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三角関数6|三角関数の方程式や不等式は,点をグルグル回せ!

例えば,

  • 2\cos{\theta}=-\sqrt{3} (0\leqq\theta\leqq2\pi)
  • \tan{(\theta-\pi)}>\sqrt{3} (0<\theta<\pi)

のような三角関数に関する方程式,不等式は必ず解けるようになっておく必要があります.

  • 前々回の記事で有名角の三角関数の値の考え方
  • 前回の記事で三角関数のグラフ

について説明しました.

これらはいずれも,\sin{\theta}, \cos{\theta}の定義と,\tan{\theta}の性質を意識すれば,すぐに解けるのでした.

この記事で説明する「三角関数の方程式と不等式」も同様に,\sin{\theta}, \cos{\theta}の定義と,\tan{\theta}の性質を意識することで解くことができます.

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三角関数の方程式

以下の問題を考えます.

次の\thetaの方程式を解け.

  1. \sin{\theta}=\dfrac{1}{2} (0\leqq\theta<2\pi)
  2. \cos{\theta}=-\dfrac{1}{2} (0\leqq\theta<2\pi)
  3. \tan{\theta}=-1 (0\leqq\theta<2\pi)
  4. \sin{\theta}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \bra{-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}}
  5. 2\cos{(\theta+\pi)}=\sqrt{2} (0<\theta\leqq\pi)

以下,偏角\thetaの単位円上の点を点P,原点を点Oとします.

問1

\sin{\theta}=\dfrac{1}{2} (0\leqq\theta<2\pi)を解きます.

点Pのy座標が\sin{\theta}なので,これが\dfrac{1}{2}となるような\thetaが解となります.

いま,\theta0\leqq\theta<2\piの範囲を動くので,単位円上の点Pは点(1,0)から反時計回りに1周します.この間で\sin{\theta}\dfrac{1}{2}になればよい,すなわち,点Pが下図の赤点部にあればよいので,

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解は\theta=\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}となります.

問2

\cos{\theta}=-\dfrac{1}{2} (0\leqq\theta<2\pi)を解きます.

点Pのx座標が\cos{\theta}なので,これが-\dfrac{1}{2}となるような\thetaが解となります.

いま,\theta0\leqq\theta<2\piの範囲を動くので,単位円上の点Pは点(1,0)から反時計回りに1周します.この間で\cos{\theta}-\dfrac{1}{2}になればよい,すなわち,点Pが下図の赤点部にあればよいので,

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解は\theta=\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}となります.

問3

\tan{\theta}=-1 (0\leqq\theta<2\pi)を解きます.

直線OPと直線x=1の交点のy座標が\tan{\theta}なので,これが-1となるような\thetaが解となります.

いま,\theta0\leqq\theta<2\piの範囲を動くので,単位円上の点Pは点(1,0)から反時計回りに1周します.この間で\tan{\theta}-1になればよい,すなわち,点Pが下図の赤点部にあればよいので,

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解は\theta=\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{7\pi}{4}となります.

問4

\sin{\theta}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \bra{-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}}を解きます.

点Pのy座標が\sin{\theta}なので,これが-\dfrac{\sqrt{3}}{2}となるような\thetaが解となります.

いま,\theta-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}の範囲を動くので,単位円上の点Pは点(0,-1)から反時計回りに半周します.この間で\sin{\theta}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}になればよい,すなわち,点Pが下図の赤点部にあればよいので,

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解は\theta=-\dfrac{\pi}{3}となります.

問5

2\cos{(\theta+\pi)}=\sqrt{2} (0<\theta\leqq\pi)を解きます.

2\cos{(\theta+\pi)}=\sqrt{2}を整理すると,\cos{(\theta+\pi)}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}ですね.

\varphi=\theta+\piとおくと,方程式は\cos{\varphi}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}となり,0<\theta\leqq\piから\pi<\varphi\leqq2\piとなるので,まずこれを解きましょう.

点Qを偏角\varphiの単位円上の点とすると,点Qのx座標が\cos{\theta}なので,これが-\dfrac{\sqrt{2}}{2}となるような\phiが解となります.

いま,\varphi\pi<\varphi\leqq2\piの範囲を動くので,単位円上の点Qは点(-1,0)から反時計回りに半周します.この間で\cos{\varphi}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}になればよい,すなわち,点Qが下図の赤点部にあればよいので,

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解は\varphi=\dfrac{5\pi}{4}となります.もともと\varphi=\theta+\piとおいていたので,解は\theta=\dfrac{\pi}{4}となります.

\sin{\theta}=k, \cos{\theta}=k, \tan{\theta}=k型の方程式は\thetaの動く範囲を考えて,点を単位円周上で動かせばよい.

