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無限級数2|無限級数の発散条件と収束しない3つの例

数列\{a_n\}に対して,a_1+a_2+a_3+\dotsとずっと足していくときに,この和を\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kと表し,これを[無限級数]というのでした.

前回の記事で説明したように,[無限級数]はあくまで[数列の極限]として収束・発散を考えることになります.

[無限級数]の収束・発散の判定は一般には難しいですが,[無限級数]の発散が一発で分かる場合もあります.

この記事では,[無限級数]の基本の発散条件を説明し,具体的に収束しない無限級数の例を考えます.

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無限級数の収束条件

次の事実は[無限級数]の収束について,基本的な性質です.

数列\{a_n\}に対して,無限級数\dsum_{k=1}^{\infty}a_kが収束すれば,\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0が成り立つ.

[証明]

無限級数\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kの第n項までの部分和をS_nとする.すなわち,

\begin{align*} S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k \end{align*}

とする.n\ge2のとき,S_n=a_1+a_2+\dots+a_n, S_{n-1}=a_1+a_2+\dots+a_{n-1}なので,

\begin{align*} a_{n}=S_{n}-S_{n-1} \end{align*}

なので,S_{n}は収束する無限級数の部分和だったから,\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}=\lim\limits_{n\to\infty}S_{n-1}が成り立つ.よって,

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}a_{n} =&\lim_{n\to\infty}(S_n-S_{n-1}) \\=&\lim_{n\to\infty}S_{n}-\lim_{n\to\infty}S_{n-1} \\=&0 \end{align*}

が従う.

[証明終]

途中の「\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}=\lim\limits_{n\to\infty}S_{n-1}」の部分で

S_{n-1}S_nは違うのに,なんで極限n\to\inftyとると同じになるんや?」

と疑問を持った人も少なくないかもしれませんね.

そもそも,\lim\limits_{n\to\infty}S_nnを大きくしていくとS_nがどこに『近付くのか』」という意味なのでした.

S_n\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kの部分和でしたから,nを大きくしていくと

  • S_n\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kに「近付き」ますし,
  • S_{n-1}\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kに「近付き」ます.

S_nS_{n-1}n\to\inftyでの近付き先はともに\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kなので,

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}S_{n}=\lim_{n\to\infty}S_{n-1}\bra{=\sum_{k=1}^{\infty}a_k} \end{align*}

が成り立つわけですね.このように,極限は「〜になる」ではなく「〜に近付く」であることが大切です.

これは極限のとても大切なところなので,必ず意識しておいてください.

さて,この定理は対偶を考えた次の[無限級数の発散条件]の形で考えることが多いです.

[無限級数の発散条件] 数列\{a_n\}に対して,\lim\limits_{n\to\infty}a_n\neq0であれば,無限級数\dsum_{k=1}^{\infty}a_kは収束しない.

直感的にも,nが大きくなってもa_nが0でないところを無限にさまよっていては,級数は収束しなさそうですよね.

つまり,無限級数\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kをみたとき,\lim\limits_{n\to\infty}a_n\neq0であれば一発で収束しない無限級数であることが分かるわけですね.

無限級数が収束しない例

無限級数の収束のイメージをとらえるためには,無限級数が収束しない例を考えるのも大切です.

例1

a_n=1によって定められた数列\{a_n\}を考えます.この数列はどの項も1なので

  • a_1=1
  • a_2=1
  • a_3=1
  • ……

です.このとき\lim\limits_{n\to\infty} a_n=1\neq0なので,[無限級数の発散条件]から無限級数S=\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kは収束しません.

さて,収束しないことは以上で分かりましたが,このイメージをつむためにもう少し考えてみましょう.

初項から第n項までの和をS_nとすると,

  • S_1=a_1=1
  • S_2=a_1+a_2=2
  • S_3=a_1+a_2+a_3=3
  • ……

というように,この級数は無限に1を足していくので,

\begin{align*} S_n=&a_1+a_2+\dots+a_n \\=&1+1+\dots+1=n \end{align*}

ですから,

\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_k =&\lim_{n\to\infty}S_n \\=&\lim_{n\to\infty}n =\infty \end{align*}

となり,確かに発散しますね.

[無限級数の発散条件]を考えれば,実際にS_nを考えることなく瞬時に発散が得られるのが素晴らしいところですね.

例2

a_n=(-1)^nによって定められた数列\{a_n\}を考えます.この数列は

  • a_1=(-1)^1=-1
  • a_2=(-1)^2=1
  • a_3=(-1)^3=-1
  • a_4=(-1)^4=1
  • ……

というように1と-1が交互に出てくる数列です.

この数列は1と-1を無限に行き来するので,\lim\limits_{n\to\infty} a_nは存在しません.すなわち,\{a_n\}は発散するので,[無限級数の発散条件]から無限級数\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kは収束しません.

さて,収束しないことはまたしても[無限級数の発散条件]からすぐに分かりましたが,このイメージをつむためにもう少し考えてみましょう.

実際に,a_n=(-1)^nの部分和S_nを考えると,

  • S_1=a_1=-1
  • S_2=a_1+a_2=0
  • S_3=a_1+a_2+a_3=-1
  • S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=0
  • ……

というように0と-1を往復することが分かります.

このように,発散ではないものの,収束するわけでもないこの極限の状態を[振動]といいますね.詳しく書けば,

  • nが偶数のとき,

    \begin{align*} S_n=&\sum_{k=1}^{n}a_k \\=&a_1+a_2+\dots+a_n \\=&-1+1-\dots+1 \\=&0 \end{align*}

  • nが奇数のとき,

    \begin{align*} S_n=&\sum_{k=1}^{n}a_k \\=&a_1+a_2+\dots+a_n \\=&-1+1-\dots-1 \\=&-1 \end{align*}

なので,部分和S_nは0と-1の間を行き来するので,無限級数\sum\limits_{k=1}^{n}a_kは振動する,ということになります.

確かに,無限級数\sum\limits_{k=1}^{n}a_kが発散していることが分かりましたね.

例3

a_n=\dfrac{1}{n}によって定められた数列\{a_n\}を考えます.

[無限級数の発散条件]から,\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0となっていなければ無限級数は発散するのでしたから,一度a_nの極限がどうなるかを考えると,

\begin{align*} \lim_{n\to\infty} a_n =\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n}=0 \end{align*}

となっていますから,\{a_n\}は0に収束しています.したがって,[無限級数の発散条件]を適用することはできません.

しかし,実はこの無限級数\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_nは収束しません.

「え?それってさっき書いたことと矛盾してへんの?」

と思う方もいらっしゃるかもしれませんが,矛盾していません.というのは,[無限級数の発散条件]は

[無限級数の発散条件(再掲)] 数列\{a_n\}に対して,\lim\limits_{n\to\infty}a_n\neq0であれば,無限級数\dsum_{k=1}^{\infty}a_kは収束しない.

ということであって,この逆の「\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0のときの無限級数\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kの発散・収束」については何も言っておらず,この[無限級数の発散条件]の逆は必ずしも成り立ち得ません.

そして,実際にこのa_n=\dfrac{1}{n}は「\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0は満たすが,無限級数\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kが収束しない例」になっているわけです.

この無限級数が収束しないことを示す問題は高校数学でとても重要な問題の1つなのですが,その理由の説明にはまとまったスペースが必要なのでここでは割愛します.

無限級数\dsum_{k=1}^{\infty}a_kが収束するには\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0が成り立つことが必要である.この対偶を考えると,\lim\limits_{n\to\infty}a_n\neq0なら無限級数\dsum_{k=1}^{\infty}a_kは発散することが分かる.

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