ワンステップ数学

ワンステップ数学5|微分不可能な例と直感的な理解

xy平面上のグラフの接線の傾き考えるときには,微分係数を求めることになります.また,関数の増減を考える際に導関数を用いることは最も素朴な方法です.

【参考記事:微分の基本1|微分係数の定義と図形的意味,接線の定義
【参考記事:微分の基本4|関数の増減を調べる方法,増減表の書き方

このように,「微分」は関数の性質を調べるために非常な重要な役割を果たしますが,いつでも微分可能であるとは限りません.

「微分可能でないこと」を「微分不可能」と言いますが,この記事ではどのような場合に微分不可能となるのかを説明します.

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ワンステップ数学4|1と0.999……は本当に等しいのか

この記事では,“小数第1位以下で無限に9が続く数0.999……”と”1″が等しいのかどうかを考えます.

これを初めて聞いた人は「いやいや,どう見ても等しくないやろ」「等しそう」「うーむ,分からぬ……」と様々な考えが浮かぶと思います.

「無限級数」の知識がなければ”0.999\dots“の”\dots“の意味が曖昧なので,手放しで正しいとは言い難いのですが,実は”1=0.999\dots“は正しいです.

「マジでか……」と衝撃を受ける人もいるかもしれませんが,この記事を読んで「なるほど」と思ってもらいたいと思います.

途中からは「無限級数」の知識が必要になりますが,そこまでの話まででも雰囲気は掴んでもらえると思います.

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ワンステップ数学3|鳩の巣原理の基本と使い方

数学で重要な定理の一つに,「鳩の巣原理」というものがあります.「引き出し原理」「ディリクレ(Dirichlet)の箱入れ原理」ともいうこともあります.

耳慣れない名前の定理かもしれませんが,非常に簡単な定理で,内容を聞くと,

「うん,そらそうやろうな」

と思う人も多いことでしょう.

高校ではあまり積極的には習いませんが,大学受験の数学にも出ることがあり,適切に用いれば驚くべき威力を発揮します.

この記事では,「鳩の巣原理」の説明し,例を挙げて考えてみます.

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ワンステップ数学2|部分積分を使わずに楽に計算する方法

[この記事の最後には,解説動画があります]

不定積分\dint e^x\sin{x}\,dx\dint e^x\sin{x}\cos{x}\,dx部分積分を使って計算する方法が教科書にも載っており,よく知られています.

しかし,これらの問題は部分積分を何回も使う必­要があり,計算量が多くなりがちでミスしてしまうことがよくあります.特に,プラスマイナスの符号ミスがよくみられます.

そこで,部分積分を使わない計算量を減らすことができる計算方法を解説します.

方法としては,[積の微分公式]を使うわけですが,部分積分も積の微分公式も本質的には同じなのです.しかし,この記事で解説する[積の微分公式]による計算の方が見通しよく計算できます.

少し慣れが必要な方法なので無理に使う必要はありませんが,使える人は是非身に付けてください.

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ワンステップ数学1|「2直線の交点」の3パターンの解法

[この記事の最後には,解説動画があります]

次の問題は,教科書のベクトルの分野に載っている基本的な問題です.

[問] \tri{ABC}において,辺ABの中点をD,辺ACを2:1に内分する点をEとし,線分BE,CDの交点をFとする.このとき,\Ve{AF}\Ve{AB}\Ve{AC}を用いて表せ.

当然,ベクトルの分野に書かれている問題ですから,「ベクトルを用いた解法」を知っておくことは大切です.ただ,この問題はベクトルを用いない便利な方法で解くこともでき,この記事ではその便利な解法も紹介します.

ベクトルができないから便利な解法でカバーするのではなく,ベクトルを用いた解法をいつでも使えるようにしておき,その上で便利な解法を身につけてください.

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