三角関数の方程式/不等式の解き方！単位円を考えよう！

例えば，

$2\cos{\theta}=-\sqrt{3}$ $(0\leqq\theta\leqq2\pi)$
$\tan{(\theta-\pi)}>\sqrt{3}$ $(0<\theta<\pi)$

のような三角関数に関する方程式，不等式は必ず解けるようになっておく必要があります．

前々回の記事で有名角の三角関数の値の考え方
前回の記事で三角関数のグラフ

について説明しました．

これらはいずれも， $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ の定義と， $\tan{\theta}$ の性質を意識すれば，すぐに解けるのでした．

この記事で説明する「三角関数の方程式と不等式」も同様に， $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ の定義と， $\tan{\theta}$ の性質を意識することで解くことができます．

一連の記事はこちら

【三角関数１｜三角関数/三角比の違いは？三角関数を定義しよう！】
【三角関数２｜偏角の変換公式は覚えるな！簡単に導く方法！】
【三角関数３｜「ラジアン」の考え方，公式はシンプル！】
【三角関数４｜有名角の三角関数は覚えるな！図で判断するコツ】
【三角関数５｜三角関数のグラフは縦や横から見るべし！】
【三角関数６｜三角関数の方程式や不等式は，点をグルグル回せ！】←今の記事
【三角関数７｜三角関数の加法定理の周辺を総まとめ】
【三角関数８｜Asinθ+Bcosθの形は三角関数の合成！】

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1 三角関数の方程式
2 三角関数の不等式

三角関数の方程式

以下の問題を考えます．

次の $\theta$ の方程式を解け．

$\sin{\theta}=\dfrac{1}{2}$ $(0\leqq\theta<2\pi)$
$\cos{\theta}=-\dfrac{1}{2}$ $(0\leqq\theta<2\pi)$
$\tan{\theta}=-1$ $(0\leqq\theta<2\pi)$
$\sin{\theta}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\bra{-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}}$
$2\cos{(\theta+\pi)}=\sqrt{2}$ $(0<\theta\leqq\pi)$

以下，偏角 $\theta$ の単位円上の点を点P，原点を点Oとします．

問1

$\sin{\theta}=\dfrac{1}{2}$ $(0\leqq\theta<2\pi)$ を解きます．

点Pの $y$ 座標が $\sin{\theta}$ なので，これが $\dfrac{1}{2}$ となるような $\theta$ が解となります．

いま， $\theta$ は $0\leqq\theta<2\pi$ の範囲を動くので，単位円上の点Pは点 $(1,0)$ から反時計回りに1周します．この間で $\sin{\theta}$ が $\dfrac{1}{2}$ になればよい，すなわち，点Pが下図の赤点部にあればよいので，

解は $\theta=\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}$ となります．

問2

$\cos{\theta}=-\dfrac{1}{2}$ $(0\leqq\theta<2\pi)$ を解きます．

点Pの $x$ 座標が $\cos{\theta}$ なので，これが $-\dfrac{1}{2}$ となるような $\theta$ が解となります．

いま， $\theta$ は $0\leqq\theta<2\pi$ の範囲を動くので，単位円上の点Pは点 $(1,0)$ から反時計回りに1周します．この間で $\cos{\theta}$ が $-\dfrac{1}{2}$ になればよい，すなわち，点Pが下図の赤点部にあればよいので，

解は $\theta=\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}$ となります．

問3

$\tan{\theta}=-1$ $(0\leqq\theta<2\pi)$ を解きます．

直線OPと直線 $x=1$ の交点の $y$ 座標が $\tan{\theta}$ なので，これが $-1$ となるような $\theta$ が解となります．

いま， $\theta$ は $0\leqq\theta<2\pi$ の範囲を動くので，単位円上の点Pは点 $(1,0)$ から反時計回りに1周します．この間で $\tan{\theta}$ が $-1$ になればよい，すなわち，点Pが下図の赤点部にあればよいので，

解は $\theta=\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{7\pi}{4}$ となります．

問4

$\sin{\theta}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\bra{-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}}$ を解きます．

点Pの $y$ 座標が $\sin{\theta}$ なので，これが $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となるような $\theta$ が解となります．

いま， $\theta$ は $-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}$ の範囲を動くので，単位円上の点Pは点 $(0,-1)$ から反時計回りに半周します．この間で $\sin{\theta}$ が $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ になればよい，すなわち，点Pが下図の赤点部にあればよいので，

解は $\theta=-\dfrac{\pi}{3}$ となります．

問5

$2\cos{(\theta+\pi)}=\sqrt{2}$ $(0<\theta\leqq\pi)$ を解きます．

$2\cos{(\theta+\pi)}=\sqrt{2}$ を整理すると， $\cos{(\theta+\pi)}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ですね．

$\varphi=\theta+\pi$ とおくと，方程式は $\cos{\varphi}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ となり， $0<\theta\leqq\pi$ から $\pi<\varphi\leqq2\pi$ となるので，まずこれを解きましょう．

点Qを偏角 $\varphi$ の単位円上の点とすると，点Qの $x$ 座標が $\cos{\theta}$ なので，これが $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ となるような $\phi$ が解となります．

