順列の場合の数ₙPₖ｜考え方と公式を樹形図から当たり前に

場合の数では「いくつかのモノを並べる総数」を求める問題は基本問題としてよく出題されます．

例えば，次のような問題はどう考えればよいでしょうか？

９枚のカード$\fbox{1}\fbox{2}\fbox{3}\dots\fbox{8}\fbox{9}$から

$\begin{align*}\fbox{1}\fbox{2},\ \fbox{1}\fbox{3},\ \dots,\ \fbox{3}\fbox{1},\ \dots\end{align*}$

のように$2$枚を選んで，並べる場合の数を求めよ．

一般にいくつかのモノを（一列に）並べることを順列といいます．

順列は場合の数の中で最も基本的なもののひとつなので，考え方から理解しておきましょう．

この記事では，

順列の考え方
順列の場合の数$\Pe{n}{k}$
階乗$n!$

を順に説明します．

「場合の数と確率」の一連の記事

順列の考え方
1. 具体例１（９枚のカードから２枚選んで並べる）
2. 具体例２（９枚のカードから３枚選んで並べる）
順列の場合の数$\Pe{n}{k}$の定義・性質
1. 順列の場合の数$\Pe{n}{k}$
2. 階乗$n!$

順列の考え方

まずは冒頭の問題を考えましょう．

具体例１（９枚のカードから２枚選んで並べる）

９枚のカード$\fbox{1}\fbox{2}\fbox{3}\dots\fbox{8}\fbox{9}$から２枚選んで並べる場合の数を求めよ．

場合の数の基本は樹形図を考えてからの数え上げでしたね．最初なので丁寧に考えましょう．

９枚のカード$\fbox{1}\fbox{2}\fbox{3}\dots\fbox{8}\fbox{9}$で２桁の整数を作る場合の数を求めれば良い．

たとえば，１の位の数が$\fbox{1}$なら，１０の位の数は$\fbox{1}$以外の８通りある．

１の位の数が$\fbox{1}$でなくても同様に，それぞれの場合で１０の位の数は８通りある．

よって，以上の樹形図から，求める場合の数は$9\times 8=72$である．

ポイントは１０の位の数としてどの数を持ってきても，１の位の数は８通りあるという点ですね．

具体例２（９枚のカードから３枚選んで並べる）

９枚のカード$\fbox{1}\fbox{2}\fbox{3}\dots\fbox{8}\fbox{9}$から３枚選んで並べる場合の数を求めよ．

状況は同じですが，今度は３枚のカードを並べることを考えます．

上の問題で考えた順列に加えて，１００の位の数のカードを加えて考えればよい．

１の位の数，１０の位の数のカードを選ぶと，１００の位の数の選び方は７通りある．

よって，同様に樹形図を考えて，求める場合の数は$9\times 8\times7=504$である．

順列の場合の数$\Pe{n}{k}$の定義・性質

一般に，モノを（一列に）並べることを順列といいます．

上の具体例の考え方を一般化すると，順列の場合の数は次のように求めることができますね．

正の整数$n$, $k$は$k\leqq n$を満たすとする．このとき，$n$個のものから$k$個選んで並べる場合の数は

$\begin{align*}n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)\end{align*}$

である．

順列の場合の数$\Pe{n}{k}$

この順列はよく現れるので次のように記号$\Pe{n}{k}$を定めましょう．

$n$個のものから$k$個選んで並べる場合の数を$\Pe{n}{k}$で表す．すなわち，

$\begin{align*}\Pe{n}{k}=n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)\end{align*}$

である．また，$k=0$のときは$\Pe{n}{0}=1$と定める．

$\Pe{n}{k}$の$\mrm{P}$は順列を意味する“Permutation”の頭文字“P”に由来します．

例えば，

上の具体例１の「異なる９枚のカードから２枚選んで並べる場合の数」は$\Pe{9}{2}$
上の具体例２の「異なる９枚のカードから３枚選んで並べる場合の数は$\Pe{9}{3}$

ですね．

他にも，例えば異なる５枚のカードから３個を選んで並べる場合の数は$\Pe{5}{3}$で，これは

$\begin{align*}\Pe{5}{3}=5\times4\times3=60\end{align*}$

と計算できますね．

階乗$n!$

順列の記号$\Pe{n}{k}$に関して，特に$k=n$の場合には階乗と呼ばれます．

$n$を正の整数とする．１から$n$までの整数全部の積を$n!$で表し，$n$の階乗 (factorial)という．すなわち，

$\begin{align*}n!=\Pe{n}{n}=n(n-1)(n-2)\dots2\cdot1\end{align*}$

である．また，$n=0$のときは$0!=1$と定める．

つまり，$n$の階乗$n!$は「$n$個のものを全部並べる場合の数」を表すわけですね．

さて，$\Pe{n}{k}$は階乗を用いると，次のようにスッキリ表せます．

正の整数$n$と負でない整数$k$は$k\leqq n$を満たすとする．このとき，

$\begin{align*}\Pe{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!}\end{align*}$

が成り立つ．

$0<k<n$のとき，$k=0$のとき，$k=n$のときに分けて示す．

［１］$k$が$0<k<n$を満たすとき，

$\begin{align*}\Pe{n}{k} &=n(n-1)\dots(n-k+1) \\&=n(n-1)\dots(n-k+1)\times\frac{(n-k)!}{(n-k)!} \\&=\frac{n(n-1)\dots(n-k+1)\times(n-k)\dots2\cdot1}{(n-k)!} \\&=\frac{n!}{(n-k)!}\end{align*}$

が成り立つ．

［２］$k=0$のときは$\Pe{n}{k}=1$と定義されており，

$\begin{align*}\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{n!}{n!}=1\end{align*}$

なので$\Pe{n}{k}=\dfrac{n!}{(n-k)!}$が成り立つ．

［３］$k=n$のときは$\Pe{n}{k}=n!$であり，$0!=1$と定義されているから

$\begin{align*}\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{n!}{0!}=n!\end{align*}$

なので$\Pe{n}{k}=\dfrac{n!}{(n-k)!}$が成り立つ．

［１］では$\Pe{n}{k}=n(n-1)\dots(n-k+1)$を階乗で表すために，分子が$n!$になるために足りない$(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\dots2\cdot1$を分母分子にかけているのがポイントですね．