三角関数sin,cos,tanのグラフ｜三角関数の増減は円で考えよ

三角関数$\cos{\theta}$, $\sin{\theta}$, $\tan{\theta}$も関数ですから，これらのグラフがどうなるのかは気になるところです．

$\cos{\theta}$, $\sin{\theta}$のグラフは，定義から単位円周上で点を動かして考えることができます．

この記事では

三角関数$\sin{\theta}$の増減とグラフ
三角関数$\cos{\theta}$の増減とグラフ
三角関数$\tan{\theta}$の増減とグラフ

を説明します．

この記事では点Oを原点，点Pを単位円周上の偏角$\theta$の点$(\cos{\theta},\sin{\theta})$とします．

「三角関数」の一連の記事

$\sin{\theta}$の増減とグラフ
1. $\sin{\theta}$の増減
2. $\sin{\theta}$のグラフ
$\cos{\theta}$の増減とグラフ
1. $\cos{\theta}$の増減
2. $\cos{\theta}$のグラフ
$\tan{\theta}$の増減とグラフ
1. $\tan{\theta}$の図形的意味（復習）
2. $\tan{\theta}$のグラフ

$\sin{\theta}$の増減とグラフ

点$\mrm{P}$が単位円周上を１周するときに$\sin{\theta}$がどのように増減しているかを掴み，グラフを描きましょう．

$\sin{\theta}$の増減

点$\mrm{P}$が単位円周上を１周するとき（$\theta$が$0\leqq\theta\leqq2\pi$の範囲を動くとき），以下のように$\sin{\theta}$は増減します．

[１]　$0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ $(0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circ)$のとき

$\sin{\theta}$は$0$から$1$まで増加

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[２]　$\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{3\pi}{2}$ $(90^\circ\leqq\theta\leqq270^\circ)$のとき

$\sin{\theta}$は$1$から$-1$まで減少

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[３]　$\dfrac{3\pi}{2}\leqq\theta\leqq2\pi$ $(270^\circ\leqq\theta\leqq360^\circ)$のとき

$\sin{\theta}$は$-1$から$0$まで増加

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よって，$\sin{\theta}$の増減表は以下のようになりますね．

$\sin{\theta}$の増減
$\theta$	$0$	$\dots$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dots$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$\dots$	$2\pi$
$\sin{\theta}$	$0$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$0$

$\sin{\theta}$のグラフ

以上の増減をふまえつつ，$y=\sin{\theta}$のグラフを

$\begin{align*}\theta=\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\frac{3\pi}{4}\end{align*}$

で順にプロットしていきましょう．

このように点$\mrm{P}$を単位円上で動かすと，$\sin{\theta}$のグラフが下図のようになることが分かりますね．

この図からも$\theta$が$2\pi$ごとに同じ値を取ることが見てとれますね．

先ほどの$\sin{\theta}$の増減表でも見たように

$0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$で単調増加
$\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{3\pi}{2}$で単調減少
$\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq2\pi$で単調増加

となっていることを確認してください．

$\cos{\theta}$の増減とグラフ

点$\mrm{P}$が単位円周上を１周するときに$\cos{\theta}$がどのように増減しているかを掴み，グラフを描きましょう．

$\cos{\theta}$の増減

点$\mrm{P}$が単位円周上を１周するとき（$\theta$が$0\leqq\theta\leqq2\pi$の範囲を動くとき），以下のように$\cos{\theta}$は増減します．

[１]　$0\leqq\theta\leqq\pi$ $(0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ)$のとき

$\cos{\theta}$は$1$から$-1$まで減少

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[２]　$\pi\leqq\theta\leqq2\pi$ $(180^\circ\leqq\theta\leqq360^\circ)$のとき

$\cos{\theta}$は$-1$から$1$まで増加

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よって，$\cos{\theta}$の増減表は以下のようになりますね．

$\cos{\theta}$の増減
$\theta$	$0$	$\dots$	$\pi$	$\dots$	$2\pi$
$\cos{\theta}$	$1$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$1$

$\cos{\theta}$のグラフ

先ほどの$\sin{\theta}$と同じように考えると，$\sin{\theta}$のグラフが下図のようになることが分かりますね．

この図からも$\theta$が$2\pi$ごとに同じ値を取ることが見てとれますね．

先ほどの$\cos{\theta}$の増減表でも見たように

$0\leqq\theta\leqq\pi$で単調減少
$\pi\leqq\theta\leqq2\pi$で単調増加

となっていることを確認してください．

$\tan{\theta}$の増減とグラフ

最後に$\tan{\theta}$のグラフを考えましょう．

$\tan{\theta}$の図形的意味（復習）

$\tan{\theta}$は直線$\mrm{OP}$と$x=1$の交点の$y$座標として得られることを思い出しておきましょう．

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三角関数と三角比の違いは？｜偏角から三角関数を定義する！

三角形の内角の和は180°なので，直角三角形から定義する三角比sinθ,cosθ,tanθは0°<θ<90°の範囲でしか定義できません．この記事では単位円を使って，全ての実数θに対してsinθ,cosθ,tanθを定義します．

$\tan{\theta}$のグラフ

$y=\tan{\theta}$のグラフを

$\begin{align*}\theta=\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{6}\end{align*}$

で順にプロットしていきましょう．

このように点$\mrm{P}$を単位円上で動かすと，$\tan{\theta}$のグラフが下図のようになることが分かりますね．

この図から$\theta$が$\pi$ごとに同じ値を取ることが見てとれますね．

また，点$\mrm{P}$が$y$軸上にあるとき$\tan{\theta}$を定義されず，$x=\dfrac{\pi}{2}+n\pi$（$n$は整数）で表される直線は漸近線となりますね．

以上より，$\tan{\theta}$の増減表が以下のようになることも分かりますね．

$\tan{\theta}$の増減
$\theta$	$0$	$\dots$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dots$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$\dots$	$2\pi$
$\sin{\theta}$	$0$	$\nearrow$	×	$\nearrow$	×	$\nearrow$	$0$