運動の基本３｜等加速度直線運動の３つの公式

【運動の基本２｜加速度と等加速度直線運動】の続きです．

前回の記事で「加速度」について具体例を使って説明し，「等加速度直線運動」とは「加速度が一定の運動」のことであるということも説明しました．

等加速度運動を理解するときには，「速度 $v$ 」，「位置 $x$ 」，「時刻 $t$ 」に関する3つの公式が非常に重要な役割を果たします．

この記事では等加速度直線運動を理解するための3式について説明します．

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1 等加速度直線運動の3つの公式
2 等加速度直線運動の公式の導出

等加速度直線運動の3つの公式

最初に，等加速度直線運動に関する3つの公式を書いてしまいます．

[等加速度直線運動の公式]　物体Aが加速度 $a$ で等加速度直線運動をしているとする．このとき，時刻 $0$ に位置 $x_0$ で速度 $v_0$ の運動をしているとすると，時刻 $t$ での位置 $x$ ， $v$ に関して次の式が成り立つ．

$\begin{cases} v=v_0+at\\ x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2\\ v^2-{v_0}^2=2 ax\end{cases}$

これらの公式は等加速度直線運動の命とも言えるような非常に重要な式であり，これらの公式は当然のように使えるようになっている必要があります．

等加速度直線運動の公式の導出

[等加速度直線運動の公式]を導出します．

その1

まず，公式 $v=v_0+at$ を導出しますが，この公式は加速度が理解できていれば簡単に導出することができます．

加速度とは，単位時間ごとにどれだけ速度が増加するのか，ということを表すのでした．つまり，加速度が $a$ であるということは，「時間が $t$ 経つと速度が $at$ 増加する」ということです．

いま，時間 $0$ で速度が $v_0$ だったのですから，加速度 $a$ の物体Aは時間 $t$ 後には速度が $v_0+at$ になっています．

よって，公式 $v=v_0+at$ が成り立ちます．

その2

次に，公式 $x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2$ を導出しますが，これは上で導出した公式 $v=v_0+at$ を利用して導出します．

まず， $t$ を $n$ 分割して微小時間 $\Delta t$ を用意します．つまり， $n$ は正の整数で $\Delta t=\dfrac{t}{n}$ とします．

時刻 $0$ での物体Aの速度は $v_0$ です．いま $\Delta t$ は微小なので，時刻 $0$ から時刻 $\Delta$ の間の速度はほぼ $v_0$ です．よって，この間に進む距離はほぼ $v_0\times\Delta t$ です．

時刻 $\Delta t$ での物体Aの速度は $v_0+a\Delta t$ です．いま $\Delta t$ は微小なので，時刻 $\Delta$ から時刻 $2\Delta t$ の間の速度はほぼ $v_0+a\Delta t$ です．よって，この間に進む距離はほぼ $(v_0+a\Delta)\times\Delta t$ です．

時刻 $2\Delta t$ での物体Aの速度は $v_0+2a\Delta t$ です．いま $\Delta t$ は微小なので，時刻 $2\Delta$ から時刻 $3\Delta t$ の間の速度はほぼ $v_0+2a\Delta t$ です．よって，この間に進む距離はほぼ $(v_0+2a\Delta)\times\Delta t$ です．

これをずっと続けていくと，時刻 $0$ から時刻 $t$ までに進む距離はほぼ

$v_0\times\Delta t$
$+(v_0+a\Delta)\times\Delta t$
$+(v_0+2a\Delta)\times\Delta t$
$\vdots$
$+(v_0+(n-1)a\Delta)\times\Delta t\quad\dots(*)$

です．

さて，この和 $(*)$ を図で表すと図の斜線部の面積になります．

この図は時間，速さにとらわれず，単に面積を表すとして考える方が分かりやすいかも知れません．

$v_0\times\Delta t$ は1番左の長方形の面積， $(v_0+a\Delta)\times\Delta t$ は左から2番目の長方形の面積， $(v_0+2a\Delta)\times\Delta t$ は左から3番目の長方形の面積，……， $(v_0+(n-1)a\Delta)\times\Delta t$ は一番右の長方形の面積ですから，この長方形の面積は確かに和 $(*)$ と一致していることが分かります．

ですが， $(*)$ はあくまで近似和にすぎません．では，どうすれば近似でない式が出るでしょうか？いま，微小時間 $\Delta t$ を考えましたが，この微小時間が小さければ小さいほど，もちろん誤差は小さくなります．

そこで， $\Delta t$ を $0$ に近づけると，最初の図の長方形は無限に細くなり，限りなく台形のようになります．

すなわち，図の台形の面積が時刻 $0$ から時刻 $t$ までに進む距離です．この台形の面積は，

$\dfrac{1}{2}\{v_0+(v_0+at)\}t=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2$

となります．これが時刻 $0$ から時刻 $t$ までに進んだ距離 $x$ だったので，公式

$x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2$

が得られました．

もしかすると，少し厳密性に欠ける気がする人もいるかもしれません．実はその感覚は正しく，これをきっちりやろうとすると積分の知識が必要です．(具体的には， $v=v_0+at$ を $0$ から $t$ で積分する)

しかし，高校物理では積分は範囲外となっているので，このように説明するしかないのです．

積分の知識で式変形だけで導出するよりも，上のような説明の方が直感的な理解をするためには有効です．そもそも，近似和は積分の本質ですから，この考え方を理解しておくことも大切です．

この手の論法は物理では多く登場しますから，知っておいて時間の無駄になることはありません．

その3

最後に，公式 $v^2-{v_0}^2=2ax$ を導出しますが，これは上の2つの公式が得られていれば簡単に導けます．

というのは，公式 $v=v_0+at$ は $t$ について解くと， $t=\dfrac{v-v_0}{a}$ となり，この $t$ を公式 $x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2$ に代入すれば，

$x=v_0\times\dfrac{v-v_0}{a}+\dfrac{1}{2}a\times\left(\dfrac{v-v_0}{a}\right)^{2}$
$=\dfrac{vv_0-{v_0}^2}{a}+\dfrac{v^2-2vv_0+{v_0}^2}{2a}$
$=\dfrac{\left(2vv_0-2{v_0}^2\right)+\left(v^2-2vv_0+{v_0}^2\right)}{2a}$
$=\dfrac{v^2-{v_0}^2}{2a}$

となります．この両辺に $2a$ をかければ，公式 $v^2-{v_0}^2=2ax$ が得られます．

この3つ目の公式の直観的な解釈は難しようで，この公式の直感的解釈について書いてあるモノを私は見たことがありません．

もし，3つ目の公式の直観的な解釈を御存じの方がいらっしゃれば，ご教示頂けると幸いです．

【運動の基本４｜等加速度直線運動の３つの公式の具体例】に続きます．

最後まで読んで頂きありがとうございました！ YouTubeの授業動画もあります【授業をみてみる】

はりより:

2018年6月5日 1:04 PM

③の証明の式、 $2a$ を分母としてるやつですが、間の符号は $-$ ではなくて $+$ では？
そのままだと、 $2vv_{0}$ が消えません。

返信
1. yama-taku より:
  
  2018年6月6日 12:22 AM
  
  ご指摘をありがとうございます．
  ご指摘の通り，途中で $+$ が $-$ に化けていますね．
  修正しました．
  
  返信

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