ra q$の真偽で$p$の十分性が，$q\Ra p$の真偽で$p$の必要性が分かる．また，真の場合には証明を，偽の場合には判例を見つければよい．
【次の記事：論理と集合４｜命題を集合を使って考える超便利な方法】
実は命題$p\Ra q$は集合を用いて考えることができます．このように，命題と集合は密接に関係しています．次の記事では，命題と集合の関係を説明します．