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場合の数3|実はカンタンな円順列と数珠順列の考え方

前回の記事では,例えば「ABCDEFの6文字から4文字選んで,『一列に』並べる場合の数」といったような,「n個のものからr個選んで並べる」という「順列」を説明しました.

普通の一列に並べる順列に対して,「ABCDEFの6文字から4文字選んで,『円状に』並べる場合の数」といったような,ものを円状に並べる場合の数を「円順列」といいます.

また,「円順列」では裏返しは区別しますが,ネックレスのように裏返して同じになるものを同じとみなす順列を「数珠順列」といいます.

円順列自体というより円順列の考え方は,場合の数や確率の分野ではよく現れる大切なものなので,単なる公式を覚えるのではなく考え方から理解するようにしてください.

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円順列

まずは「円順列」を考えます.

考え方

次の問題を考えます.

1から9までのいずれかの数字が書かれた9枚のカードがある.ただし,どの2枚も同じ数字が書かれていないものとする.このとき,次の場合の数を求めよ.

  1. 9枚をカードを一列に並べる場合の数を求めよ.
  2. 9枚のカードを円状に並べる場合の数を求めよ.ただし,回転して一致するものを同じものをみなす.

[解答]

(1) 一列に並べるので,「普通の順列」により求まる.

9枚のカードを並べる場合の数は9!=362880である.

(2)  (1)の一列に並べたもの(362880通り)の両端を繋いで円状にする.

この考え方により,

  • 123456789という一列の並びを円状にしたもの
  • 234567891という一列の並びを円状にしたもの
  • 345678912という一列の並びを円状にしたもの
  • ……
  • 912345678という一列の並びを円状にしたもの

は全て同じものになる.

このように,一列に並べた362880通りを円状にすると,9通りずつ同じものがある.

したがって,求める場合の数は

362880\div9=40320

である.

[解答終]

2は次のような考え方もできます.

[別解]

(2) 最初に1と書かれたカードをおき,残りの8ヶ所に残りの8枚を並べる.最初に1を固定しているので,残りの8枚を並べると全て異なる順列となる.

よって,8枚を並べる順列が求める場合の数だから,求める場合の数は362880\div9=40320である.

[別解終]

このように,「ものを円状に並べること」を円順列といいます.

円順列では,

  • まず一列に並べ,円状にした時に重複分で割る
  • 1つを固定しておき,残りを並べる

の2通りの考え方がある.

公式

[解答]と[別解]と同じように考えると,次の[円順列の公式]が分かります.

[円順列の公式] n個のものを円状に並べる場合の数は(n-1)!通りである.

[解答]の考え方によると,n個のものを一列に並べる場合の数はn!であり,これらを円状にするとn個ずつ重複するので,

n!\div n=(n-1)!

となりますね.

また,[別解]の考え方によると,n個のうちの1つを固定して,残りの(n-1)!を並べるので(n-1)!通りとなります.

円順列は一列に並べたときとは異なる.一列に並べて重複分で割るにせよ,最初に一枚固定して重複を出てこないようにするにせよ,重複を消しているイメージが大切である.

数珠順列

次に,数珠(じゅず)順列を考えます.

考え方

さて,先ほどの問題に,次の1問を追加しましょう.

1から9までのいずれかの数字が書かれた9枚のカードを円状に並べる場合の数を求めよ.ただし,回転して一致するものと,裏返して一致するものを同じものとみなす.

普通の円順列との違いは,裏返して同じものも同じとみなす点です.

[解答]

円順列において,裏返して一致する同じものを同じとみなすので,円順列の

(9-1)!=40320

通りの中に裏返して同じものが2通りずつある.

よって,求める場合の数は

40320\div2=20160

である.

[解答終]

このように,「円順列」で裏返して一致するものを同じとみなす順列を「数珠順列」といいます.

まず円順列で並べてから,重複分を割る考え方ですね.

公式

[解答]と同じように考えると,次の[数珠順列の公式]が分かります.

[数珠順列の公式] n個のものの数珠順列の場合の数は\dfrac{(n-1)!}{2}である.

n個のものの円順列の場合の数は(n-1)!であり,これらの時計回りと反時計回りで2個ずつ重複するので,

n!\div 2=\dfrac{(n-1)!}{2}

となりますね.

数珠順列は円順列で裏返して一致するものが2通りずつあることから,(円順列)÷2=(数珠順列)となる.

 

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