【SPONSORED LINK】

極限の基本2|「関数の極限」と「数列の極限」の2つの違い

あまり意識されないことですが,「関数の極限」と「数列の極限」の違いが分かっていないと間違えてしまう問題もあります.

例えば,

  • 数列$a_n=\sin{\pi n}$
  • 関数$f(x)=\sin{\pi x}$

は同じ式に思えますが,これらの極限

  • $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$
  • $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$

は異なる結果になります.

この記事では,数列の極限と関数の極限の違いを説明します.

【SPONSORED LINK】

「関数の極限」と「数列の極限」の1つ目の違い

「関数の極限」と「数列の極限」の定義から1つ目の違いを説明します.

関数の極限

「関数の極限」には

  1. $x\to a$
  2. $x\to \pm\infty$

の2種類があります.

$x\to a$の極限

[関数の極限1] $x$が$a$と異なる値を取りながら$a$に限りなく近づくとき,関数$f(x)$がある一定の値$\alpha$に限りなく近付くならば,このことを

\begin{align*} \lim\limits_{x\to a}f(x)=\alpha \end{align*}

または

$x \to a$のとき$f(x)\to\alpha$

と表し,「$x\to a$のとき$f(x)$は$\alpha$に収束する」といい,この$\alpha$を「$x\to a$のときの$f(x)$の極限値」という.

この$x\to a$は前回の記事で扱った関数の極限で,「$x$を値$a$に近付ける極限」です.なお,

  • 値$a$に右から近づける右極限$x\to a+0$
  • 値$a$に左から近づける左極限$x\to a-0$

は$x\to a$の亜種ですね.これらについてはのちの記事で説明します.

$x\to\pm\infty$の極限

[関数の極限2] 正の$x$が限りなく大きくなるとき,関数$f(x)$がある一定の値$\alpha$に限りなく近付くならば,このことを

\begin{align*} \lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\alpha \end{align*}

または

$x \to \infty$のとき$f(x)\to\alpha$

と表し,「$x\to \infty$のとき$f(x)$は$\alpha$に収束する」といい,この$\alpha$を「$x\to \infty$のときの$f(x)$の極限値」という.

[関数の極限2’] 負の$x$が限りなく小さくなるとき,関数$f(x)$がある一定の値$\alpha$に限りなく近付くならば,このことを

\begin{align*} \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\alpha \end{align*}

または

$x \to -\infty$のとき$f(x)\to\alpha$

と表し,「$x\to-\infty$のとき$f(x)$は$\alpha$に収束する」といい,この$\alpha$を「$x\to-\infty$のときの$f(x)$の極限値」という.

こちらの極限は数学IIIの範囲です.

ある値に近付けるのではなく,限りなくどんどん$x$を大きくしたり,小さくしたりするのがこちらの極限です.

数列の極限

一方,「数列の極限」は1つしかありません.

[数列の極限] 数列$\{a_n\}$に対して,$n$を限りなく大きくするとき,$a_n$がある一定の値$\alpha$に限りなく近づくならば,

\begin{align*} \lim\limits_{n\to \infty}a_n=\alpha \end{align*}

または

$n \to \infty$のとき$a_n\to\alpha$

と表し,「($n\to \infty$のとき)$\{a_n\}$は$\alpha$に収束する」といい,この$\alpha$を「($n\to \infty$のときの)$\{a_n\}$の極限値」という.

「数列の極限」では,「関数の極限」での$x \to a$に相当する極限はありません.

たとえば,関数では「$x\to3$」という極限を考えることがありますが,数列では「$n\to3$」という極限は考えません.

これはたとえば関数$f(2.9)$, $f(2.99)$, $f(2.999)$, $\dots$のように$x$を3近付けていくことで$x\to 3$を考えることができますが,数列での$n$は0以上の「整数」なので$n=2,2.9,2.99,2.999,\dots$などとすることができません.

このような理由から,数列の極限は$n\to\infty$しか考えないのです.

「関数の極限」は$x\to a$, $x\to\pm\infty$の2種類あるが,「数列の極限」は$n\to\infty$のみである.

「関数の極限」と「数列の極限」の2つ目の違い

2つ目の違いを見るために,次の問題を考えます.

次の問いに答えよ.

  1. 数列$a_n=\sin{\pi n}$について,極限$\lim\limits_{n\to\infty} a_n$が存在すれば求めよ.
  2. 関数$f(x)=\sin{\pi x}$について,極限$\lim\limits_{x\to\infty} f(x)$が存在すれば求めよ.

さて,どうでしょう.

冒頭でも書いたように,この2問の答えは異なります.

$a_n=\sin{\pi n}$と$f(x)=\sin{\pi x}$の違いは$n$と$x$の違いだけなので,「数列の$n$と関数の$x$がそれぞれ何者か」というところがポイントです.

数列の極限

まずは1問目です.$a_n=\sin{\pi n}$で定まる数列$\{a_n\}$は

  • $a_1=\sin{\pi}=0$
  • $a_2=\sin{2\pi}=0$
  • $a_3=\sin{3\pi}=0$
  • $\dots$

ですから,任意の自然数$n$に対して$a_n=0$です.よって,

\begin{align*} \lim_{n\to\infty} a_n =\lim_{n\to\infty} 0 =0 \end{align*}

となります.

関数の極限

次に2問目です.

$x$は実数なので,$f(x)=\sin{x\pi}$は$-1$から1の間を無限に往復し続けるので,$x\to\infty$としたときどこかに近づくということはありません.

したがって,$\lim\limits_{x\to\infty} f(x)$は存在しません.

このように,「関数の極限」と「数列の極限」の2つ目の違いは「数列の$n$は整数,関数の$x$は実数」です.

このように2問並べると違いに気付いて正しく答えられるかもしれませんが,どちらか1問を出されたときでも「数列の極限」なのか「関数の極限」なのかをしっかり意識して考えてください.

「関数の極限」では変数$x$は実数で,「数列の極限」では変数$n$は整数である.

最後までありがとうございました!

参考になった方は是非シェアをお願いします!

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする

以下の関連記事もいかがですか?

SPONSORED LINK
関連記事

記事一覧はこちらからどうぞ!

記事

一覧へ

Twitterを

フォロー

TouTube

を見る

オススメ

参考書

大学数学の

姉妹ブログ