場合の数4
組み合わせのₙCₖを考え方から基本性質まで攻略

場合の数と確率
場合の数と確率

前々回の記事では順列の場合の数について,「$n$個のものから$k$個選んで並べる場合の数」が

   \begin{align*}n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)\end{align*}

で計算でき,これを$\Pe{n}{k}$と表すことを説明しました.

場合の数の分野では順列と並んで重要なものに組み合わせがあります.組み合わせは「$n$個のものから$k$個選ぶ場合の数」をいい,これを$\Co{n}{k}$で表します.

例えば,次の問題を考えましょう.

9枚のカード$\fbox{1}\fbox{2}\fbox{3}\dots\fbox{8}\fbox{9}$を考える.

  1. これら9枚のカードから3枚選んで並べる場合の数を求めよ.
  2. これら9枚のカードから3枚選ぶ場合の数を求めよ.

1問目は順列の場合の数の問題で,2問目は組み合わせの場合の数の問題というわけですね.

このように順列の問題と組み合わせの問題を比べると

  • 選んだあとに並べるか
  • 選ぶだけで止めるか

というのが順列と組み合わせの違いであることが分かりますね.

この記事では,順列の場合の数をもとに

  • 組み合わせの考え方
  • $\Co{n}{k}$の求め方
  • $\Co{n}{k}$の基本公式

を順に説明します.

組み合わせの考え方

まずは組み合わせの場合の数を表す次の記号を導入しましょう.

$n$個のものから$k$個選ぶ場合の数を$\Co{n}{k}$で表す.また,$k=0$のときは$\Co{n}{0}=1$と定める.

たとえば,

  • 9枚のカード$\fbox{1}\fbox{2}\fbox{3}\dots\fbox{8}\fbox{9}$から3枚選ぶ場合の数は$\Co{9}{3}$
  • 色の違う7個のボールから3個選ぶ場合の数は$\Co{7}{3}$

というわけですね.

$\Co{n}{k}$の$\mrm{C}$は組み合わせという意味の“Combination”の頭文字“C”に由来します.

それでは,冒頭の組み合わせの問題を考えましょう.

9枚のカード$\fbox{1}\fbox{2}\fbox{3}\dots\fbox{8}\fbox{9}$から3枚選ぶ場合の数を求めよ.

考え方1

まずは

  • 組み合わせは「選ぶ」
  • 順列は「選んで並べる」

ということから,組み合わせで選びとったものを並べると順列になるという考え方で解いてみましょう.

問題の9枚のカード$\fbox{1}\fbox{2}\fbox{3}\dots\fbox{8}\fbox{9}$から3枚選ぶ場合の数は,組み合わせなので$\Co{9}{3}$通りある.

さらに,このときに選んだ3枚のカードを並べる場合の数は,選び方それぞれで$3!$通りある.

このように9枚のカード$\fbox{1}\fbox{2}\fbox{3}\dots\fbox{8}\fbox{9}$から3枚選んで並べれば,これは順列なので$\Pe{9}{3}$通りある.

よって,

   \begin{align*}\Co{9}{3}\times3!=\Pe{9}{3}\end{align*}

だから,求める場合の数$\Co{9}{3}$は

   \begin{align*}\Co{9}{3} =\frac{\Pe{9}{3}}{3!} =\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1} =84\end{align*}

である.よって,$84$通りである.

考え方2

順列を考えてから,場合の数で考えると重複する個数で割っても求められます.

このように9枚のカード$\fbox{1}\fbox{2}\fbox{3}\dots\fbox{8}\fbox{9}$から3枚選んで並べれば,これは順列なので$\Pe{9}{3}$通りある.

この順列のうち,例えば

  • $\fbox{1}\fbox{2}\fbox{3}$
  • $\fbox{1}\fbox{3}\fbox{2}$
  • $\fbox{2}\fbox{1}\fbox{3}$
  • $\fbox{2}\fbox{3}\fbox{1}$
  • $\fbox{3}\fbox{1}\fbox{2}$
  • $\fbox{3}\fbox{2}\fbox{1}$

の6つは順番を考えない組み合わせでは同じものである.

同様に$\Pe{9}{3}$通りの順列それぞれで順番を無視すれば,6通りずつ同じ組み合わせができあがる

したがって,求める場合の数は

   \begin{align*}\Pe{9}{3}\div6 =\frac{9\cdot8\cdot7}{6} =84\end{align*}

である.よって,$84$通りである.

重複で割るという考え方は前回の記事の円順列でも考えましたね.

