無限級数1|[無限級数]の考え方を具体例から理解する

例えば,

\begin{align*} \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\dots \end{align*}

のように,無限に項を足していくとどのようになるでしょうか?

実は結果から言えば,この和は$1$に近付きます(このことはこの記事の中で説明します).

一般に数列$\{a_n\}$について,初項から順に無限に和をとっていくときの近付き先を$\{a_n\}$の無限級数といい

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}a_n(=a_1+a_2+a_3+\dots) \end{align*}

で表します.

数学で「無限に足し合わせる」という操作は「極限」を使って定式化するため,無限級数は「数列の極限」の分野に入ることになります.

無限級数は様々なところと絡んで出題されますから,いつでも対処できるようになっておいて欲しいところです.

この記事では,具体例を用いて無限級数の考え方を説明します.

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数列の極限

数列の極限の定義は次の通りでした.

数列$\{a_n\}$において,$n$を限りなく大きくするとき,$a_n$がある一定の値$\alpha$に限りなく近づくならば,

\begin{align*} \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\alpha \end{align*}

または

$n\to\infty$のとき$a_n\to\alpha$

と書き,数列$\{a_n\}$は$\alpha$に収束するといい,$\alpha$を数列$\{a_n\}$の極限値という.

また,数列$\{a_n\}$が収束しないとき,数列$\{a_n\}$は発散するという.

具体的には,

  • $a_n=\dfrac{1}{n^2}$なら,数列$\{a_n\}$は0に収束する
  • $a_n=\dfrac{2n+1}{n}$なら,$a_n=2+\dfrac{1}{n}$だから数列$\{a_n\}$は2に収束する
  • $a_n=n$なら,数列$\{a_n\}$は$\infty$に発散する
  • $a_n=(-1)^n$なら,数列$\{a_n\}$は$-1$と$1$を繰り返すから振動する(発散する)

などとなりますね.

なお,収束しない場合を全て発散というので,「振動」のような$\infty$や$-\infty$にとんでいかないようなものも発散といいます.

無限級数

それでは,無限級数の説明に移ります.

無限級数の定義

一般項が$a_n=\dfrac{1}{2^n}$の数列$\{a_n\}$を考えます.

数列の分野では「初項から第$n$項までの和$S_n$を$n$を用いて表せ」といった問題がよく出題されますが,ここでは第$n$項までと言わず無限に足し合わせていくと,どんな値に近付くかを考えましょう.

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$は,例えば

  • $S_1=a_1=\dfrac{1}{2}$
  • $S_2=a_1+a_2=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$
  • $S_3=a_1+a_2+a_3=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}$
  • ……

となっています.このようにできた$S_1,S_2,S_3,\dots$は数の並びなので数列です.

「初項から無限に項を足し合わせていく」というのは,この数列$\{S_n\}$で$S_1,S_2,S_3,\dots$と続けていくとどんな値に近付くかということなので,$\lim\limits_{n\to\infty}S_n$を求めることに他なりません.

まさにこの考え方が無限級数で,きっちり書くと以下のようになります.

数列$\{a_n\}$に対して,初項から第$n$項までの和$\dsum_{k=1}^{n}a_k(=a_1+a_2+\dots+a_n)$の$n\to\infty$の極限を数列$\{a_n\}$の無限級数といい,$\dsum_{k=1}^{\infty}a_k$と表す.すなわち,

\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_k =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k \end{align*}

である.この極限が存在するとき無限級数$\dsum_{k=1}^{\infty}a_k$は収束するといい,極限が存在しないとき無限級数$\dsum_{k=1}^{\infty}a_k$は発散するという.

無限級数のイメージは「初項から$a_1+a_2+a_3+\dots$と無限に項を加えていったもの」です.

例えば,先ほど考えた一般項が$a_n=\dfrac{1}{2^n}$の数列$\{a_n\}$の場合の無限級数は

\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_k =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k} =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k} \end{align*}

と表せるわけですね.

無限級数の例

さて,この無限級数を求めましょう.

無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}$の極限値を求めよ.

なお,今考えた一般項が$a_n=\dfrac{1}{2^n}$の数列$\{a_n\}$の無限級数は,以下のように考えることができます.

まず$a_1=\dfrac{1}{2}$は下図の灰色の面積です.

Rendered by QuickLaTeX.com

さらに,$a_2=\dfrac{1}{4}$は下図の灰色の面積です.

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続いて,$a_3=\dfrac{1}{8}$は下図の灰色の面積です.

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このように1辺の長さが1の正方形を

Rendered by QuickLaTeX.com

と区切っていくと,この正方形の面積は$a_1+a_2+a_3+\dots$の極限であることが見てとれますね.

この正方形の面積は$1\times1=1$ですから,

\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}=1 \end{align*}

となることが分かります.

なお,この例のような等比数列の無限級数は[無限等比級数]といい無限級数の中でもとくに大切なものです.

[無限等比級数]については次の次の記事で説明します.

無限級数の発散

さて,無限級数はいつでも収束するわけではなく,どちらかというとむしろ簡単に発散してしまいます.

次の記事では,

  • 無限級数が発散する条件
  • 無限級数が収束する条件
  • 無限級数が発散する3つの例

を説明します.

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