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極限の基本1|lim(リミット)は何を意味しているのか

「極限」には「関数の極限」と「数列の極限」の2つがありますが,この記事では数IIで習う「関数の極限」について扱います.

「数列の極限」と「関数の極限」の違いを知っておくことは重要ですが,これについては次の記事で書くことにします.

平たくいえば,「関数の極限」とは,関数f(x)xをある実数aに近付けたときに,関数f(x)がどのような値に近付くのか,ということです.

とくに文系の人にとって,極限の概念は「で,それがどうしたの」な概念の1つです.しかし,極限は「縁の下の力持ち」的な概念で様々なところに登場してきますから,しっかり理解しておくことが大切です.

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「関数の極限」の基本

私の持っている数学IIの教科書によると,「関数の極限」は次のように書かれています.

関数f(x)において,xaと異なる値を取りながらaに限りなく近づくとき,f(x)がある一定の値\alphaに限りなく近づく場合

\lim\limits_{x\to a}f(x)=\alpha または x \to aのときf(x)\to\alpha

と書き,この値\alphaを,x\to aのときのf(x)の極限値という.

この中で大事な部分はいくつかあるのですが,最も大切な部分は「xaと異なる値を取りながら」という部分でしょう.

\lim\limits_{x\to1}(x^2-3x+2)x^2-3x+2x=1を代入したら0と出てくるけど,\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}x=1を代入すると分母が0になるからあかんのんとちゃうの?」

というのはよくある質問なのです.

これに対する答えは,「あくまで極限はx1に近づけるだけであって,x=1を代入するのではない!」です.「極限と代入は違う!」ということに注意して下さい.

ですから,「xを1に近づけたときに\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}が『近づく』値」というのが,\lim\limits_{x\to1}\displaystyle\frac{x^2-3x+2}{x-1}が示す意味なのです.

ですから,むしろx1になってはいけないのです.この意味で,「xaと異なる値を取りながら」という部分が大切なのです.

x^2-3x+2x1に近づけると,それはたまたまx=1を代入した値に近づくので,\lim\limits_{x\to1}(x^2-3x+2)の値はx=1を代入したものが極限になっているだけなのです.

それでもう一度\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}を見てみます.

これは分母も分子も0に近づくので,極限は\dfrac{0}{0}としてはいけません.\dfrac{0}{0}は不定形といってこれは答えになっていません.詳しくはあとで書きます.

ひとまず,この問題の解答を書くと次のようになります.

 [解答]

x\to1を考えているので,上で書いたようにx\neq1です.また,x^2-3x+2=(x-1)(x-2)ですから,\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}=x-2と約分できます.よって,

\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}=\lim\limits_{x\to1} (x-2)=-1

が得られます.

 [解答終]

不定形の注意点

上で「分子も分母も0に収束するから,極限は\dfrac{0}{0}である」としてはいけない,と書きました.これはどういうことなのか考えます.

たとえば,\lim\limits_{x\to1} \dfrac{x-1}{x-1}\lim\limits_{x\to1} \dfrac{2(x-1)}{x-1}は両方とも分母も分子も0に収束します.ですが,前者は

\lim\limits_{x\to1} \dfrac{x-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to1} 1=1

で,後者は

\lim\limits_{x\to1} \dfrac{2(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1} 2=2

です.ともに\dfrac{0}{0}の形ですが,極限値は1になったり2になったりしてしまいました.

このように,分母と分子を別々に極限をとって\dfrac{0}{0}の形になった場合,その時々によって極限値が変わってくるのです.

ですから,何とかして\dfrac{0}{0}となる状況を脱してやらなければなりません.そして,その多くの場合で,約分してやるとうまくいくことが多いのです.

また,\dfrac{\infty}{\infty}0\cdot\infty\infty-\inftyの形になるものも「不定形」と呼ばれ,これらもその時々によって極限値が変わってきます.

たとえば,\lim\limits_{x\to1} \dfrac{\dfrac{1}{x-1}}{\dfrac{1}{x-1}}\lim\limits_{x\to1} \dfrac{\dfrac{2}{x-1}}{\dfrac{1}{x-1}}\dfrac{\infty}{\infty}の形の不定形ですが,前者の極限値は1で,後者の極限値は2と極限値が異なります.

必ず不定形は不定形にならない式に変形してから,極限をとらなければならないことに注意して下さい.

次の記事「極限の基本2 ―「関数の極限」と「数列の極限」の違い―」に続きます.

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