無限級数の発散条件｜発散する無限級数の３つの具体例

数列$\{a_n\}$の項を初項から順に

$\begin{align*}a_1+a_2+a_3+\dots+a_n+\dots\end{align*}$

と無限に足していくとき，この和を$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$と表し，数列$\{a_n\}$の無限級数というのでした．

無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$のきちんとした定義は，初項から第$n$項までの和の極限$\lim\limits_{n\to\infty}(a_1+a_2+\dots+a_n)$でした．

前回の記事では無限級数の具体例として，一般項が$a_n=\dfrac{1}{2^n}$の数列の無限級数が

$\begin{align*}\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^n}+\dots=1\end{align*}$

と$1$に収束することをみましたが，無限級数はいつでも収束するとは限りません．むしろ発散する無限級数はたくさんあります．

一般には無限級数の収束・発散の判定は簡単とは限りませんが，一発で発散することが判定できる無限級数もあります．

この記事では

無限級数の基本の発散条件
発散する無限級数の具体例

を順に説明します．

「極限」の一連の記事

極限の基本
1. 1 lim(リミット)の意味は？極限の考え方
2. 2 「関数の極限」と「数列の極限」の２つの違い

無限級数

無限級数と数列の収束・発散
1. 無限級数が収束するときの数列の極限
2. 無限級数の発散条件
無限級数が収束しない例

無限級数と数列の収束・発散

無限級数の基本の発散条件の証明のためには次の定理が重要です．

無限級数が収束するときの数列の極限

数列$\{a_n\}$に対して，無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$が収束すれば，$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$が成り立つ．

無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$の第$n$項までの部分和を$S_n$とする．すなわち，

$\begin{align*}S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k\end{align*}$

とする．このとき，$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$であり，$S_{n}$, $S_{n-1}$はともに$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$に収束するから，

$\begin{align*}\lim_{n\to\infty}S_{n}=\lim_{n\to\infty}S_{n-1}\end{align*}$

が成り立つ．よって，

$\begin{align*}\lim_{n\to\infty}a_{n} &=\lim_{n\to\infty}(S_n-S_{n-1}) \\&=\lim_{n\to\infty}S_n-\lim_{n\to\infty}S_{n-1} =0\end{align*}$

が従う．

この証明でよく「$S_{n-1}$と$S_n$は同じとは限らないが，$\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}=\lim\limits_{n\to\infty}S_{n-1}$となるのはなぜか？」という質問を受けます．

そもそも極限というのは「どこに近付くか」ということを表すものであって，「何になるか」ではないことが大切です．つまり，$\lim\limits_{n\to\infty}S_n$は「$n$を大きくしていくときの$S_n$の『近付き先』」という意味なわけですね．

いま無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$が収束することから，$S_n$も$S_{n-1}$も同じ値に近付くので$\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}=\lim\limits_{n\to\infty}S_{n-1}$が成り立ちます．

無限級数の発散条件

この定理は対偶を考えて，次の形で用いることも多いです．

［無限級数の発散条件］０に収束しない数列$\{a_n\}$の無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$は発散する．

つまり，無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$をみたとき，数列$\{a_n\}$が０に収束していなければ，その瞬間に発散する無限級数であることが分かるわけですね．

$a_n$が$0$でないところを無限にさまよっていては，無限級数も収束しなさそうなことは直感的にも分かりますね．

無限級数が収束しない例

いくつかの発散する無限級数を考えましょう．

例１

一般項が$a_n=\dfrac{n}{n+1}$の数列$\{a_n\}$の無限級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$が発散することを示せ．

数列$\{a_n\}$の極限は

$\begin{align*}\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}} =\frac{1}{1+0} =1\end{align*}$

だから，数列$\{a_n\}$は$0$に収束しない．

よって，［無限級数の発散条件］から無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$は発散する．

十分大きい$n$に対しては$a_n\approx 1$ですから，この無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$はほとんど$1$の項を無限に足し続けることになります．

そう考えると確かにどこかの値に収束することはなさそうですね．

例２

一般項が$a_n=(-1)^n$の数列$\{a_n\}$の無限級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$が発散することを示せ．

問題の数列$\{a_n\}$は

$n$が奇数のとき$a_n=-1$
$n$が偶数のとき$a_n=1$

だから，数列$\{a_n\}$は$0$に収束しない．

よって，［無限級数の発散条件］から無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$は発散する．

実際に$a_n=(-1)^n$の初項から第$n$項までの部分和$S_n$を考えると，

$S_1=a_1=-1$
$S_2=a_1+a_2=0$
$S_3=a_1+a_2+a_3=-1$
$S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=0$
……

と$0$と$-1$を往復することが分かります．詳しく書けば，

$n$が偶数のとき，$S_n=-1+1-\dots+1=0$
$n$が奇数のとき，$S_n=-1+1-\dots-1=-1$

と部分和$S_n$は$0$と$-1$の間を行き来するので，無限級数$\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$は振動するということになります．

確かに無限級数$\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$が発散していることが分かりましたね．

例３

一般項が$a_n=\dfrac{1}{n}$の数列$\{a_n\}$の無限級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$が発散することを示せ．

この問題の$a_n$の極限がどうなるかを考えると

$\begin{align*}\lim_{n\to\infty} a_n =\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n}=0\end{align*}$

となっています．したがって，この問題では［無限級数の発散条件］を適用することはできません．

しかし，次のように発散することが証明できます．

任意の$k=1,2,\dots$に対して，$a_{2^k+1}$から$a_{2^{k+1}}$をまとめて足し合わせると

$\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}a_n =&\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\bra{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}+\bra{\frac{1}{5}+\dots+\frac{1}{8}} \\&+\bra{\frac{1}{9}+\dots+\frac{1}{16}}+\bra{\frac{1}{17}+\dots+\frac{1}{32}}+\dots \\>&\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\bra{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}+\bra{\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{8}} \\&+\bra{\frac{1}{16}+\dots+\frac{1}{16}}+\bra{\frac{1}{32}+\dots+\frac{1}{32}}+\dots \\=&\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots =\infty\end{align*}$

と発散することが分かる．

つまり，任意の$k=1,2,\dots$に対して

$\begin{align*}\frac{1}{2^k+1}+\frac{1}{2^k+2}+\dots+\frac{1}{2^{k+1}}>\frac{1}{2}\end{align*}$

となることを用いているわけですね．

積分を用いても発散することは証明できます（数学IIIの重要な基本問題です）が，少しテーマが変わるのでここでは省略します．

ここで「$\lim_{n\to\infty}a_n=0$なのに発散するのは［無限級数の発散条件］と矛盾してない？」と思う方もいらっしゃるかもしれません．

結論から言えば矛盾していません．もう一度［無限級数の発散条件］を確認してみましょう．

［無限級数の発散条件（再掲）］０に収束しない数列$\{a_n\}$の無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$は発散する．

［無限級数の発散条件］は$\lim\limits_{n\to\infty}a_n\neq0$のときの話であって，$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0$のときに無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$の発散・収束については何も言っていないということに注意してください．

そして，この例３の数列$\{a_n\}$は「$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$を満たすが，無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$が収束しない例」になっているわけですね．