運動の基本３｜等加速度直線運動の３つの公式

前回の記事で，「加速度」とは「速度がどれだけ変化するか」を表すものであることを具体例を使って説明し，「等加速度直線運動」とは「加速度が一定の運動」のことであるということも説明しました．

等速直線運動では，速度を$v$，変位を$x$，時刻を$t$とすると$x=vt$が成り立つように，等加速度直線運動でも$v$, $x$, $t$の間に成り立つ３つの関係式があります．

この３つの関係式を用いることで，等加速度直線運動を考えることができます．

一連の記事はこちら

【運動の基本１｜「速さ」と「速度」の違いと等速直線運動】
【運動の基本２｜加速度と等加速度直線運動】
【運動の基本３｜等加速度直線運動の３つの公式】←今の記事
【運動の基本４｜重力加速度とは？等加速度直線運動の具体例】
【運動の基本５｜向きの決め方，向きを変えるとどうなるか】

等加速度直線運動の３つの公式
等加速度直線運動の公式の導出

等加速度直線運動の３つの公式

最初に，等加速度直線運動に関する３つの公式を書いてしまいます．

[等加速度直線運動の公式]　加速度$a$で等加速度直線運動をしている物体を考える．物体が時刻0に速度$v_0$の運動をしているとすると，時刻$t$での変位$x$，速度$v$に関して次の式が成り立つ．

$\begin{align*} \begin{cases} v=v_{0}+at\\ x=v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^2\\ v^2-{v_0}^2=2ax \end{cases} \end{align*}$

これらの公式は等加速度直線運動の命とも言えるような非常に重要な式であり，これらの公式は当然のように使えるようになっている必要があります．

なお，ポイントとしては，それぞれ

$v$と$t$の関係式
$x$と$t$の関係式
$v$と$x$の関係式

なので，「$v$が分かっていて$t$が欲しいときには１つ目の公式を使う」といったように，「何が分かっていて，何が欲しいのか」を意識できていれば，どの公式を使うかは自然に見えてきます．

等加速度直線運動の公式の導出

[等加速度直線運動の公式]を導出します．

公式1

公式$v=v_0+at$を導出しますが，この公式は加速度が理解できていれば簡単に導出することができます．

加速度とは「単位時間ごとにどれだけ速度が増加するのか」ということを表すものでした．

つまり，加速度が$a$であるとは，「時間が1経つごとに，加速度が$+a$される」ということでしたから，「時間が$t$経つと，速度が$at$増加する」ということになります．

いま，時間0で速度が$v_0$でしたから，加速度$a$の物体Aは時間$t$後には速度が$v_0+at$になります．

よって，公式$v=v_0+at$が成り立ちます．

時刻0の初速度に時間$t$の間に加速した分の速度を加えることで，時刻$t$の速度が求まる．

公式2

公式$x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2$は上で導出した公式$v=v_0+at$を利用して導きます．

まず，時間$t$を$n$分割した時間幅$\varDelta{t}=\dfrac{t}{n}$を用意します．

時刻0での物体の速度は$v_0$なので，$\varDelta{t}$が微小なら，時刻0から時刻$\varDelta{t}$の間の速度はほぼ$v_0$といえます．

よって，この間に進む距離はほぼ$v_0\times\Delta t$なので，下図の$vt$平面上の長方形の面積だけ移動しているとみなせます．

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時刻$\varDelta{t}$での物体の速度は$v_0+a\varDelta{t}$なので，$\varDelta{t}$が微小なら，時刻$\varDelta{t}$から時刻$2\varDelta{t}$の間の速度はほぼ$v_0+a\varDelta{t}$といえます．

よって，この間に進む距離はほぼ$(v_0+a\varDelta{t})\times\varDelta{t}$なので，下図の$vt$平面上の長方形の面積だけ移動しているとみなせます．

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時刻$2\varDelta{t}$での物体の速度は$v_0+2a\varDelta{t}$なので，$\varDelta{t}$が微小なら，時刻$2\varDelta{t}$から時刻$3\varDelta{t}$の間の速度はほぼ$v_0+2a\varDelta{t}$といえます．

よって，この間に進む距離はほぼ$(v_0+2a\varDelta{t})\times\varDelta{t}$なので，下図の$vt$平面上の長方形の面積だけ移動しているとみなせます．

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これをずっと続けていくと，時刻0から時刻$t$までに進む距離は，下図の$vt$平面上の長方形の面積だけ移動しているとみなせます．

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この面積は

$\begin{align*} v_0\varDelta{t}+(v_0+a\varDelta{t})\varDelta{t}+(v_0+2a\varDelta{t})\varDelta{t}+\dots+(v_0+(n-1)a\varDelta{t})\varDelta{t}\quad\dots(*) \end{align*}$

です．

しかし，$(*)$はあくまで変位$x$の近似でしかなく，厳密に変位$x$が求まったわけではありません．

ここで，$\varDelta{t}$をどんどん小さくしていけば，近似との誤差はどんどん小さくなります．

そこで，$\varDelta{t}$を0に近づけると，長方形は無限に細くなり，長方形の面積の和は限りなく下図の台形の面積に近付きます．

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よって，この台形の面積は時刻0から時刻$t$の間の変位$x$となります．

この台形の面積は

$\begin{align*} \dfrac{1}{2}\{v_0+(v_0+at)\}t=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2 \end{align*}$

なので，公式

$\begin{align*} x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2 \end{align*}$

が得られました．

なお，速度が負の場合には，物体は逆向きに進み，変位$x$は負と考えます．

物理ではいまのような「近似で考える」ということはよくあり，近似による考え方を知っておくことは大切です．

なお，この説明を厳密にきっちりやろうとすると，数学の「区分求積法」の考え方

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\varDelta{t}\sum_{k=1}^{n}(v_0+ak\varDelta{t}) =&\int_{0}^{t}(v_{0}+at')\,dt' \\=&v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^2 \end{align*}$

が必要になりますが，ここでは触れません．

$vt$グラフの面積は変位を表す．

公式3

公式$v^2-{v_0}^2=2ax$は上の２つの公式から得られます．

$v=v_0+at$は$t$と$v$の関係式
$x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2$は$t$と$x$の関係式

なので，$t$を消去すれば$v$と$x$の関係式が得られますね．

公式$v=v_0+at$は$t$について解くと，$t=\dfrac{v-v_0}{a}$となり，この$t$を公式$x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2$に代入すれば，

$\begin{align*} x =&v_0\times\frac{v-v_0}{a}+\frac{1}{2}a\times\bra{\frac{v-v_0}{a}}^{2} \\=&\frac{vv_0-{v_0}^2}{a}+\frac{v^2-2vv_0+{v_0}^2}{2a} \\=&\frac{\bra{2vv_0-2{v_0}^2}+\bra{v^2-2vv_0+{v_0}^2}}{2a} \\=&\frac{v^2-{v_0}^2}{2a} \end{align*}$