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極限の基本2|「関数の極限」と「数列の極限」の2つの違い

あまり意識されないことですが,「関数の極限」と「数列の極限」の違いが分かっていないと間違えてしまう問題もあります.

例えば,

  • 数列a_n=\sin{\pi n}
  • 関数f(x)=\sin{\pi x}

は同じ式に思えますが,これらの極限

  • \lim\limits_{n\to\infty}a_n
  • \lim\limits_{x\to\infty}f(x)

は異なる結果になります.

この記事では,数列の極限と関数の極限の違いを説明します.

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「関数の極限」と「数列の極限」の1つ目の違い

「関数の極限」と「数列の極限」の定義から1つ目の違いを説明します.

関数の極限

「関数の極限」には

  1. x\to a
  2. x\to \pm\infty

の2種類があります.

x\to aの極限

[関数の極限1]  xa と異なる値を取りながら a に限りなく近づくとき,関数f(x)がある一定の値\alphaに限りなく近付くならば,このことを

\begin{align*} \lim\limits_{x\to a}f(x)=\alpha \end{align*}

または

x \to aのときf(x)\to\alpha

と表し,「x\to aのときf(x)\alpha収束する」といい,この\alphaを「x\to aのときのf(x)極限値」という.

このx\to aは前回の記事で扱った関数の極限で,「 x を値 a に近付ける極限」です.なお,

  • a に右から近づける右極限x\to a+0
  • a に左から近づける左極限x\to a-0

x\to aの亜種ですね.これらについてはのちの記事で説明します.

x\to\pm\inftyの極限

[関数の極限2] 正の x が限りなく大きくなるとき,関数f(x)がある一定の値\alphaに限りなく近付くならば,このことを

\begin{align*} \lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\alpha \end{align*}

または

x \to \inftyのときf(x)\to\alpha

と表し,「x\to \inftyのときf(x)\alpha収束する」といい,この\alphaを「x\to \inftyのときのf(x)極限値」という.

[関数の極限2’] 負の x が限りなく小さくなるとき,関数f(x)がある一定の値\alphaに限りなく近付くならば,このことを

\begin{align*} \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\alpha \end{align*}

または

x \to -\inftyのときf(x)\to\alpha

と表し,「x\to-\inftyのときf(x)\alpha収束する」といい,この\alphaを「x\to-\inftyのときのf(x)極限値」という.

こちらの極限は数学IIIの範囲です.

ある値に近付けるのではなく,限りなくどんどん x を大きくしたり,小さくしたりするのがこちらの極限です.

数列の極限

一方,「数列の極限」は1つしかありません.

[数列の極限] 数列\{a_n\}に対して,nを限りなく大きくするとき,a_nがある一定の値\alphaに限りなく近づくならば,

\begin{align*} \lim\limits_{n\to \infty}a_n=\alpha \end{align*}

または

n \to \inftyのときa_n\to\alpha

と表し,「(n\to \inftyのとき)\{a_n\}\alpha収束する」といい,この\alphaを「(n\to \inftyのときの)\{a_n\}極限値」という.

「数列の極限」では,「関数の極限」でのx \to aに相当する極限はありません.

たとえば,関数では「x\to3」という極限を考えることがありますが,数列では「n\to3」という極限は考えません.

これはたとえば関数f(2.9), f(2.99), f(2.999), \dotsのように x を3近付けていくことでx\to 3を考えることができますが,数列でのnは0以上の「整数」なのでn=2,2.9,2.99,2.999,\dotsなどとすることができません.

このような理由から,数列の極限はn\to\inftyしか考えないのです.

「関数の極限」はx\to a, x\to\pm\inftyの2種類あるが,「数列の極限」はn\to\inftyのみである.

「関数の極限」と「数列の極限」の2つ目の違い

2つ目の違いを見るために,次の問題を考えます.

次の問いに答えよ.

  1. 数列a_n=\sin{\pi n}について,極限\lim\limits_{n\to\infty} a_nが存在すれば求めよ.
  2. 関数f(x)=\sin{\pi x}について,極限\lim\limits_{x\to\infty} f(x)が存在すれば求めよ.

さて,どうでしょう.

冒頭でも書いたように,この2問の答えは異なります.

a_n=\sin{\pi n}f(x)=\sin{\pi x}の違いはnx の違いだけなので,「数列のnと関数の x がそれぞれ何者か」というところがポイントです.

数列の極限

まずは1問目です.a_n=\sin{\pi n}で定まる数列\{a_n\}

  • a_1=\sin{\pi}=0
  • a_2=\sin{2\pi}=0
  • a_3=\sin{3\pi}=0
  • \dots

ですから,任意の自然数nに対してa_n=0です.よって,

\begin{align*} \lim_{n\to\infty} a_n =\lim_{n\to\infty} 0 =0 \end{align*}

となります.

関数の極限

次に2問目です.

x は実数なので,f(x)=\sin{x\pi}-1から1の間を無限に往復し続けるので,x\to\inftyとしたときどこかに近づくということはありません.

したがって,\lim\limits_{x\to\infty} f(x)は存在しません.

このように,「関数の極限」と「数列の極限」の2つ目の違いは「数列のnは整数,関数の x は実数」です.

このように2問並べると違いに気付いて正しく答えられるかもしれませんが,どちらか1問を出されたときでも「数列の極限」なのか「関数の極限」なのかをしっかり意識して考えてください.

「関数の極限」では変数 x は実数で,「数列の極限」では変数nは整数である.

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