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無限級数1|[無限級数]の考え方を具体例から理解する

簡単には,数列$\{a_n\}$に対して初項から$a_1+a_2+a_3+\dots$とずっと足していったものを$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$と表し,これを$\{a_n\}$の[無限級数]といいます.

厳密には,「無限に足し合わせる」という操作は数学では「極限」を使って定式化するため,[無限級数]は「極限」の分野に入ることになります.

[無限級数]は様々なところと絡んで出題されますから,いつでも対処できるようになっておいて欲しいところです.

この記事では,[無限級数]の考え方を説明します.

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数列の極限

数列の極限の定義は次の通りでした.

数列$\{a_n\}$において,$n$を限りなく大きくするとき,$a_n$がある一定の値$\alpha$に限りなく近づくならば,

\begin{align*} \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\alpha \end{align*}

または

$n\to\infty$のとき$a_n\to\alpha$

と書き,数列$\{a_n\}$は$\alpha$に収束するといい,$\alpha$を数列$\{a_n\}$の極限値という.

また,数列$\{a_n\}$が収束しないとき,数列$\{a_n\}$は発散するという.

具体的には,

  • $a_n=\dfrac{1}{n^2}$なら,数列$\{a_n\}$は0に収束する
  • $a_n=\dfrac{2n+1}{n}$なら,$a_n=2+\dfrac{1}{n}$だから数列$\{a_n\}$は2に収束する
  • $a_n=n$なら,数列$\{a_n\}$は$\infty$に発散する
  • $a_n=(-1)^n$なら,数列$\{a_n\}$は$-1$と1を繰り返すから振動する

などとなりますね.

無限級数

それでは,無限級数の説明に移ります.

無限級数の定義

数列$\{a_n\}$の一般項が

\begin{align*} a_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2} \end{align*}

のように和で表されていれば,その場合の極限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$を無限級数といいます.

数列$\{a_n\}$に対して,初項から第$n$項までの和$\dsum_{k=1}^{n}a_k(=a_1+a_2+\dots+a_n)$の$n\to\infty$の極限を数列$\{a_n\}$の無限級数といい,$\dsum_{k=1}^{\infty}a_k$と表す.すなわち,

\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_k =\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k \end{align*}

である.この極限が存在するとき無限級数$\dsum_{k=1}^{\infty}a_k$は収束するといい,極限が存在するとき無限級数$\dsum_{k=1}^{\infty}a_k$は発散するという.

この定義からも分かるように,無限級数のイメージは「初項から$a_1+a_2+a_3+\dots$と無限に項を加えていったもの」です.

例えば,一般項が$a_n=\dfrac{1}{2^n}$の数列$\{a_n\}$に対して,初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると,

  • $S_1=a_1=\dfrac{1}{2}$
  • $S_2=a_1+a_2=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$
  • $S_3=a_1+a_2+a_3=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}$
  • ……

となり,こうしてできる数列$\{S_n\}$の極限$\lim\limits_{n\to\infty}S_n$を$\{a_n\}$の無限級数というわけです.

つまり,ただ一般項$\{S_n\}$が和で表されているだけのことで,無限級数はあくまで数列の極限と何ら変わらないことが分かりますね.

[無限級数]が数列の極限であるというイメージがつかめるでしょうか?

無限級数の例

なお,今考えた一般項が$a_n=\dfrac{1}{2^n}$の数列$\{a_n\}$の無限級数は,以下のように考えることができます.

まず$a_1=\dfrac{1}{2}$は下図の灰色の面積です.

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さらに,$a_2=\dfrac{1}{4}$は下図の灰色の面積です.

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続いて,$a_3=\dfrac{1}{8}$は下図の灰色の面積です.

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このように1辺の長さが1の正方形を

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と区切っていくと,この正方形の面積は$a_1+a_2+a_3+\dots$の極限であることが見てとれますね.

この正方形の面積は$1\times1=1$ですから,

\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}=1 \end{align*}

となることが分かります.

なお,この数列$\{a_n\}$は等比数列で,等比数列の無限級数は[無限等比級数]といい無限級数の中でもとくに大切なものです.

無限級数については次の次の記事で説明します.

最後までありがとうございました!

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