あまり意識されないことですが，「関数の極限」と「数列の極限」の違いが分かっていないと間違えてしまう問題もあります．
例えば，
- 数列$a_n=\sin{\pi n}$
- 関数$f(x)=\sin{\pi x}$
は同じ式に思えますが，これらの極限
- $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$
- $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$
は異なる結果になります．
この記事では，数列の極限と関数の極限の違いを説明します．
一連の記事はこちら
【極限の基本１｜lim(リミット)の意味は？極限の考え方】
【極限の基本２｜「関数の極限」と「数列の極限」の２つの違い】←今の記事
【無限級数１｜「無限級数」は「数列の極限」と同じ！】
【無限級数２｜無限級数の収束条件と収束しない３つの例】
【無限級数３｜無限等比級数の収束条件】
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「関数の極限」と「数列の極限」の１つ目の違い
「関数の極限」と「数列の極限」の定義から１つ目の違いを説明します．
関数の極限
「関数の極限」には
- $x\to a$
- $x\to \pm\infty$
の２種類があります．
$x\to a$の極限
[関数の極限１] $x$が$a$と異なる値を取りながら$a$に限りなく近づくとき，関数$f(x)$がある一定の値$\alpha$に限りなく近付くならば，このことを
または
$x \to a$のとき$f(x)\to\alpha$
と表し，「$x\to a$のとき$f(x)$は$\alpha$に収束する」といい，この$\alpha$を「$x\to a$のときの$f(x)$の極限値」という．
この$x\to a$は前回の記事で扱った関数の極限で，「$x$を値$a$に近付ける極限」です．なお，
- 値$a$に右から近づける右極限$x\to a+0$
- 値$a$に左から近づける左極限$x\to a-0$
は$x\to a$の亜種ですね．これらについてはのちの記事で説明します．
$x\to\pm\infty$の極限
[関数の極限２] 正の$x$が限りなく大きくなるとき，関数$f(x)$がある一定の値$\alpha$に限りなく近付くならば，このことを
または
$x \to \infty$のとき$f(x)\to\alpha$
と表し，「$x\to \infty$のとき$f(x)$は$\alpha$に収束する」といい，この$\alpha$を「$x\to \infty$のときの$f(x)$の極限値」という．
[関数の極限２’] 負の$x$が限りなく小さくなるとき，関数$f(x)$がある一定の値$\alpha$に限りなく近付くならば，このことを
または
$x \to -\infty$のとき$f(x)\to\alpha$
と表し，「$x\to-\infty$のとき$f(x)$は$\alpha$に収束する」といい，この$\alpha$を「$x\to-\infty$のときの$f(x)$の極限値」という．
こちらの極限は数学IIIの範囲です．
ある値に近付けるのではなく，限りなくどんどん$x$を大きくしたり，小さくしたりするのがこちらの極限です．
数列の極限
一方，「数列の極限」は１つしかありません．
[数列の極限] 数列$\{a_n\}$に対して，$n$を限りなく大きくするとき，$a_n$がある一定の値$\alpha$に限りなく近づくならば，
または
$n \to \infty$のとき$a_n\to\alpha$
と表し，「($n\to \infty$のとき)$\{a_n\}$は$\alpha$に収束する」といい，この$\alpha$を「($n\to \infty$のときの)$\{a_n\}$の極限値」という．
「数列の極限」では，「関数の極限」での$x \to a$に相当する極限はありません．
たとえば，関数では「$x\to3$」という極限を考えることがありますが，数列では「$n\to3$」という極限は考えません．
これはたとえば関数$f(2.9)$, $f(2.99)$, $f(2.999)$, $\dots$のように$x$を3近付けていくことで$x\to 3$を考えることができますが，数列での$n$は0以上の「整数」なので$n=2,2.9,2.99,2.999,\dots$などとすることができません．
このような理由から，数列の極限は$n\to\infty$しか考えないのです．
「関数の極限」は$x\to a$, $x\to\pm\infty$の2種類あるが，「数列の極限」は$n\to\infty$のみである．
「関数の極限」と「数列の極限」の２つ目の違い
２つ目の違いを見るために，次の問題を考えます．
次の問いに答えよ．
- 数列$a_n=\sin{\pi n}$について，極限$\lim\limits_{n\to\infty} a_n$が存在すれば求めよ．
- 関数$f(x)=\sin{\pi x}$について，極限$\lim\limits_{x\to\infty} f(x)$が存在すれば求めよ．
さて，どうでしょう．
冒頭でも書いたように，この２問の答えは異なります．
$a_n=\sin{\pi n}$と$f(x)=\sin{\pi x}$の違いは$n$と$x$の違いだけなので，「数列の$n$と関数の$x$がそれぞれ何者か」というところがポイントです．
数列の極限
まずは１問目です．$a_n=\sin{\pi n}$で定まる数列$\{a_n\}$は
- $a_1=\sin{\pi}=0$
- $a_2=\sin{2\pi}=0$
- $a_3=\sin{3\pi}=0$
- $\dots$
ですから，任意の自然数$n$に対して$a_n=0$です．よって，
となります．
関数の極限
次に２問目です．
$x$は実数なので，$f(x)=\sin{x\pi}$は$-1$から1の間を無限に往復し続けるので，$x\to\infty$としたときどこかに近づくということはありません．
したがって，$\lim\limits_{x\to\infty} f(x)$は存在しません．
このように，「関数の極限」と「数列の極限」の２つ目の違いは「数列の$n$は整数，関数の$x$は実数」です．
このように２問並べると違いに気付いて正しく答えられるかもしれませんが，どちらか１問を出されたときでも「数列の極限」なのか「関数の極限」なのかをしっかり意識して考えてください．
「関数の極限」では変数$x$は実数で，「数列の極限」では変数$n$は整数である．