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条件付き確率の基本

「条件付き確率」は直感に合わない人が少なくないようで,確率を勉強するときに避けられがちです.直感に合わない上に,追い打ちをかけるように「公式が~」と言われるともう嫌になってしまう人が多いようです.

この記事では条件付き確率の具体的な問題を扱い,その「間違った考え方」と「正しい考え方」を解説します.そして,「間違った考え方」が間違っている理由を,他の分かりやすい例を用いて説明します.

また,同時に多くの人が苦手とする「同様に確からしい」という概念についても説明します.

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条件付き確率の例

「条件付き確率」とは,ある条件下での確率のことを言います.

条件付き確率について,先日次のような問題を見かけたので,この問題を例に「条件付き確率」を考えてみます.

3枚のカードS,T,Uがあり,それらの両面は赤または青で次のように塗られているとする.

S:両面とも赤,T:両面とも青,U:片面が赤で他面が青

このとき,S,T,Uを箱に入れ無作為に1枚選ぶ.

(1) Uを選ぶ確率を求めよ.

(2) 机に置くと上面が赤であった.このとき,このカードの裏が青である確率を求めよ.

(1)も(2)も結局はUのカードを選ぶ確率ですが,(2)は「条件付き確率」です.

どういうことかというと,(2)は「机に置くと片面が赤であった」という条件のもとでの,Uを選ぶ確率なわけです.

「何か分からないけど,とりあえず上面は赤でした.」までが「条件」で,「では,このときの裏が青である確率はどれくらいですか?」という問題なわけです.

一方,(1)は何も条件がないので,単に3枚のうちからUを選ぶ確率というわけです.したがって,(1)の答えが\dfrac{1}{3}なのは良いでしょう.

以下,この記事では(2)について考えます.

条件付き確率の考え方

クラス授業でこの類の問題を解いてもらうと,答えはたいてい\dfrac{1}{2}と答える人と\dfrac{1}{3}と答える人に分かれます.

実は,答えは\dfrac{1}{3}なのですが,「正しい考え方」を見る前に,\dfrac{1}{2}ではなぜ間違いなのかを解説します.

間違った考え方

間違った答え\dfrac{1}{2}を導いてしまう人は次のように考える人が多いようです.

片側が赤のとき,その裏は「赤」か「青」の2通り.よって\dfrac{1}{2}である.

しかし,これは間違いです.

これは,「片面が赤のとき,その裏が『赤』であることと,『青』であることが同様に確からしくない」ことが間違いの原因です.

「出た!同様に確からしい!」

と思った人もいるかもしれません.詳しいことはひとまずおいて,次に正しい考え方を説明します.

正しい考え方

正しい答え\dfrac{1}{3}を導くには次のように考えます.

上面が赤なら,この赤は「Sの表」,「Sの裏」,「Uの赤面」の3通り.このうち,裏が青なのは1通り.よって,\dfrac{1}{3}である.

「片面が赤であった」という条件がありますが,この赤が「Sの表」の赤なのか,「Sの裏」の赤なのか,「Uの赤面」の赤なのかが分かりません.

ですが,「Sの表」,「Sの裏」,「Uの赤面」のどれであるのかは当確率です.ですから,この3通りの中で裏が青であるのは1通りなので,求める確率は\dfrac{1}{3}となるわけです.

「間違った考え方」が間違っている理由

「間違った考え方」では「片側が赤のとき,裏は『赤』か『青』の2通り.」と考えました.

これは正しいです.

しかし,これから「よって\dfrac{1}{2}である.」と結論付けたところが問題なのです.ここに論理のギャップがあります.

場合の数が2通りであっても,確率が\dfrac{1}{2}とは限らないのです!このことは次の例を見れば納得してもらえると思います.

まず,いびつなコインを考えます.このコインを投げると,コインの歪みのせいでほとんどの確率で表が出るとします.

このとき,「コインで『表』の出る場合と『裏』の出る場合の2通り」です.これは間違っていません.

しかし,「よって,表が出る確率は\dfrac{1}{2}である!」と結論付けるのは明らかに間違いですね.というのは,ほとんどの確率で表が出るはずだからです.

場合が2通りであっても,その2通りのそれぞれが均等に出ない場合には,それぞれの確率が\dfrac{1}{2}とはならないのです.

(2)の「間違った考え方」はこれと同じ間違いをしているのです.

「同様に確からしくない」からの説明

さて,この(2)の例においては「表が出ることと裏が出ることは同様に確からしくない」と言います.

