無限級数a₁+a₂+a₃+……の考え方｜級数の収束を例題から理解する

例えば，等比数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots$ について，初項から順に項を

$\begin{align*}\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n}+\dots\end{align*}$

と無限に足し続けていくと，どんどん１に近付いていくことが分かります（このことはこの記事の中で説明します）．

このように，数列 ${a_{n}}$ について初項から順に無限に和をとっていくときの付き先を ${a_{n}}$ の無限級数といい， $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ で表します．

この記事では

数列の収束の復習
無限級数の定義と具体例

を順に説明します．

「極限」の一連の記事

極限の基本
1. 1 lim(リミット)の意味は？極限の考え方
2. 2 「関数の極限」と「数列の極限」の２つの違い

無限級数

数列の収束の復習
無限級数の定義と具体例
1. 無限級数の定義
2. 収束する無限級数の具体例

数列の収束の復習

無限級数をきちんと定義するには数列の極限が必要なので，定義を確認しましょう．

数列 ${a_{n}}$ において， $n$ を限りなく大きくするとき， $a_{n}$ がある一定の値 $α$ に限りなく近づくならば，

$\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\alpha\end{align*}$

または

$\begin{align*}a_n\to\alpha\quad(n\to\infty)\end{align*}$

などと表し，数列 ${a_{n}}$ は $α$ に収束するといい， $α$ を数列 ${a_{n}}$ の極限値という．

また，数列 ${a_{n}}$ が収束しないとき，数列 ${a_{n}}$ は発散するという．

簡単な例をいくつか挙げると，

$a_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ なら $lim_{n \to \infty} a_{n} = 1$
$a_{n} = n$ なら $lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$
$a_{n} = - n$ なら $lim_{n \to \infty} a_{n} = - \infty$
$a_{n} = (- 1)^{n}$ なら，数列 ${a_{n}}$ は振動する（発散する）

となりますね．

数列 ${a_{n}}$ が発散するが，正の無限大 $\infty$ にも負の無限大 $- \infty$ にも発散しないとき， ${a_{n}}$ は振動するというのでした．

無限級数の定義と具体例

それでは，無限級数の説明に移ります．

無限級数の定義

一般項 $a_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ の数列 ${a_{n}}$ を考えましょう．この数列は冒頭で考えた等比数列

$\begin{align*}\frac{1}{2},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{8},\ \frac{1}{16},\dots\end{align*}$

ですね．この数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ としましょう．具体的に計算すると

$S_{1} = \frac{1}{2}$
$S_{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$S_{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$
……

となりますね．このようにできた $S_{1}, S_{2}, S_{3}, \dots$ は数の並びなので ${S_{n}}$ も数列になっていますね．

この数列 ${S_{n}}$ で極限 $n \to \infty$ を考えたものは，初項から

$\begin{align*}a_1+a_2+a_3+\dots+a_n+\dots\end{align*}$

と無限に項を足していったものと考えることができます．

まさにこの考え方が無限級数で，きちんと定義を書くと次のようになります．

数列 ${a_{n}}$ に対して，初項から第 $n$ 項までの和

$\begin{align*}S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k(=a_1+a_2+\dots+a_n)\end{align*}$

を考える．このときの数列 ${S_{n}}$ の極限を $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ と表し，数列 ${a_{n}}$ の無限級数という．

一般項が $a_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ の等比数列 ${a_{n}}$ の場合，無限級数

$\begin{align*}\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n}+\dots\end{align*}$

を $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{k}}$ , $lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2^{k}}$ などと表すわけですね．

あくまで無限級数は極限なので，

極限 $lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ が存在するとき $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ は収束する
極限 $lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ が存在しないとき $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ は発散する

といいます．また，無限級数 $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ に対して，途中までの和 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ を部分和といいます．

収束する無限級数の具体例

一般項 $a_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ の等比数列 ${a_{n}}$ の無限級数 $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{k}}$ を求めよ．

結論から言えば，この級数は１となります．

のちの記事できちんと計算で求める方法を紹介しますが，ここでは直感的に図形の面積から求めてみましょう．

一辺の長さが１の正方形を用意すると， $a_{1} = \frac{1}{2}$ は下図の色がついた部分の面積です．

さらに， $a_{2} = \frac{1}{4}$ は下図の色がついた部分の面積です．

続いて， $a_{3} = \frac{1}{8}$ は下図の色がついた部分の面積です．

このように１辺の長さが１の正方形を

と区切っていくと，この正方形の面積は $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$ の極限であることが見てとれますね．

この正方形の面積は $1 \times 1 = 1$ ですから，

$\begin{align*}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}=1\end{align*}$

となることが分かります．

普通の極限と同じく無限級数も「足し合わせたときに近付く値」をいうのであって，実際にその値になるとは限らないことに注意しましょう．

いまの問題の無限級数 $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{k}}$ も限りなく１に「近付いていく」のであって，いつか１になるわけではありません．