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場合の数の基本2|順列の考え方と公式

  
   

場合の数の基本1|樹形図と和の法則,積の法則】の続きです.

前回の記事では,場合の数は樹形図を基本にして考えることを説明し,[和の法則]と[積の法則]についても説明しました.

この記事では,「順列」について説明します.

「順列」とは,簡単に言えば「いくつかのものを並べること」を言います.「順列」の場合の数は[積の法則]をもとにして求めることができます.

「順列」は場合の数を求める様々な場面で現れるので,確実に押さえてください.

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順列の考え方

次の問題を考えます.

[問] 1から9までのいずれかの数字が書かれた9枚のカードがある.ただし,どの2枚も同じ数字が書かれていないものとする.このとき,次の場合の数を求めよ.

  1. 9枚のカードから2枚使って2桁の整数を作る場合の数
  2. 9枚のカードから3枚使って3桁の整数を作る場合の数
  3. 9枚のカードからr枚使ってr桁の整数を作る場合の数

[解答]

1.9枚のカードから2枚を選んで並べる場合の数を考えれば良い.

1の位の数のカードの選び方は1から9までの9通りある.このそれぞれに,10の位の数のカードの選び方は8通りある(たとえば,1の位の数が”3″なら,10の位の数は”1,2,4,5,6,7,8,9″の8通りある).

よって,[積の法則]から,求める場合の数は9\times 8=72である.なお,樹形図は以下のようになる.

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2.1では1の位の数と,10の位の数の選び方の場合の数を考えた.

このそれぞれに,100の位の数のカードの選び方は7通りある(たとえば,1の位の数が”3″で10の位の数が”8″なら,10の位の数は”1,2,4,5,6,7,9″の7通りある).

よって,[積の法則]から,求める場合の数は9\times 8\times7=504である.なお,樹形図は上の樹形図をの左に,さらに枝分かれが増えたものになる.

3.1と2の考え方と同様に,[積の法則]から,求める場合の数は

9\times8\times7\times\dots\times(10-r)

である.

[解答終]

この問題のように,「いくつかのものから,いくつか選んで並べること」を「順列」といいます.この「順列」と次の記事で説明する「組み合わせ」を混同しないように注意してください.

「いくつかのものから,いくつかを選んで並べること」を「順列」という.「順列」の場合の数は,[積の法則]から考えるのが基本である.

順列の公式

[順列の公式]について説明します.

順列の公式

[順列]は場合の数を考えるときによく現れるので,[順列]の場合の数には記号があります.

[順列の記号] n個のものからr個選んで並べる場合の数を{}_{n}\mrm{P}_{r}で表す.ただし,{}_{n}\mrm{P}_{0}=1とする.

たとえば,[問]の1,2,3はそれぞれ{}_{9}\mrm{P}_{2}{}_{9}\mrm{P}_{3}{}_{9}\mrm{P}_{r}ですね.

なお,{}_{n}\mrm{P}_{r}のPは「順列」という意味の”Permutation”の頭文字”P”に由来します.

さて,[問]と同じように考えると,{}_{n}\mrm{P}_{r}は次のように式で表すことができます.

[順列の公式] rを正の整数なら,{}_{n}\mrm{P}_{r}=n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)である.

nを正の整数としたのは,r=0の場合には{}_{n}\mrm{P}_{r}=1ですから[順列の公式]が使えないからです.しかし,r=0の場合には{}_{n}\mrm{P}_{r}=1とすぐに分かりますから問題はありませんね.

例えば,5個から3個選んで並べる場合の数は,

{}_{5}\mrm{P}_{3}=5\times4\times3=60

となります.

なお,{}_{n}\mrm{P}_{r}の最後は\dots(n-r+1)であることに注意してください.\dots(n-r)ではありません.

たとえば,{}_{7}\mrm{P}_{2}=7\times6なので,最後の67-2+1ですね.もし分からなくなれば,このように具体的な数を当てはめて考えてみてください.

「順列」の場合の数は[問]に書いたような樹形図をイメージしてください.

[順列の公式]は[積の公式](すなわち,樹形図)を考えれば簡単に分かる.

階乗

「順列」に関して「階乗」というものがあります.

[階乗] nを正の整数とする.1からnまでの整数全部の積をn!で表す.すなわち,n!=n(n-1)(n-2)\dots2\cdot1である.これを「nの階乗」という.

{}_{n}\mrm{P}_{n}=n!ですね.

したがって,n!は「n個のものからn個選んで並べる場合の数」,すなわち「n個のものを並べる場合の数」を表します.

ここで,{}_{n}\mrm{P}_{r}が階乗を用いて次のように表せることは重要です.

[順列と階乗] {}_{n}\mrm{P}_{r}=\f{n!}{(n-r)!}が成り立つ.

これは

{}_{n}\mrm{P}_{r}=n(n-1)\dots(n-r+1)
=n(n-1)\dots(n-r+1)\times1
=n(n-1)\dots(n-r+1)\times\f{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}
=\f{n(n-1)\dots(n-r+1)(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}
=\f{n(n-1)\dots2\cdot1}{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}
=\f{n!}{(n-r)!}

であることから分かります.要するに,{}_{n}\mrm{P}_{r}=n(n-1)\dots(n-r+1)を階乗にするためには,n!になるために足りない分の(n-r)!=(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1をかけたいわけですね.

ただし,ただ(n-r)!を勝手にかけるのは等しくないため,\f{(n-r)!}{(n-r)!}をかけたということです.

「階乗」は{}_{n}\mrm{P}_{r}の特別な場合であるが,頻繁に用いられる.

補足

{}_{n}\mrm{P}_{0}=1とするのは,変に感じる人がいるかもしれません.

n個から0個選んで並べる場合の数は,何も並べんから0ちゃうの?」と思う人もいるかもしれません.

しかし,そう考えて{}_{n}\mrm{P}_{0}=0とすると,他のところで不都合が起きてしまいます.そのため,解釈としては「何も並べないという1通り」と解釈するべきなのです.

この説明では納得できない人もいることでしょうが,もう少し詳しい説明は次の「組み合わせ」の記事に譲ることとします.ともかく,{}_{n}\mrm{P}_{0}=1は定義ですから,当たり前にしておきたいところです.

場合の数の基本3|組み合わせの考え方と公式】に続きます.

最後までお読み頂き,ありがとうございました!

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