三角関数６｜三角関数の方程式や不等式は，点をグルグル回せ！

三角関数の増減をしっかり意識することができれば，有名角の三角関数の値や，三角関数のグラフは直ちに得られることを前回，前々回の記事で説明しました．

いずれの場合でも，単位円周上で点を動かすことを考えれば良いのでした．

今回の記事では $2\sin{\theta}=1$ や $2\sin{\bra{\theta-\dfrac{\pi}{3}}}<\sqrt{3}$ のような三角関数を含んだ方程式や不等式を扱います．

しかし，やることは変わらず，単位円周上で点を動かすだけです．

原点Oの $xy$ 平面上の偏角 $\theta$ の点Pについて，Pの $x$ 座標が $\cos{\theta}$ ， $y$ 座標が $\sin{\theta}$ であり，直線OPと直線 $x=1$ の交点の $y$ 座標が $\tan{\theta}$ なのでした．このことから， $xy$ 平面上の単位円上で点を動かすことにより，三角関数のグラフは直ちに得られます．

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1 三角関数の方程式
2 三角関数の不等式

三角関数の方程式

以下の問題を考えます．

次の $\theta$ の方程式を解け．

$\sin{\theta}=\dfrac{1}{2}\quad\bra{0\leqq\theta<2\pi}$
$\cos{\theta}=-\dfrac{1}{2}\quad\bra{0\leqq\theta<2\pi}$
$\tan{\theta}=-1\quad\bra{0\leqq\theta<2\pi}$
$\sin{\theta}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\quad\bra{-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}}$
$\cos{(\theta+\pi)}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\quad\bra{0<\theta\leqq\pi}$

以下，点Pを偏角 $\theta$ の単位円上の点，点Oを原点とします．

問1

$\sin{\theta}=\dfrac{1}{2}\quad\bra{0\leqq\theta<2\pi}$ を解きます．

点Pの $y$ 座標が $\sin{\theta}$ なので，これが $\dfrac{1}{2}$ となるような $\theta$ が解となります．

いま， $\theta$ は $0\leqq\theta<2\pi$ の範囲を動くので，単位円上の点Pは点 $(1,0)$ から反時計回りに1周します．この間で $\sin{\theta}$ が $\dfrac{1}{2}$ になればよい，すなわち，点Pが下図の赤点部にあればよいので，

解は $\theta=\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}$ となります．

問2

$\cos{\theta}=-\dfrac{1}{2}\quad\bra{0\leqq\theta<2\pi}$ を解きます．

点Pの $x$ 座標が $\cos{\theta}$ なので，これが $-\dfrac{1}{2}$ となるような $\theta$ が解となります．

いま， $\theta$ は $0\leqq\theta<2\pi$ の範囲を動くので，単位円上の点Pは点 $(1,0)$ から反時計回りに1周します．この間で $\cos{\theta}$ が $-\dfrac{1}{2}$ になればよい，すなわち，点Pが下図の赤点部にあればよいので，

解は $\theta=\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}$ となります．

問3

$\tan{\theta}=-1\quad\bra{0\leqq\theta<2\pi}$ を解きます．

直線OPと直線 $x=1$ の交点の $y$ 座標が $\tan{\theta}$ なので，これが $-1$ となるような $\theta$ が解となります．

いま， $\theta$ は $0\leqq\theta<2\pi$ の範囲を動くので，単位円上の点Pは点 $(1,0)$ から反時計回りに1周します．この間で $\tan{\theta}$ が $-1$ になればよい，すなわち，点Pが下図の赤点部にあればよいので，

解は $\theta=\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{7\pi}{4}$ となります．

問4

$\sin{\theta}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\quad\bra{-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}}$ を解きます．

点Pの $y$ 座標が $\sin{\theta}$ なので，これが $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となるような $\theta$ が解となります．

いま， $\theta$ は $-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}$ の範囲を動くので，単位円上の点Pは点 $(0,-1)$ から反時計回りに半周します．この間で $\sin{\theta}$ が $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ になればよい，すなわち，点Pが下図の赤点部にあればよいので，

解は $\theta=-\dfrac{\pi}{3}$ となります．

問5

$\cos{(\theta+\pi)}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\quad\bra{0<\theta\leqq\pi}$ を解きます．

まず， $\varphi=\theta+\pi$ とおくと，方程式は $\cos{\varphi}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ となり， $0<\theta\leqq\pi$ から $\pi<\varphi\leqq2\pi$ となるので，まずこれを解きましょう．

点Qを偏角 $\varphi$ の単位円上の点とすると，点Qの $x$ 座標が $\cos{\theta}$ なので，これが $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ となるような $\phi$ が解となります．

いま， $\varphi$ は $\pi<\varphi\leqq2\pi$ の範囲を動くので，単位円上の点Qは点 $(-1,0)$ から反時計回りに半周します．この間で $\cos{\varphi}$ が $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ になればよい，すなわち，点Qが下図の赤点部にあればよいので，

解は $\varphi=\dfrac{5\pi}{4}$ となります．もともと $\varphi=\theta+\pi$ とおいていたので，解は $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ となります．

