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極限の基本1|lim(リミット)は何を意味しているのか

  
   

「極限」には「関数の極限」と「数列の極限」の2つがありますが,この記事では数IIで習う「関数の極限」について扱います.

「数列の極限」と「関数の極限」の違いを知っておくことは重要ですが,これについては次の記事【極限の基本2|「関数の極限」と「数列の極限」の違い】で書くことにします.

平たくいえば,「関数の極限」とは,関数f(x)xをある実数aに近付けたときに,関数f(x)がどのような値に近付くのか,ということです.

とくに文系の人にとって,極限の概念は微分を学ぶ時にしか出て来ず,しかも微分を習った後はほとんど極限を扱うことはないので,あまり印象に残らないようです.

しかし,理系の人は数IIIでは極限を頻繁に使うことになりますから,確実に押さえておいてください.

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「関数の極限」の基本

私の持っている数学IIの教科書によると,「関数の極限」は次のように書かれています.

[関数の極限] 関数f(x)において,xaと異なる値を取りながらaに限りなく近づくとき,f(x)がある一定の値\alphaに限りなく近づく場合

\lim\limits_{x\to a}f(x)=\alpha または x \to aのときf(x)\to\alpha

と書き,この値\alphaを,x\to aのときのf(x)の極限値という.

まず,次の[問1],[問2]を考えてみます.

[問1] 極限\lim\limits_{x\to3}(x^2+2x-3)を求めよ.

[問2] 極限\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}を求めよ.

[解答]

[問1] x\to3のとき,x^2+2x-33^2+2\cdot3-3=12に近付く.

したがって,\lim\limits_{x\to1}(x^2+2x+3)=12である.

[問2] \dfrac{x^2-3x+2}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2だから,x\to1のとき1-2=-1に近付く.

したがって,\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}=-1である.

[解答終]

[問2]では,

\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}の分母x-1x=1を代入したら0になるけど,分母って0になったらあかんのとちゃうの?」

という疑問を持った人がいるかもしれません.

確かに,分母が0の分数は確かに考えることはできません.しかし,極限と代入は違うのです.

どういうことかというと,上で書いたように極限では,あくまで「xaと異なる値を取りながらaに限りなく近づくとき」を考えます.

[問2]ではあくまで極限はx1に近づけるだけであって,x=1を代入するのではないのです.

ですから,「x1に近づけたときに\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}が近付いていく値」というのが,\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}の意味なのです.

したがって,むしろx1になってはいけないのです.x1にどれだけ近付いてもx\neq1である限り,\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}を考えることに問題はありません.

[問1]では,x^2+2x-3x3に近づけると,x=3を代入した値に近づくので,\lim\limits_{x\to1}(x^2-3x+2)の値はx=1を代入したものが極限になっているだけなのです.

不定形

もう一度,[問2]の\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}を見てみます.

\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}x\to1で分母も分子も0に近づくので,極限は\dfrac{0}{0}と書きたいところなのですが,実はこれではいけません.\dfrac{0}{0}不定形といって,答えになっていないのです.

次の[問3]を考えてみます.

[問3] 極限\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}を求めよ.

[解答]

\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2(x-1)(x-2)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}2(x-2)=-2

[解答終]

さて,[問3]の\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}をよく見てみると,x\to1で分母も分子も0に近付きます.つまり,不定形\dfrac{0}{0}となります.

さて,[問2]の極限も[問3]の極限も,ともに不定形\dfrac{0}{0}ですが,[問2]の極限は-1で[問3]の極限は-2となりました.

つまり,同じ不定形\dfrac{0}{0}でも極限は異なるのです.この意味で,\dfrac{0}{0}では答えになっていないのです.可能性がたくさんありますから.

ですから,何とかして\dfrac{0}{0}となる状況を脱しなければなりません.そして,約分するとうまくいく場合が多いのです.

また,\dfrac{\infty}{\infty}0\cdot\infty\infty-\inftyの形になるものも「不定形」と呼ばれ,これらもその時々によって極限値が変わってきます.

このように,不定形は約分などにより不定形にならない式に変形してから,極限をとらなければ極限が分からないことに注意して下さい.

極限の基本2|「関数の極限」と「数列の極限」の違い】に続きます.

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