三角関数の不等式

上でみた方程式で,等号(=)を不等号(<, >, \leqq, \geqq)に変えた以下の問題を考えます.

次の\thetaの方程式を解け.

  1. \sin{\theta}\geqq\dfrac{1}{2} (0\leqq\theta<2\pi)
  2. \cos{\theta}>-\dfrac{1}{2} (0\leqq\theta<2\pi)
  3. \tan{\theta}\leqq-1 (0\leqq\theta<2\pi)
  4. \sin{\theta}\leqq-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \bra{-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}}
  5. \cos{(\theta+\pi)}>\dfrac{\sqrt{2}}{2} (0<\theta\leqq\pi)

以下,点Pを偏角\thetaの単位円上の点,点Oを原点とします.

方程式の場合と同様に,\thetaの範囲を考えて,単位円上で点を動かして考えましょう.

問1

\sin{\theta}\geqq\dfrac{1}{2} (0\leqq\theta<2\pi)を解きます.

点Pのy座標が\sin{\theta}なので,これが\dfrac{1}{2}以上となるような\thetaが解となります.

いま,\theta0\leqq\theta<2\piの範囲を動くので,単位円上の点Pは点(1,0)から反時計回りに1周します.この間で\sin{\theta}\dfrac{1}{2}以上になればよい,すなわち,点Pが下図の赤線部にあればよいので,

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解は\dfrac{\pi}{6}\leqq\theta\leqq\dfrac{5\pi}{6}となります.

問2

\cos{\theta}>-\dfrac{1}{2} (0\leqq\theta<2\pi)を解きます.

点Pのx座標が\cos{\theta}なので,これが-\dfrac{1}{2}より大きくなるような\thetaが解となります.

いま,\theta0\leqq\theta<2\piの範囲を動くので,単位円上の点Pは点(1,0)から反時計回りに1周します.この間で\cos{\theta}-\dfrac{1}{2}より大きくなれば良い,すなわち,点Pが下図の赤線部にあればよいので,

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解は0\leqq\theta<\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}<\theta\leqq2\piとなります.

問3

\tan{\theta}\leqq-1 (0\leqq\theta<2\pi)を解きます.

直線OPと直線x=1の交点のy座標が\tan{\theta}なので,これが-1以下になるような\thetaが解となります.

いま,\theta0\leqq\theta<2\piの範囲を動くので,単位円上の点Pは点(1,0)から反時計回りに1周します.この間で\tan{\theta}-1以下になればよい,すなわち,点Pが下図の赤線部にあればよいので,

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解は\dfrac{\pi}{2}<\theta\leqq\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}<\theta\leqq\dfrac{7\pi}{4}となります.

問4

\sin{\theta}\leqq-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \bra{-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}}を解きます.

点Pのy座標が\sin{\theta}なので,これが-\dfrac{\sqrt{3}}{2}以下となるような\thetaが解となります.

いま,\theta-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}の範囲を動くので,単位円上の点Pは点(0,-1)から反時計回りに半周します.この間で\sin{\theta}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}以下になればよい,すなわち,点Pが下図の赤線部にあればよいので,

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解は-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq-\dfrac{\pi}{3}となります.

問5

2\cos{(\theta+\pi)}>\sqrt{2} (0<\theta\leqq\pi)を解きます.

2\cos{(\theta+\pi)}>\sqrt{2}を整理すると,\cos{(\theta+\pi)}>\dfrac{\sqrt{2}}{2}ですね.

\varphi=\theta+\piとおくと,方程式は\cos{\varphi}>\dfrac{\sqrt{2}}{2}となり,0<\theta\leqq\piから\pi<\varphi\leqq2\piとなるので,まずこれを解きましょう.

点Qを偏角\varphiの単位円上の点とすると,点Qのx座標が\cos{\theta}なので,これが-\dfrac{\sqrt{2}}{2}より大きくなるような\phiが解となります.

いま,\varphi\pi<\varphi\leqq2\piの範囲を動くので,単位円上の点Qは点(-1,0)から反時計回りに半周します.この間で\cos{\varphi}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}より大きくなればよい,すなわち,点Qが下図の赤線部にあればよいので,

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解は\dfrac{5\pi}{4}<\varphi\leqq2\piとなります.もともと\varphi=\theta+\piとおいていたので,解は\dfrac{\pi}{4}<\theta\leqq\piとなります.

三角関数の不等式も偏角\thetaの動く範囲を考えて,単位円上で点を動かして考える.その際,端点を含むのか含まないのかによく注意する.

最後まで読んで下さってありがとうございました!

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