【SPONSORED LINK】

場合の数7|二項定理を理解しよう!場合の数を使って導出!

前回の記事では,重複する場合の数を求める際には「重複度で割る」という重複組合せの考え方がとても便利であることを説明しました.

この重複組合せの考え方を使うと,(a+b)^nの展開公式である[二項定理]を導くことができます.

「組み合わせ」と「展開公式」が結びつくのは少し以外に思えるかもしれませんが,一度分かってしまえば展開公式が「重複組合せ」にしか見えなくなります(笑)

なお,この記事で説明する[二項定理]は2項a+bに関する(a+b)^nの展開公式ですが,のちの記事で説明するように項が増えた場合の展開公式として[多項定理]というものがあります.

その[多項定理]の記事でも同じく「重複組合せ」の考え方を使うので,この記事で「重複組合せ」の考え方を習得してください.

【SPONSORED LINK】

二項定理

最初に[二項定理]の内容を説明し,そのあとに考え方を説明します.

二項定理の内容

展開公式

    \begin{align*} &(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, \\&(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{align*}

は当たり前にしておきたい公式ですね.

さて,これら(a+b)^2(a+b)^3の指数部分をnとした以下のような(a+b)^nの展開公式を[二項定理]と言います.

[二項定理] 実数(複素数)abと正の整数nに対して,次の展開公式が成り立つ.

(a+b)^{n}=\Co{n}{0}a^{n}+\Co{n}{1}a^{n-1}b+\Co{n}{2}a^{n-2}b^2+\dots+\Co{n}{n-1}ab^{n-1}+\Co{n}{n}b^{n}

abは実数でも複素数でも構いません.

また,\Co{n}{0}=\Co{n}{n}=1なので,以下のようにa^nの係数とb^nの係数は1ですね.

    \begin{align*} (a+b)^{n}=a^{n}+\Co{n}{1}a^{n-1}b+\Co{n}{2}a^{n-2}b^2+\dots+\Co{n}{n-1}ab^{n-1}+b^{n} \end{align*}

また,この[二項定理]を用いて展開することを「二項展開」ということもあります.

具体例

さて,具体的なnで[二項定理]の様子を確認してみましょう.

n=1のとき,

    \begin{align*} &(a+b)^1=a+b, \\&\Co{1}{0}a+\Co{1}{1}b=a+b \end{align*}

ですから,確かに[二項定理](a+b)^1=\Co{1}{0}a+\Co{1}{1}bは正しいですね.

n=2のとき,

    \begin{align*} &(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, \\&\Co{2}{0}a^{2}+\Co{2}{1}ab+\Co{2}{2}b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} \end{align*}

ですから,確かに[二項定理](a+b)^2=\Co{2}{0}a^{2}+\Co{2}{1}ab+\Co{2}{2}b^{2}は正しいですね.

n=3のとき,

    \begin{align*} &(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}, \\&\Co{3}{0}a^{3}+\Co{3}{1}a^{2}b+\Co{3}{2}ab^{2}+\Co{3}{3}b^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} \end{align*}

ですから,確かに[二項定理](a+b)^3=\Co{3}{0}a^{3}+\Co{3}{1}a^{2}b+\Co{3}{2}ab^{2}+\Co{3}{3}b^{3}は正しいですね.

n=3程度なら[二項定理]を使わなくても頑張って展開すれば求めることができますが,[二項定理]が威力を発揮するのは指数nが大きくなったときです.

例えば,(a+b)^{7}を実際に頑張って展開しようとすると,かなり面倒な計算をすることになりますが,[二項定理]を使えば以下のように比較的簡単に展開することができます,

    \begin{align*} (a+b)^{7} =&\Co{7}{0}a^{7}+\Co{7}{1}a^{6}b+\Co{7}{2}a^{5}b^{2}+\dots+\Co{7}{7}b^{7} \\=&a^{7}+7a^{6}b+21a^{5}b^{2}+35a^{4}b^{3}+35a^{3}b^{4}+21a^{2}b^{5}+7ab^{6}+b^{7} \end{align*}

と比較的ずいぶん楽に展開することができます.

なお,次の記事で説明する[パスカルの三角形]を使えば,さらに簡単に足し算だけでこの展開公式が求まることも分かります.