$\sin{\theta}=k$ , $\cos{\theta}=k$ , $\tan{\theta}=k$ 型の方程式は $\theta$ の動く範囲を考えて，点を単位円周上で動かせばよい．

三角関数の不等式

上でみた方程式で，等号( $=$ )を不等号( $<$ , $>$ , $\leqq$ , $\geqq$ )に変えた以下の問題を考えます．

次の $\theta$ の方程式を解け．

$\sin{\theta}\geqq\dfrac{1}{2}\quad\bra{0\leqq\theta<2\pi}$
$\cos{\theta}>-\dfrac{1}{2}\quad\bra{0\leqq\theta<2\pi}$
$\tan{\theta}\leqq-1\quad\bra{0\leqq\theta<2\pi}$
$\sin{\theta}\leqq-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\quad\bra{-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}}$
$\cos{(\theta+\pi)}>\dfrac{\sqrt{2}}{2}\quad\bra{0<\theta\leqq\pi}$

以下，点Pを偏角 $\theta$ の単位円上の点，点Oを原点とします．

方程式の場合と同様に， $\theta$ の範囲を考えて，単位円上で点を動かして考えましょう．

問1

$\sin{\theta}\geqq\dfrac{1}{2}\quad\bra{0\leqq\theta<2\pi}$ を解きます．

点Pの $y$ 座標が $\sin{\theta}$ なので，これが $\dfrac{1}{2}$ 以上となるような $\theta$ が解となります．

いま， $\theta$ は $0\leqq\theta<2\pi$ の範囲を動くので，単位円上の点Pは点 $(1,0)$ から反時計回りに1周します．この間で $\sin{\theta}$ が $\dfrac{1}{2}$ 以上になればよい，すなわち，点Pが下図の赤線部にあればよいので，

解は $\dfrac{\pi}{6}\leqq\theta\leqq\dfrac{5\pi}{6}$ となります．

問2

$\cos{\theta}>-\dfrac{1}{2}\quad\bra{0\leqq\theta<2\pi}$ を解きます．

点Pの $x$ 座標が $\cos{\theta}$ なので，これが $-\dfrac{1}{2}$ より大きくなるような $\theta$ が解となります．

いま， $\theta$ は $0\leqq\theta<2\pi$ の範囲を動くので，単位円上の点Pは点 $(1,0)$ から反時計回りに1周します．この間で $\cos{\theta}$ が $-\dfrac{1}{2}$ より大きくなれば良い，すなわち，点Pが下図の赤線部にあればよいので，

解は $0\leqq\theta<\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}<\theta\leqq2\pi$ となります．

問3

$\tan{\theta}\leqq-1\quad\bra{0\leqq\theta<2\pi}$ を解きます．

直線OPと直線 $x=1$ の交点の $y$ 座標が $\tan{\theta}$ なので，これが $-1$ 以下になるような $\theta$ が解となります．

いま， $\theta$ は $0\leqq\theta<2\pi$ の範囲を動くので，単位円上の点Pは点 $(1,0)$ から反時計回りに1周します．この間で $\tan{\theta}$ が $-1$ 以下になればよい，すなわち，点Pが下図の赤線部にあればよいので，

解は $\dfrac{\pi}{2}<\theta\leqq\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}<\theta\leqq\dfrac{7\pi}{4}$ となります．

問4

$\sin{\theta}\leqq-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\quad\bra{-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}}$ を解きます．

点Pの $y$ 座標が $\sin{\theta}$ なので，これが $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 以下となるような $\theta$ が解となります．

いま， $\theta$ は $-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}$ の範囲を動くので，単位円上の点Pは点 $(0,-1)$ から反時計回りに半周します．この間で $\sin{\theta}$ が $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 以下になればよい，すなわち，点Pが下図の赤線部にあればよいので，

解は $-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq-\dfrac{\pi}{3}$ となります．

問5

$\cos{(\theta+\pi)}>\dfrac{\sqrt{2}}{2}\quad\bra{0<\theta\leqq\pi}$ を解きます．

まず， $\varphi=\theta+\pi$ とおくと，方程式は $\cos{\varphi}>\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ となり， $0<\theta\leqq\pi$ から $\pi<\varphi\leqq2\pi$ となるので，まずこれを解きましょう．

点Qを偏角 $\varphi$ の単位円上の点とすると，点Qの $x$ 座標が $\cos{\theta}$ なので，これが $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ より大きくなるような $\phi$ が解となります．

いま， $\varphi$ は $\pi<\varphi\leqq2\pi$ の範囲を動くので，単位円上の点Qは点 $(-1,0)$ から反時計回りに半周します．この間で $\cos{\varphi}$ が $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ より大きくなればよい，すなわち，点Qが下図の赤線部にあればよいので，

解は $\dfrac{5\pi}{4}<\varphi\leqq2\pi$ となります．もともと $\varphi=\theta+\pi$ とおいていたので，解は $\dfrac{\pi}{4}<\theta\leqq\pi$ となります．

三角関数の不等式も偏角 $\theta$ の動く範囲を考えて，単位円上で点を動かして考える．その際，端点を含むのか含まないのかによく注意する．