三角関数６｜三角関数の方程式や不等式は，点をグルグル回せ！

例えば，

• $2\cos{\theta}=-\sqrt{3}$ $(0\leqq\theta\leqq2\pi)$
• $\tan{(\theta-\pi)}>\sqrt{3}$ $(0<\theta<\pi)$

のような三角関数に関する方程式，不等式は必ず解けるようになっておく必要があります．

• 前々回の記事で有名角の三角関数の値の考え方
• 前回の記事で三角関数のグラフ

について説明しました．

これらはいずれも，$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$の定義と，$\tan{\theta}$の性質を意識すれば，すぐに解けるのでした．

この記事で説明する「三角関数の方程式と不等式」も同様に，$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$の定義と，$\tan{\theta}$の性質を意識することで解くことができます．

三角関数の方程式

以下の問題を考えます．

以下，偏角$\theta$の単位円上の点を点P，原点を点Oとします．

問1

$\sin{\theta}=\dfrac{1}{2}$ $(0\leqq\theta<2\pi)$を解きます．

点Pの$y$座標が$\sin{\theta}$なので，これが$\dfrac{1}{2}$となるような$\theta$が解となります．

いま，$\theta$は$0\leqq\theta<2\pi$の範囲を動くので，単位円上の点Pは点$(1,0)$から反時計回りに1周します．この間で$\sin{\theta}$が$\dfrac{1}{2}$になればよい，すなわち，点Pが下図の赤点部にあればよいので，

解は$\theta=\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}$となります．

問2

$\cos{\theta}=-\dfrac{1}{2}$ $(0\leqq\theta<2\pi)$を解きます．

点Pの$x$座標が$\cos{\theta}$なので，これが$-\dfrac{1}{2}$となるような$\theta$が解となります．

いま，$\theta$は$0\leqq\theta<2\pi$の範囲を動くので，単位円上の点Pは点$(1,0)$から反時計回りに1周します．この間で$\cos{\theta}$が$-\dfrac{1}{2}$になればよい，すなわち，点Pが下図の赤点部にあればよいので，

解は$\theta=\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}$となります．

問3

$\tan{\theta}=-1$ $(0\leqq\theta<2\pi)$を解きます．

直線OPと直線$x=1$の交点の$y$座標が$\tan{\theta}$なので，これが$-1$となるような$\theta$が解となります．

いま，$\theta$は$0\leqq\theta<2\pi$の範囲を動くので，単位円上の点Pは点$(1,0)$から反時計回りに1周します．この間で$\tan{\theta}$が$-1$になればよい，すなわち，点Pが下図の赤点部にあればよいので，

解は$\theta=\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{7\pi}{4}$となります．

問4

$\sin{\theta}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\bra{-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}}$を解きます．

点Pの$y$座標が$\sin{\theta}$なので，これが$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$となるような$\theta$が解となります．

いま，$\theta$は$-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}$の範囲を動くので，単位円上の点Pは点$(0,-1)$から反時計回りに半周します．この間で$\sin{\theta}$が$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$になればよい，すなわち，点Pが下図の赤点部にあればよいので，

解は$\theta=-\dfrac{\pi}{3}$となります．

問5

$2\cos{(\theta+\pi)}=\sqrt{2}$ $(0<\theta\leqq\pi)$を解きます．

$2\cos{(\theta+\pi)}=\sqrt{2}$を整理すると，$\cos{(\theta+\pi)}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ですね．

$\varphi=\theta+\pi$とおくと，方程式は$\cos{\varphi}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$となり，$0<\theta\leqq\pi$から$\pi<\varphi\leqq2\pi$となるので，まずこれを解きましょう．

点Qを偏角$\varphi$の単位円上の点とすると，点Qの$x$座標が$\cos{\theta}$なので，これが$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$となるような$\phi$が解となります．

いま，$\varphi$は$\pi<\varphi\leqq2\pi$の範囲を動くので，単位円上の点Qは点$(-1,0)$から反時計回りに半周します．この間で$\cos{\varphi}$が$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$になればよい，すなわち，点Qが下図の赤点部にあればよいので，

解は$\varphi=\dfrac{5\pi}{4}$となります．もともと$\varphi=\theta+\pi$とおいていたので，解は$\theta=\dfrac{\pi}{4}$となります．