二項定理はnが大きいほど,通常の展開に比べて便利になる.

二項定理の考え方

[重複組み合わせ]の考え方を用いて,[二項定理]を考えることができます.

n=2の場合

分配法則から,普通に展開するなら

    \begin{align*} (a+b)^2 =&(a+b)(a+b) \\=&a(a+b)+b(a+b) \\=&a^2+ab+ba+b^2 \end{align*}

ですね.こうみると,

  1. 第1項a^2(\boldsymbol{a}+b)(\boldsymbol{a}+b)の太字部分をかけてできたもの
  2. 第2項ab(\boldsymbol{a}+b)(a+\boldsymbol{b})を太字部分をかけてできたもの
  3. 第3項ba(a+\boldsymbol{b})(\boldsymbol{a}+b)を太字部分をかけてできたもの
  4. 第4項b^2(a+\boldsymbol{b})(a+\boldsymbol{b})を太字部分をかけてできたもの

であることが分かります.

つまり,2つのa+bからabを選ぶことによって,全ての項が表せるわけですね.

そして,このときab=baですから,(a+b)^{2}=a^2+2ab+b^2となります.

イメージとしては,abと書かれたボールが入った箱が2つ並んでおり,

  1. 左の箱からaを取り,右の箱からaをとるとa^{2}
  2. 左の箱からaを取り,右の箱からbをとるとab
  3. 左の箱からbを取り,右の箱からaをとるとba
  4. 左の箱からbを取り,右の箱からbをとるとb^{2}

と考えることができます.

n=4の場合

もう少しnを大きくしてn=4の場合を考えてみます.

    \begin{align*} (a+b)^4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) \end{align*}

です.ここで,n=2の場合と同じように,

  1. (\boldsymbol{a}+b)(\boldsymbol{a}+b)(\boldsymbol{a}+b)(\boldsymbol{a}+b)の太字部分をかけるとa^4
  2. (\boldsymbol{a}+b)(\boldsymbol{a}+b)(\boldsymbol{a}+b)(a+\boldsymbol{b})を太字部分をかけるとa^3b
  3. (\boldsymbol{a}+b)(\boldsymbol{a}+b)(a+\boldsymbol{b})(\boldsymbol{a}+b)を太字部分をかけるとa^2ba
  4. (\boldsymbol{a}+b)(\boldsymbol{a}+b)(a+\boldsymbol{b})(a+\boldsymbol{b})を太字部分をかけるとa^2b^2
  5. ……

と全部で2^4項,つまり16項できることが分かります.

また,このとき掛け合わされているabcの個数はいずれも4ですね.(たとえば,a^4aが4個,a^3baが3個とbが1個の合わせて4個)

つまり,4つのa+bからabを選ぶことによって,全ての項が表せるわけですね.例えば,(a+b)^4の4つの(a+b)のうちから

  • 3つでaを取り出し,
  • 1つのでbを取り出して

できる項はa^3bなので,「4つの(a+b)のうちから3つでaを取り出し,1つでbを取り出す場合の数」だけa^3bが出てくることになります.

4つのa+bのうちから1つbを取り出すものを選べば,3つaを取り出すものは決まるから,この場合の数は\Co{4}{1}となります.

以上より,(a+b)^4を展開すれば,a^3b\Co{4}{1}個出てくるので,a^3bの係数は\Co{4}{1}となります.

他の項,たとえばa^2b^2でも同様に,4つのa+bのうちから2つbを取り出すものを選べば,2つaを取り出すものは決まるから,この場合の数は\Co{4}{2}となりますから,(a+b)^4を展開すれば\Co{4}{1}a^3bが出てくることになります.

これをa^4a^3ba^2b^2ab^3b^4の全てで同様に考えることで,

    \begin{align*} (a+b)^n=\Co{4}{0}a^{4}+\Co{4}{1}a^{3}b+\Co{4}{2}a^{2}b^{2}+\Co{4}{3}ab^{3}+\Co{4}{4}b^{4} \end{align*}

が成り立ちます.

二項定理の証明

さて,今見た「二項定理の考え方」を使えば,同様に[二項定理]を証明できます.

