論理と集合の基本３｜必要条件と十分条件

数学では「仮定」が何で，「結論」が何かということを意識するのは非常に重要です．これを間違えるとまったく意味のない議論になってしまい，すべてが破綻することもあります．

たとえば，「 $p$ であるとき， $q$ を証明せよ．」という問いで，証明の中で $q$ を使ってしまうという誤りがよくあります．これは「まだ $q$ が成り立つか分かっていないのに， $q$ が成り立つ前提で話を進めてしまっている」というのが間違いです．

この記事では，論理関係の基本として，必要条件，十分条件について詳しく説明します．

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1 命題と条件
2 必要条件と十分条件
3 まとめ

命題と条件

必要条件，十分条件について説明する前に，「命題」と「条件」の概念について整理しておきます．

しかし，この節はあまり深く考えるとよく分からなくなる恐れがあるので，ある程度読み飛ばして次の「必要条件と十分条件」の節に進んでしまっても構いません．

命題

「命題」という概念について説明しますが，私の持っている教科書には次のように書かれています．

文や式で表された事柄で，正しいか正しくないかが明確に決まるものを命題という．

少し曖昧な感じがする人はその感覚は正しいです．厳密に命題というものを定義するには「数理論理学」という数学を学ぶ必要があるので，詳しくはここでは触れません．

要は「彼女は人間である．」や「彼の身長は180cm以上ある．」などの，正しいか正しくないかが客観的に判断される事柄を「命題」といいます．

一方，「彼女は頭が良い．」や「彼は背が高い．」などの，判断する人の主観に依存する事柄は命題とは言いません．

また，命題が正しいときは「命題は『真』である．」といい，正しくないときは「命題は『偽』である．」といいます．「真」と「偽」を併せて「真偽」という言葉もよく使います．

たとえば，「1は整数である．」は真で，「2.5は整数である．」は偽です．また，「平行四辺形は四角形である．」は真で，「四角形は平行四辺形である．」は偽です．

このあたりの命題についても，あとで詳しく書きます．

条件

「条件」も命題と同様に厳密に定義することは難しいので，教科書に載っている説明を書きます．

文字 $x$ を含んだ文や式において，文字のとる値を変えると，真偽が変わるものがある．(中略)このような文字 $x$ を含んだ文や式を， $x$ に関する条件という．

たとえば，「 $x$ は整数である．」や「 $x$ は3以上の奇数である．」は条件です．また，当然，文字は $x$ に限る必要もなく，「 $A$ は要素を2つ以上もつ集合である．」なども条件です．

「命題」はそれ自身が正しいか正しくないかが決まるものですが，たとえば「 $x$ は整数である．」という「条件」は，ただ $x$ が整数だといっているだけで，本質的に真偽を考えることはしません．

ですから，簡単には「命題」は真偽が決まるもの，「条件」は真偽が決まるわけではないものといえます．高校数学のうちでは，このように考えておいても問題は起きないでしょう．

命題と条件

命題は条件 $p$ と $q$ を用いて「 $p$ ならば， $q$ である」の形で書かれることが多くあります．

たとえば，条件 $p$ と $q$ を

$p$ ： $x$ は4の倍数である」，
$q$ ： $x$ は偶数である」

と定めると，「 $p$ ならば， $q$ である」は

「 $x$ が4の倍数ならば， $x$ は2の倍数である」

ということになり，これは「真」の命題です．

また，条件 $p$ と $q$ を

$p$ 「三角形 $X$ は二等辺三角形である」，
$q$ 「三角形 $X$ は正三角形である」

と定めると，「 $p$ ならば， $q$ である」は

「三角形 $X$ が二等辺三角形ならば， $X$ は正三角形である」

ということになり，これは「偽」の命題です．

必要条件と十分条件

それではこの記事の本題の「必要条件」と「十分条件」について説明します．

[必要条件，十分条件]　条件 $p$ ， $q$ に対し，命題「 $p$ ならば， $q$ である」を，

$p\Rightarrow q$

と書く．命題「 $p\Rightarrow q$ 」が真であるとき，このとき「 $p$ は( $q$ の)十分条件である」といい，「 $q$ は( $p$ の)必要条件である」という．

また，命題「 $p\Rightarrow q$ 」と命題「 $q\Rightarrow p$ 」がともに真であるとき， $p$ は( $q$ の)必要条件かつ十分条件であるが，このことを「 $p$ は( $q$ の)必要十分条件である」という．

また， $p$ が( $q$ の)必要十分条件であるとき，「 $p$ と $q$ は同値である」という．

なお， $p$ が( $q$ の)必要十分条件なときは， $q$ は( $p$ の)必要十分条件でもあります．なので，「 $p$ と $q$ が同値である」というのと「 $q$ と $p$ が同値である」というのは同じことになります．

さて，すでに「命題の真偽」については少し説明しましたが，ここでもう一度触れておきます．

「命題『 $p\Rightarrow q$ 』が真である」ということを丁寧に書けば次のようになります．

$p$ が成り立っているとき，必ず $q$ が成り立つ．

この「必ず」という部分が非常に重要です．

$p$ が成り立っているとき，「必ず」 $q$ が成り立っていて初めて，「命題『 $p\Rightarrow q$ 』は真である」と言えるのです．

逆に言えば， $p$ が成り立っているのに， $q$ が成り立たない場合が1つでもあれば，「命題『 $p\Rightarrow q$ 』は偽である」ということになります．