いま， $\varphi$ は $\pi<\varphi\leqq2\pi$ の範囲を動くので，単位円上の点Qは点 $(-1,0)$ から反時計回りに半周します．この間で $\cos{\varphi}$ が $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ になればよい，すなわち，点Qが下図の赤点部にあればよいので，

解は $\varphi=\dfrac{5\pi}{4}$ となります．もともと $\varphi=\theta+\pi$ とおいていたので，解は $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ となります．

$\sin{\theta}=k$ , $\cos{\theta}=k$ , $\tan{\theta}=k$ 型の方程式は $\theta$ の動く範囲を考えて，点を単位円周上で動かせばよい．

三角関数の不等式

上でみた方程式で，等号( $=$ )を不等号( $<$ , $>$ , $\leqq$ , $\geqq$ )に変えた以下の問題を考えます．

次の $\theta$ の方程式を解け．

$\sin{\theta}\geqq\dfrac{1}{2}$ $(0\leqq\theta<2\pi)$
$\cos{\theta}>-\dfrac{1}{2}$ $(0\leqq\theta<2\pi)$
$\tan{\theta}\leqq-1$ $(0\leqq\theta<2\pi)$
$\sin{\theta}\leqq-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\bra{-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}}$
$\cos{(\theta+\pi)}>\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $(0<\theta\leqq\pi)$

以下，点Pを偏角 $\theta$ の単位円上の点，点Oを原点とします．

方程式の場合と同様に， $\theta$ の範囲を考えて，単位円上で点を動かして考えましょう．

問1

$\sin{\theta}\geqq\dfrac{1}{2}$ $(0\leqq\theta<2\pi)$ を解きます．

点Pの $y$ 座標が $\sin{\theta}$ なので，これが $\dfrac{1}{2}$ 以上となるような $\theta$ が解となります．

いま， $\theta$ は $0\leqq\theta<2\pi$ の範囲を動くので，単位円上の点Pは点 $(1,0)$ から反時計回りに1周します．この間で $\sin{\theta}$ が $\dfrac{1}{2}$ 以上になればよい，すなわち，点Pが下図の赤線部にあればよいので，

解は $\dfrac{\pi}{6}\leqq\theta\leqq\dfrac{5\pi}{6}$ となります．

問2

$\cos{\theta}>-\dfrac{1}{2}$ $(0\leqq\theta<2\pi)$ を解きます．

点Pの $x$ 座標が $\cos{\theta}$ なので，これが $-\dfrac{1}{2}$ より大きくなるような $\theta$ が解となります．

いま， $\theta$ は $0\leqq\theta<2\pi$ の範囲を動くので，単位円上の点Pは点 $(1,0)$ から反時計回りに1周します．この間で $\cos{\theta}$ が $-\dfrac{1}{2}$ より大きくなれば良い，すなわち，点Pが下図の赤線部にあればよいので，

解は $0\leqq\theta<\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}<\theta\leqq2\pi$ となります．

問3

$\tan{\theta}\leqq-1$ $(0\leqq\theta<2\pi)$ を解きます．

直線OPと直線 $x=1$ の交点の $y$ 座標が $\tan{\theta}$ なので，これが $-1$ 以下になるような $\theta$ が解となります．

いま， $\theta$ は $0\leqq\theta<2\pi$ の範囲を動くので，単位円上の点Pは点 $(1,0)$ から反時計回りに1周します．この間で $\tan{\theta}$ が $-1$ 以下になればよい，すなわち，点Pが下図の赤線部にあればよいので，

解は $\dfrac{\pi}{2}<\theta\leqq\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}<\theta\leqq\dfrac{7\pi}{4}$ となります．

問4

$\sin{\theta}\leqq-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\bra{-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}}$ を解きます．

点Pの $y$ 座標が $\sin{\theta}$ なので，これが $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 以下となるような $\theta$ が解となります．

いま， $\theta$ は $-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}$ の範囲を動くので，単位円上の点Pは点 $(0,-1)$ から反時計回りに半周します．この間で $\sin{\theta}$ が $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 以下になればよい，すなわち，点Pが下図の赤線部にあればよいので，

解は $-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq-\dfrac{\pi}{3}$ となります．

問5

$2\cos{(\theta+\pi)}>\sqrt{2}$ $(0<\theta\leqq\pi)$ を解きます．

$2\cos{(\theta+\pi)}>\sqrt{2}$ を整理すると， $\cos{(\theta+\pi)}>\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ですね．

$\varphi=\theta+\pi$ とおくと，方程式は $\cos{\varphi}>\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ となり， $0<\theta\leqq\pi$ から $\pi<\varphi\leqq2\pi$ となるので，まずこれを解きましょう．

点Qを偏角 $\varphi$ の単位円上の点とすると，点Qの $x$ 座標が $\cos{\theta}$ なので，これが $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ より大きくなるような $\phi$ が解となります．

いま， $\varphi$ は $\pi<\varphi\leqq2\pi$ の範囲を動くので，単位円上の点Qは点 $(-1,0)$ から反時計回りに半周します．この間で $\cos{\varphi}$ が $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ より大きくなればよい，すなわち，点Qが下図の赤線部にあればよいので，