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場合の数2|「順列nPk」の考え方と公式は超カンタン!

「場合の数」は全ての場合を数え上げることが大切で,そのためには樹形図を考えるのが最も基本的なのでした.

そして,樹形図を考えることで[和の法則]と[積の法則]は簡単に説明できることを,前回の記事で解説しました.

[積の法則]の最も簡単な応用は「順列」でしょう.

n個のものからr個選んで並べる場合の数」を\Pe{n}{r}で表しますが,このようにものを並べることを「順列」といいます.

「順列」はこれ自体でも大切ですが,のちに説明する「組み合わせ」を考えるためにも基本となります.

この記事では,順列の\Pe{n}{r}と階乗の記号n!について説明します.

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順列の考え方

次の問題を考えます.

1から9までのいずれかの数字が書かれた9枚のカードがある.ただし,どの2枚も同じ数字が書かれていないものとする.このとき,次の場合の数を求めよ.

  1. 9枚のカードから2枚を並べて整数を作る場合の数
  2. 9枚のカードから3枚を並べて整数を作る場合の数
  3. 9枚のカードからr枚を並べてr桁の整数を作る場合の数

[解答]

(1) 9枚のカードから2枚を選んで並べる場合の数を考えれば良いですね.

たとえば,1の位の数が”3″なら,10の位の数は”1,2,4,5,6,7,8,9″の8通りあるように,1の位の数のカードの選び方は1から9までの9通りあり,このそれぞれに10の位の数のカードの選び方は8通りあります.

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[積の法則]から,求める場合の数は

9\times 8=72

となります.

(2) 1では1の位の数と,10の位の数の選び方の場合の数を考えました.

このそれぞれに,100の位の数のカードの選び方は7通りあるので,[積の法則]から,求める場合の数は

9\times 8\times7=504

となります.

(3) (1),(2)の考え方と同様に,[積の法則]から,求める場合の数は

9\times8\times7\times\dots\times(10-r)

となります.

[解答終]

この問題のように,「いくつかのものから,いくつか選んで並べること」を「順列」といいます.

いまの問題で見たように,順列は樹形図を考えれば[積の法則]を使って計算できますね.

「いくつかのものから,いくつかを選んで並べること」を「順列」という.「順列」の場合の数は,[積の法則]から考えるのが基本である.

順列の公式

[順列の公式]について説明します.

順列の公式

[順列]は場合の数を考えるときによく現れるので,[順列]の場合の数には記号があります.

[順列の記号] n個のものからr個選んで並べる場合の数を\Pe{n}{r}で表す.ただし,\Pe{n}{0}=1とする.

たとえば,問題の(1),(2),(3)はそれぞれ\Pe{9}{2}\Pe{9}{3}\Pe{9}{r}ですね.

なお,\Pe{n}{r}のPは「順列」という意味の”Permutation”の頭文字”P”に由来します.

さて,問題と同じように樹形図を考えると,[積の法則]から\Pe{n}{r}は次のように式で表すことができます.

[順列の公式] nrを正の数とし,n\geqq rを満たすとする.このとき,

\Pe{n}{r}=n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)

である.

例えば,5個から3個選んで並べる場合の数は,

\Pe{5}{3}=5\times4\times3=60

となります.

[順列の公式]は樹形図から[積の法則]を考えれば簡単に分かる.

階乗

「順列」の記号\Pe{n}{r}に関して,特にn=rの場合には「階乗」の記号!があります.

[階乗] nを正の整数とする.1からnまでの整数全部の積をn!で表す.すなわち,

n!=n(n-1)(n-2)\dots2\cdot1

である.これを「nの階乗」という.また,0!=1とする.

つまり,\Pe{n}{n}=n!ですね.

ただし,n=0の場合には,例外的に0!=1と定めます.0!=1としておけば,階乗の記号!を使って\Pe{n}{r}を表す際に都合が良くなります.詳しくは後述します.

したがって,n!は「n個のものからn個選んで並べる場合の数」,すなわち「n個のものを並べる場合の数」を表します.

さて,\Pe{n}{r}は階乗の記号!を用いると,次のようにスッキリ表せます.

[順列と階乗] nを正の数,rを負でない整数とし,n\geqq rを満たすとする.このとき,

\Pe{n}{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}

が成り立つ.

これはr0<r<nを満たすときは,

\Pe{n}{r}=n(n-1)\dots(n-r+1)
=n(n-1)\dots(n-r+1)\times1
=n(n-1)\dots(n-r+1)\times\dfrac{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}
=\dfrac{n(n-1)\dots(n-r+1)(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}
=\dfrac{n(n-1)\dots2\cdot1}{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}
=\dfrac{n!}{(n-r)!}

であることから分かりますね.

要するに,\Pe{n}{r}=n(n-1)\dots(n-r+1)を階乗で表すためには,n!になるために足りない分の(n-r)!=(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1をかけたいわけですね.

ただし,ただ(n-r)!を勝手にかけるのは等しくないため,分母にも同じく(n-r)!をかけなければいけません.

これは\times1とすることに他ならず,\dfrac{(n-r)!}{(n-r)!}をかけることになるわけですね.

「階乗」は\Pe{n}{r}の特別な場合であるが,頻繁に用いられる.また,\Pe{n}{r}も階乗を用いて表せる.

nP0=1と0!=1と定義することの補足

細かい話になりますが,\Pe{n}{0}=10!=1と定義することについては,以下のように考えます.

nP0=1であること

\Pe{n}{r}を階乗を使って

\Pe{n}{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}

となることは,rが正の整数のときに

\Pe{n}{r}=n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)

が成り立つことから分かるのでした.

さて,これがr=0でも成り立っていて欲しいと思うのは当然ですね.とすると,

\Pe{n}{0}=\dfrac{n!}{(n-0)!}=1

となっていて欲しいわけで,このことから\Pe{n}{0}=1と定義すると都合が良いことになります.

0!=1であること

また,\Pe{n}{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}r=nの場合を考えると,

\Pe{n}{n}=\dfrac{n!}{(n-n)!}=\dfrac{n!}{0!}

が成り立っていて欲しいわけですね.

いま,階乗の定義から\Pe{n}{n}=n!ですから,これと併せると0!=1となっていると都合が良いことになります.

以上のことから,

0<r<nのときに\Pe{n}{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}が成り立つ

r=0,nのときに\Pe{n}{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}が成り立っていて欲しい

\Pe{n}{0}=10!=0とすると都合が良い

もとから\Pe{n}{0}=10!=0と定義しておこう!

ということになっているわけです.

 

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