また， $p\rightarrow q$ のどちらが必要条件で，十分条件かということですが，これを高校生の時の私は次のように覚えました．

「矢」は先端の矢じりの部分がないと「矢」とは呼べない．よって「矢」は先端が必要．だから，「矢印 $\Rightarrow$ 」の先が「必要条件」だ！

覚え方にはさまざまあると思いますが，自分の分かりやすいように覚えれば良いと思います．

本当は「必要条件」，「十分条件」の概念からこの名前に納得できるのが一番良いのですが，そこまで説明する余裕はこの記事にはないので，これについては省略します．

例1

次の命題 $p$ ， $q$ はそれぞれ他方の必要条件か，十分条件か．

$p$ ；A君はX高校の生徒である，
$q$ ：A君は高校生である

[1]　まず，命題「 $p\Rightarrow q$ 」の真偽をみます． $p$ 「A君はX高校の生徒である」とするとき， $q$ 「A君は高校生である」は「必ず」正しいと言えるでしょうか？

X高校の生徒であるということはそもそも高校生ですから，命題「 $p\Rightarrow q$ 」は真です．

したがって，「 $p$ は( $q$ の)十分条件」となります．

[2]　次に，命題「 $q\Rightarrow p$ 」の真偽をみます． $q$ 「A君は高校生である」とするとき， $p$ 「A君はX高校の生徒である」は「必ず」正しいと言えるでしょうか？

たとえば，A君はY高校の生徒かもしれませんし，Z高校の生徒かもしれませんから， $p$ が必ず成り立つとは言えません．

したがって，「 $p$ は( $q$ の)必要条件でない」となります．

以上をまとめて，

$p$ は( $q$ の)十分条件だが必要条件でない

となります．

また，「 $p$ が $q$ の十分条件である」ことと「 $q$ が $p$ の必要条件である」ことは同じであり，「 $p$ は $q$ の必要条件でない」ことと「 $q$ が $p$ の十分条件でない」ことは同じですから，

$q$ は( $p$ の)必要条件だが十分条件でない．

となります．

例2

次の命題 $p$ ， $q$ は他方の必要条件か，十分条件か．

$p$ ： $x$ は偶数である，
$q$ ： $x$ は4の倍数である

[1]　まず，命題「 $p\Rightarrow q$ 」の真偽をみます． $p$ 「 $x$ は偶数である」とするとき， $q$ 「 $x$ は4の倍数である」は「必ず」正しいと言えるでしょうか？

たとえば， $x=2$ は偶数なので $p$ は満たしています．しかし， $x=6$ は4の倍数ではないので $q$ はみたしていません．

したがって，「 $p$ は十分条件でなく， $q$ は必要条件でない」となります．

[2]　次に，命題「 $q\Rightarrow p$ 」の真偽をみます． $q$ は「 $x$ は4の倍数である」とするとき， $p$ 「 $x$ は偶数である」は「必ず」正しいと言えるでしょうか？

$x$ が4の倍数であるとき， $x$ は整数 $m$ によって $x=4m$ と表せます．このとき， $2m$ は整数で， $x=2\cdot(2m)$ と表せますから $x$ は偶数です．

したがって，「 $p$ は必要条件， $q$ は十分条件」となります．

以上をまとめて，

$p$ は( $q$ の)必要条件だが十分条件でない．
$q$ は( $p$ の)十分条件だが必要条件でない．

となります．

例3

次の命題 $p$ ， $q$ は他方の必要条件か，十分条件か．

$p$ 「 $x$ は6の倍数である」，
$q$ 「 $x$ は2の倍数かつ3の倍数である」

[1]　まず，命題「 $p\Rightarrow q$ 」の真偽をみます． $p$ 「 $x$ は6の倍数である」とするとき， $q$ 「 $x$ は2の倍数かつ3の倍数である」は「必ず」正しいと言えるでしょうか？

$x$ が6の倍数であるとき， $x$ は整数 $m$ によって $x=6m$ と表せます．このとき， $2m$ は整数で， $x=3\cdot(2m)$ と表せますから， $x$ は3の倍数です．また， $3m$ は整数で， $x=2\cdot(3m)$ と表せますから， $x$ は2の倍数です．

したがって，「 $p$ は十分条件， $q$ は必要条件」となります．

[2]　次に，命題「 $q\Rightarrow p$ 」の真偽をみます． $q$ は「 $x$ は2の倍数かつ3の倍数である」とするとき， $p$ 「 $x$ は6の倍数である」は「必ず」正しいと言えるでしょうか？

$x$ が2の倍数であるとき， $x$ は整数 $m$ によって $x=2m$ と表せます．さらに， $x=2m$ が3の倍数であれば， $m$ が3の倍数でなければなりませんから， $m$ は整数 $n$ によって $3n$ と表せます．よって， $x=6n$ と表せますから $x$ は偶数です．