さて,「同様に確からしい」という言葉はあまり詳しく習わないがために,よく分からないという人が多い概念でもあります.ですが,上のコインの例で「表の出る確率が\dfrac{1}{2}ではない」ことが理解できていれば,すぐに分かるはずです.

簡単に言えば,「同様に確からしい」とは

「どの場合が起こる確率も同じやで!」

ということです.

いびつなコインでは「表の出る確率」と「裏の出る確率」が異なります.ですから,「表が出ることと裏が出ることは同様に確からしくない」と言えるわけです.

同様に,片面が赤のときに「裏が赤である確率」と「裏が青である確率」は等確率ではないのです.つまり,「間違った考え方」で書いたように,片面が赤のときに「裏が赤であること」と「裏が青であること」は同様に確からしくないので,「確率が\dfrac{1}{2}である」とするのは間違いだというわけです.

一方,「正しい考え方」では,「Sの表」,「Sの裏」,「Uの赤面」のどれである確率も同様に確からしいので,「それぞれの確率は\dfrac{1}{3}である」とできるわけです.

条件付き確率の公式

さて,ここで一度具体例から離れて,次の「条件付き確率」を求める公式を導出します.

公式とその導出

まず記号ですが,事象\mathrm{S}が起こる場合の数をn(\mathrm{S}),事象Sが起こる確率をP(\mathrm{S})と書きます.

[条件付き確率の公式] 全事象を\mathrm{X}とし,それぞれの場合は同様に確からしいとする.事象\mathrm{A}と事象\mathrm{B}に対し,\mathrm{A}が起こった後に\mathrm{B}が起こる条件付き確率P_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})は次で表される.

P_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\dfrac{P(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})}{P(\mathrm{A})}

分母を払ったP(\mathrm{A})P_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=P(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})をみると,左辺は「\mathrm{A}が起こった後に\mathrm{B}が起こる確率」,右辺は「\mathrm{A}\mathrm{B}が同時に起こる確率」ですから,なんとなく正しそうです.

数学的には次のように説明できます.

[公式の証明]

P_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})\mathrm{A}が起こったことが確定したあとに\mathrm{B}が起こる確率を考えるので,分母はn(\mathrm{A})です.

ただし,このとき\mathrm{B}\mathrm{A}と一緒に起こっており\mathrm{B}のみが起こることはありえませんから,分子はn(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})です.よって,

P_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\dfrac{n(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})}{n(\mathrm{A})}

が成り立ちます.さて,この右辺が\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}と一致して欲しいわけですが,

P(A\cap B)=\dfrac{n(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})}{n(\mathrm{X})}P(\mathrm{A})=\dfrac{n(\mathrm{A})}{n(\mathrm{X})}

だったので,分母分子をn(\mathrm{X})で割れば良さそうです.こうして,

P_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\dfrac{n(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})}{n(\mathrm{A})}=\dfrac{\dfrac{n(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})}{n(\mathrm{X})}}{\dfrac{n(\mathrm{A})}{n(\mathrm{X})}}=\dfrac{P(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})}{P(\mathrm{A})}

が得られました.

[証明終]

問題の(2)では,事象\mathrm{A}を「上面が赤である」,事象\mathrm{B}を「裏が青である」として,P_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})を求めれば良いことが分かります.

まず,カードS,T,Uの選び方が3通り,裏表の選び方が2通りで,全ての場合の数は6通りです.

\mathrm{A}\cap\mathrm{B}は「上面が赤で,裏面が青である事象」です.これはカードTが赤を上向きにして机に置かれた場合にしかありえませんから1通り.よって,

P(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})=\dfrac{1}{6}

となります.また,\mathrm{A}はそのまま「上面が赤である事象」です.これはカードSの裏と表の2通りと,カードTが赤を上向きにして机に置かれた1通りの合わせて3通り.よって,

P(\mathrm{A})=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}

です.したがって,求める確率は

P_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\dfrac{P(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})}{P(\mathrm{A})}=\dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{3}

となって,確かに初めの答えと一致しています.

補足

さて,公式を使うために公式に沿って丁寧に求めましたが,実はP(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})P(\mathrm{A})まで求める必要はありません.

公式の証明を読めば分かるように,

P_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\dfrac{n(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})}{n(\mathrm{A})}

ですから,実はn(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})n(\mathrm{A})さえ分かっていれば(2)の確率は求まります.

n(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})=1n(\mathrm{A})=3

でしたから,確かに,P_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\dfrac{1}{3}となりますね.

条件付き確率は少し慣れが必要なので,実際に問題を解いて感覚を身に付けてください.

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