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運動の基本3|等加速度直線運動の3つの公式

前回の記事で,「加速度」とは「速度がどれだけ変化するか」を表すものであることを具体例を使って説明し,「等加速度直線運動」とは「加速度が一定の運動」のことであるということも説明しました.

等速直線運動では,速度をv,変位をx,時刻をtとするとx=vtが成り立つように,等加速度直線運動でもv, x, tの間に成り立つ3つの関係式があります.

この3つの関係式を用いることで,等加速度直線運動を考えることができます.

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等加速度直線運動の3つの公式

最初に,等加速度直線運動に関する3つの公式を書いてしまいます.

[等加速度直線運動の公式] 加速度aで等加速度直線運動をしている物体を考える.物体が時刻0に速度v_0の運動をしているとすると,時刻tでの変位x,速度vに関して次の式が成り立つ.

\begin{align*} \begin{cases} v=v_{0}+at\\ x=v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^2\\ v^2-{v_0}^2=2ax \end{cases} \end{align*}

これらの公式は等加速度直線運動の命とも言えるような非常に重要な式であり,これらの公式は当然のように使えるようになっている必要があります.

なお,ポイントとしては,それぞれ

  • vtの関係式
  • xtの関係式
  • vxの関係式

なので,vが分かっていてtが欲しいときには1つ目の公式を使う」といったように,「何が分かっていて,何が欲しいのか」を意識できていれば,どの公式を使うかは自然に見えてきます.

等加速度直線運動の公式の導出

[等加速度直線運動の公式]を導出します.

公式1

公式v=v_0+atを導出しますが,この公式は加速度が理解できていれば簡単に導出することができます.

加速度とは「単位時間ごとにどれだけ速度が増加するのか」ということを表すものでした.

つまり,加速度がaであるとは,「時間が1経つごとに,加速度が+aされる」ということでしたから,「時間がt経つと,速度がat増加する」ということになります.

いま,時間0で速度がv_0でしたから,加速度aの物体Aは時間t後には速度がv_0+atになります.

よって,公式v=v_0+atが成り立ちます.

時刻0の初速度に時間tの間に加速した分の速度を加えることで,時刻tの速度が求まる.

公式2

公式x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2は上で導出した公式v=v_0+atを利用して導きます.

まず,時間tn分割した時間幅\varDelta{t}=\dfrac{t}{n}を用意します.

時刻0での物体の速度はv_0なので,\varDelta{t}が微小なら,時刻0から時刻\varDelta{t}の間の速度はほぼv_0といえます.

よって,この間に進む距離はほぼv_0\times\Delta tなので,下図のvt平面上の長方形の面積だけ移動しているとみなせます.

Rendered by QuickLaTeX.com

時刻\varDelta{t}での物体の速度はv_0+a\varDelta{t}なので,\varDelta{t}が微小なら,時刻\varDelta{t}から時刻2\varDelta{t}の間の速度はほぼv_0+a\varDelta{t}といえます.

よって,この間に進む距離はほぼ(v_0+a\varDelta{t})\times\varDelta{t}なので,下図のvt平面上の長方形の面積だけ移動しているとみなせます.

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時刻2\varDelta{t}での物体の速度はv_0+2a\varDelta{t}なので,\varDelta{t}が微小なら,時刻2\varDelta{t}から時刻3\varDelta{t}の間の速度はほぼv_0+2a\varDelta{t}といえます.

よって,この間に進む距離はほぼ(v_0+2a\varDelta{t})\times\varDelta{t}なので,下図のvt平面上の長方形の面積だけ移動しているとみなせます.

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これをずっと続けていくと,時刻0から時刻tまでに進む距離は,下図のvt平面上の長方形の面積だけ移動しているとみなせます.

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この面積は

\begin{align*} v_0\varDelta{t}+(v_0+a\varDelta{t})\varDelta{t}+(v_0+2a\varDelta{t})\varDelta{t}+\dots+(v_0+(n-1)a\varDelta{t})\varDelta{t}\quad\dots(*) \end{align*}

です.

しかし,(*)はあくまで変位xの近似でしかなく,厳密に変位xが求まったわけではありません.

ここで,\varDelta{t}をどんどん小さくしていけば,近似との誤差はどんどん小さくなります.

そこで,\varDelta{t}を0に近づけると,長方形は無限に細くなり,長方形の面積の和は限りなく下図の台形の面積に近付きます.

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よって,この台形の面積は時刻0から時刻tの間の変位xとなります.

この台形の面積は

\begin{align*} \dfrac{1}{2}\{v_0+(v_0+at)\}t=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2 \end{align*}

なので,公式

\begin{align*} x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2 \end{align*}

が得られました.

なお,速度が負の場合には,物体は逆向きに進み,変位xは負と考えます.

物理ではいまのような「近似で考える」ということはよくあり,近似による考え方を知っておくことは大切です.

なお,この説明を厳密にきっちりやろうとすると,数学の「区分求積法」の考え方

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\varDelta{t}\sum_{k=1}^{n}(v_0+ak\varDelta{t}) =&\int_{0}^{t}(v_{0}+at')\,dt' \\=&v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^2 \end{align*}

が必要になりますが,ここでは触れません.

vtグラフの面積は変位を表す.

公式3

公式v^2-{v_0}^2=2axは上の2つの公式から得られます.

  • v=v_0+attvの関係式
  • x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2txの関係式

なので,tを消去すればvxの関係式が得られますね.

公式v=v_0+attについて解くと,t=\dfrac{v-v_0}{a}となり,このtを公式x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2に代入すれば,

\begin{align*} x =&v_0\times\frac{v-v_0}{a}+\frac{1}{2}a\times\bra{\frac{v-v_0}{a}}^{2} \\=&\frac{vv_0-{v_0}^2}{a}+\frac{v^2-2vv_0+{v_0}^2}{2a} \\=&\frac{\bra{2vv_0-2{v_0}^2}+\bra{v^2-2vv_0+{v_0}^2}}{2a} \\=&\frac{v^2-{v_0}^2}{2a} \end{align*}

となります.

よって,この両辺に2aをかけて,公式v^2-{v_0}^2=2axが得られます.

ただ,この3つ目の公式の直観的な解釈は難しようで,この公式の直感的解釈について書いてあるモノを私は見たことがありません.

もし,3つ目の公式の直観的な解釈をご存知の方がいらっしゃれば,ご教示頂けると幸いです.

最後まで読んで下さってありがとうございました!

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コメント

  1. はり より:

    ③の証明の式、2aを分母としてるやつですが、間の符号は-ではなくて+では?
    そのままだと、2vv_{0}が消えません。

    • yama-taku より:

      ご指摘をありがとうございます.
      ご指摘の通り,途中で+-に化けていますね.
      修正しました.

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