[二項定理の証明]

(a+b)^nを展開すると,a^na^{n-1}ba^{n-2}b^2,……,b^nの項によって表される.

    \begin{align*} (a+b)^n=\underbrace{(a+b)(a+b)\dots(a+b)}_{n} \end{align*}

である.

a^{n-k}b^r (r=01,……,n)の係数を考える.

(a+b)^nn個のa+bのうちから,bを取り出すr個を選べば,aを取り出すn-r個が決まり,この場合の数は\Co{n}{r}となる.

よって,(a+b)^nを展開すればa^{n-r}b^rの係数は\Co{n}{r}である.

したがって,(a+b)^n

    \begin{align*} (a+b)^n=\Co{n}{0}a^{n}+\Co{n}{1}a^{n-1}b+\Co{n}{2}a^{n-2}b^2+\dots+\Co{n}{n-1}ab^{n-1}+\Co{n}{n}b^{n} \end{align*}

と展開できる.

[証明終]

係数\Co{n}{k}n個のa+bのうち,どのn-k個からaを取り出し,どのk個からbを取り出すかということを表している.

補足

いくつか補足しましょう.

二項係数

もともと\Co{n}{k}は「組み合わせ」から出てきたものですが,[二項定理]では係数として出てきます.

この意味で,\Co{n}{k}を二項係数ということも多いです.

[二項定理]から,二項係数に関する次の等式が成り立つことは有名なので知っておいて良いでしょう.

    \begin{align*} &2^n=\Co{n}{0}+\Co{n}{1}+\Co{n}{2}+\dots+\Co{n}{n-1}+\Co{n}{n}, \\&0=\Co{n}{0}-\Co{n}{1}+\Co{n}{2}-\dots+(-1)^{n-1}\Co{n}{n-1}+(-1)^{n}\Co{n}{n} \end{align*}

[二項定理]でa=b=1とすれば一つ目の等式が,a=1b=-1とすれば二つ目の等式が成り立つことが分かります.

二項係数の順番

二項係数については,\Co{7}{2}=\Co{7}{5}のように,一般に\Co{n}{r}=\Co{n}{n-r}が成り立つのでした.

そのため,[二項定理]

    \begin{align*} (a+b)^{n}=\Co{n}{0}a^{n}+\Co{n}{1}a^{n-1}b+\dots+\Co{n}{n-1}ab^{n-1}+\Co{n}{n}b^{n} \end{align*}

二項係数の順番を真逆にした以下の式でも正しいです.

    \begin{align*} (a+b)^{n}=\Co{n}{n}a^{n}+\Co{n}{n-1}a^{n-1}b+\dots+\Co{n}{1}ab^{n-1}+\Co{n}{0}b^{n} \end{align*}

使いやすい方を選びましょう.

「同じものを含む順列」を使った考え方

この記事では,「重複組合せ」を使って[二項定理]を考えましたが,「同じものを含む順列」を使っても導出することができます.

ak個とb\ell個の合わせてn文字を並べることを考えます.

このとき,abaabba\dotsという並びは

    \begin{align*} (a+b)^n=\underbrace{(a+b)(a+b)\dots(a+b)}_{n} \end{align*}

の右辺で,

  • 1つ目の(a+b)からa
  • 2つ目の(a+b)からb
  • 3つ目の(a+b)からa
  • 4つ目の(a+b)からa
  • 5つ目の(a+b)からa
  • ……

(a+b)からabをどう取り出したかに対応しています.

つまり,ak個とb\ell個の合わせてn文字の並べ方とa^{k}b^{n-k}の個数が一致することになります.

ak個とb\ell個の合わせてn文字を並べる場合の数は

    \begin{align*} \dfrac{n!}{k!\ell!}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}=\Co{n}{k} \end{align*}

となって,確かに[重複組合せ]の説明と同じくa^kb^{n-k}の係数が\Co{n}{k}であることが分かりましたね.

 

最後まで読んで頂きありがとうございました! YouTubeの授業動画もあります【授業をみてみる

SNSでもご購読できます。

コメントを残す

*

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください

ページ

トップへ

記事

一覧へ

オススメ

参考書

Twitterを

フォロー

TouTube

を見る