場合の数3
実はカンタンな円順列・数珠順列の考え方
「一列に」並べる普通の順列に対して,「円状に」並べる順列を円順列といいます.さらに,「円状に」並べて裏返したものも同じとみなす順列を数珠順列といいます.この記事では,円順列・数珠順列を考え方から解説しています.

$\Co{n}{k}$の求め方

いまの1つ目の考え方と同じようにすれば,次の公式が得られます.

$0\leqq k\leqq n$をみたす整数$n$, $k$に対して,

   \begin{align*}\Co{n}{k}=\frac{\Pe{n}{k}}{k!}\end{align*}

が成り立つ.

$0<k\leqq n$のとき,「$n$個のものから$k$個選ぶ」+「選んだ$k$個を並べる」=「$n$個のものから$k$個選んで並べる」なので,

   \begin{align*}\Co{n}{k}\times k!=\Pe{n}{k}\end{align*}

が成り立ちますから,この両辺を$k!$で割ればいいですね.

$0!=1$, $\Co{n}{0}=1$, $\Pe{n}{0}=1$と定めていましたから,$k=0$の場合に成り立つことは明らかですね.

$\Co{n}{k}$の定義で$\Co{n}{0}=1$としたのは,この等式が$k=0$でも成り立っていて欲しいからだったわけです.

また,前々回の記事で

   \begin{align*}\Pe{n}{k}=&n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1) \\=&\frac{n!}{(n-k)!}\end{align*}

と表せることを説明しました.

場合の数3
実はカンタンな円順列・数珠順列の考え方
「一列に」並べる普通の順列に対して,「円状に」並べる順列を円順列といいます.さらに,「円状に」並べて裏返したものも同じとみなす順列を数珠順列といいます.この記事では,円順列・数珠順列を考え方から解説しています.

上の$\Co{n}{k}$の公式と併せると,次が成り立ちますね.

$0\leqq k\leqq n$をみたす整数$n$, $k$に対して,

   \begin{align*}\Co{n}{k}=\dfrac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)}{k!}=\dfrac{n!}{(n-k)!k!}\end{align*}

が成り立つ.

この公式を使えば,

  • $\Co{7}{2}=\dfrac{7\cdot6}{2\cdot1}=21$
  • $\Co{6}{4}=\dfrac{6\cdot5\cdot4\cdot3}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=15$
  • $\Co{4}{4}=\dfrac{4\cdot3\cdot2\cdot1}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=1$

と簡単に計算ができますね.

$\Co{n}{k}$の基本性質

例えば,次はどのように計算できるでしょうか?

$\Co{100}{97}$を計算せよ.

上の公式を使うと,分子も分母もかけられる数が多いので計算が面倒になりそうに思えるかもしれませんが,実はたくさん約分ができて次のように簡単に計算できます.

公式より$\Co{100}{97}$は

   \begin{align*}\Co{100}{97} =&\frac{100\cdot99\cdot98\cdot97\dots\cdot5\cdot4}{97\cdot96\cdot95\cdot\dots4\cdot3\cdot2\cdot1} \\=&\frac{100\cdot99\cdot98}{3\cdot2\cdot1} =161700\end{align*}

と計算できる.

$97\cdot96\cdot95\dots\cdot5\cdot4$の部分が約分されて簡単になっていますね.

さて,この計算途中で$\dfrac{100\cdot99\cdot98}{3\cdot2\cdot1}$となっていますが,これは$\Co{100}{3}$ですから$\Co{100}{97}=\Co{100}{3}$が成り立っていることが分かります.

実は一般に次が成り立ちます.

$0\leqq k\leqq n$をみたす整数$n$, $k$に対して,$\Co{n}{k}=\Co{n}{n-k}$が成り立つ.

$\Co{n}{k}=\dfrac{n!}{(n-k)!k!}$, $\Co{n}{n-k}=\dfrac{n!}{(n-(n-k))!(n-k)!}$だから

   \begin{align*}\Co{n}{n-k} =&\frac{n!}{\{n-(n-k)\}!(n-k)!} \\=&\frac{n!}{k!(n-k)!} \\=&\Co{n}{k}\end{align*}

が従う.

この公式を使うと,たとえば

  • $\Co{7}{5}=\Co{7}{2}$
  • $\Co{15}{10}=\Co{15}{5}$
  • $\Co{20}{17}=\Co{20}{3}$

と計算できるわけですね.

確かに20枚のカード$\fbox{1}\fbox{2}\fbox{3}\dots\fbox{19}\fbox{20}$から

  • 18枚を選ぶ場合の数$\Co{20}{18}$
  • 「選ばない」2枚を選ぶ場合の数$\Co{20}{2}$

は同じことですね.

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