三角関数の不等式

上でみた方程式で，等号($=$)を不等号($<$, $>$, $\leqq$, $\geqq$)に変えた以下の問題を考えます．

以下，点Pを偏角$\theta$の単位円上の点，点Oを原点とします．

方程式の場合と同様に，$\theta$の範囲を考えて，単位円上で点を動かして考えましょう．

問1

$\sin{\theta}\geqq\dfrac{1}{2}$ $(0\leqq\theta<2\pi)$を解きます．

点Pの$y$座標が$\sin{\theta}$なので，これが$\dfrac{1}{2}$以上となるような$\theta$が解となります．

いま，$\theta$は$0\leqq\theta<2\pi$の範囲を動くので，単位円上の点Pは点$(1,0)$から反時計回りに1周します．この間で$\sin{\theta}$が$\dfrac{1}{2}$以上になればよい，すなわち，点Pが下図の赤線部にあればよいので，

解は$\dfrac{\pi}{6}\leqq\theta\leqq\dfrac{5\pi}{6}$となります．

問2

$\cos{\theta}>-\dfrac{1}{2}$ $(0\leqq\theta<2\pi)$を解きます．

点Pの$x$座標が$\cos{\theta}$なので，これが$-\dfrac{1}{2}$より大きくなるような$\theta$が解となります．

いま，$\theta$は$0\leqq\theta<2\pi$の範囲を動くので，単位円上の点Pは点$(1,0)$から反時計回りに1周します．この間で$\cos{\theta}$が$-\dfrac{1}{2}$より大きくなれば良い，すなわち，点Pが下図の赤線部にあればよいので，

解は$0\leqq\theta<\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}<\theta\leqq2\pi$となります．

問3

$\tan{\theta}\leqq-1$ $(0\leqq\theta<2\pi)$を解きます．

直線OPと直線$x=1$の交点の$y$座標が$\tan{\theta}$なので，これが$-1$以下になるような$\theta$が解となります．

いま，$\theta$は$0\leqq\theta<2\pi$の範囲を動くので，単位円上の点Pは点$(1,0)$から反時計回りに1周します．この間で$\tan{\theta}$が$-1$以下になればよい，すなわち，点Pが下図の赤線部にあればよいので，

解は$\dfrac{\pi}{2}<\theta\leqq\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}<\theta\leqq\dfrac{7\pi}{4}$となります．

問4

$\sin{\theta}\leqq-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\bra{-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}}$を解きます．

点Pの$y$座標が$\sin{\theta}$なので，これが$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$以下となるような$\theta$が解となります．

いま，$\theta$は$-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}$の範囲を動くので，単位円上の点Pは点$(0,-1)$から反時計回りに半周します．この間で$\sin{\theta}$が$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$以下になればよい，すなわち，点Pが下図の赤線部にあればよいので，

解は$-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq-\dfrac{\pi}{3}$となります．

問5

$2\cos{(\theta+\pi)}>\sqrt{2}$ $(0<\theta\leqq\pi)$を解きます．

$2\cos{(\theta+\pi)}>\sqrt{2}$を整理すると，$\cos{(\theta+\pi)}>\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ですね．

$\varphi=\theta+\pi$とおくと，方程式は$\cos{\varphi}>\dfrac{\sqrt{2}}{2}$となり，$0<\theta\leqq\pi$から$\pi<\varphi\leqq2\pi$となるので，まずこれを解きましょう．

点Qを偏角$\varphi$の単位円上の点とすると，点Qの$x$座標が$\cos{\theta}$なので，これが$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$より大きくなるような$\phi$が解となります．

いま，$\varphi$は$\pi<\varphi\leqq2\pi$の範囲を動くので，単位円上の点Qは点$(-1,0)$から反時計回りに半周します．この間で$\cos{\varphi}$が$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$より大きくなればよい，すなわち，点Qが下図の赤線部にあればよいので，

解は$\dfrac{5\pi}{4}<\varphi\leqq2\pi$となります．もともと$\varphi=\theta+\pi$とおいていたので，解は$\dfrac{\pi}{4}<\theta\leqq\pi$となります．