知っておきたい「関数の極限」と「数列の極限」の２つの違い

あまり意識されないことですが，「関数の極限」と「数列の極限」の違いが分かっていないと間違えてしまう問題もあります．

例えば，

数列 $a_n=\sin{\pi n}$
関数 $f(x)=\sin{\pi x}$

は同じ式に思えますが，これらの極限

$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$
$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$

は異なる結果になります．

この記事では，数列の極限と関数の極限の違いを説明します．

一連の記事はこちら

【極限の基本１｜lim(リミット)の意味は？極限の考え方】
【極限の基本２｜「関数の極限」と「数列の極限」の２つの違い】←今の記事
【無限級数１｜「無限級数」は「数列の極限」と同じ！】
【無限級数２｜無限級数の収束条件と収束しない３つの例】
【無限級数３｜無限等比級数の収束条件】

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「関数の極限」と「数列の極限」の１つ目の違い

「関数の極限」と「数列の極限」の定義から１つ目の違いを説明します．

関数の極限

「関数の極限」には

$x\to a$
$x\to \pm\infty$

の２種類があります．

$x\to a$ の極限

[関数の極限１]　 x が a と異なる値を取りながら a に限りなく近づくとき，関数 $f(x)$ がある一定の値 $\alpha$ に限りなく近付くならば，このことを

$\begin{align*} \lim\limits_{x\to a}f(x)=\alpha \end{align*}$

または

$x \to a$ のとき $f(x)\to\alpha$

と表し，「 $x\to a$ のとき $f(x)$ は $\alpha$ に収束する」といい，この $\alpha$ を「 $x\to a$ のときの $f(x)$ の極限値」という．

この $x\to a$ は前回の記事で扱った関数の極限で，「 x を値 a に近付ける極限」です．なお，

値 a に右から近づける右極限 $x\to a+0$
値 a に左から近づける左極限 $x\to a-0$

は $x\to a$ の亜種ですね．これらについてはのちの記事で説明します．

$x\to\pm\infty$ の極限

[関数の極限２]　正の x が限りなく大きくなるとき，関数 $f(x)$ がある一定の値 $\alpha$ に限りなく近付くならば，このことを

$\begin{align*} \lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\alpha \end{align*}$

または

$x \to \infty$ のとき $f(x)\to\alpha$

と表し，「 $x\to \infty$ のとき $f(x)$ は $\alpha$ に収束する」といい，この $\alpha$ を「 $x\to \infty$ のときの $f(x)$ の極限値」という．

[関数の極限２’]　負の x が限りなく小さくなるとき，関数 $f(x)$ がある一定の値 $\alpha$ に限りなく近付くならば，このことを

$\begin{align*} \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\alpha \end{align*}$

または

$x \to -\infty$ のとき $f(x)\to\alpha$

と表し，「 $x\to-\infty$ のとき $f(x)$ は $\alpha$ に収束する」といい，この $\alpha$ を「 $x\to-\infty$ のときの $f(x)$ の極限値」という．

こちらの極限は数学IIIの範囲です．

ある値に近付けるのではなく，限りなくどんどん x を大きくしたり，小さくしたりするのがこちらの極限です．

数列の極限

一方，「数列の極限」は１つしかありません．

[数列の極限]　数列 $\{a_n\}$ に対して， $n$ を限りなく大きくするとき， $a_n$ がある一定の値 $\alpha$ に限りなく近づくならば，

$\begin{align*} \lim\limits_{n\to \infty}a_n=\alpha \end{align*}$

または

$n \to \infty$ のとき $a_n\to\alpha$

と表し，「( $n\to \infty$ のとき) $\{a_n\}$ は $\alpha$ に収束する」といい，この $\alpha$ を「( $n\to \infty$ のときの) $\{a_n\}$ の極限値」という．

「数列の極限」では，「関数の極限」での $x \to a$ に相当する極限はありません．

たとえば，関数では「 $x\to3$ 」という極限を考えることがありますが，数列では「 $n\to3$ 」という極限は考えません．

これはたとえば関数 $f(2.9)$ , $f(2.99)$ , $f(2.999)$ , $\dots$ のように x を3近付けていくことで $x\to 3$ を考えることができますが，数列での $n$ は0以上の「整数」なので $n=2,2.9,2.99,2.999,\dots$ などとすることができません．