無限級数2
無限級数の発散条件と収束しない3つの例

極限
極限

前回の記事で説明したように,数列$\{a_n\}$の項を初項から順に

   \begin{align*} a_1+a_2+a_3+\dots+a_n+\dots \end{align*}

と無限に足していくとき,この和を$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$と表し,数列$\{a_n\}$の無限級数というのでした.

きちんとした定義は

   \begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_k =\lim_{n\to\infty}(a_1+a_2+\dots+a_n) \end{align*}

でしたね.すなわち,部分和$\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$で極限$n\to\infty$をとったもの無限級数というのでした.

前回の記事では無限級数の具体例として,一般項が$a_n=\dfrac{1}{2^n}$の数列の無限級数が

   \begin{align*} \frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^n}+\dots=1 \end{align*}

と$1$に収束することをみましたが,無限級数はいつでも収束するとは限りません.むしろ収束しない無限級数はたくさんあります.

収束・発散の判定が難しい無限級数もありますが,一発で発散することが判定できる無限級数もあります.

この記事では

  • 無限級数の基本の発散条件
  • 発散する無限級数の具体例

を順に説明します.

無限級数の収束条件

無限級数の基本の発散条件の証明のためには次の定理が重要です.

数列$\{a_n\}$に対して,無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$が収束すれば,$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$が成り立つ.

無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$の第$n$項までの部分和を$S_n$とする.すなわち,

   \begin{align*} S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k \end{align*}

とする.このとき,$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$であり,$S_{n}$, $S_{n-1}$はともに$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$に収束するから,

   \begin{align*} \lim_{n\to\infty}S_{n}=\lim_{n\to\infty}S_{n-1} \end{align*}

が成り立つ.よって,

   \begin{align*} \lim_{n\to\infty}a_{n} =&\lim_{n\to\infty}(S_n-S_{n-1}) \\=&\lim_{n\to\infty}S_n-\lim_{n\to\infty}S_{n-1} =0 \end{align*}

が従う.

この証明でよく「$S_{n-1}$と$S_n$は同じとは限らないが,$\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}=\lim\limits_{n\to\infty}S_{n-1}$となるのはなぜか?」という質問を受けます.

そもそも極限というのは「どこに近付くか」ということを表すものであって,「何になるか」ではないことが大切です.つまり,$\lim\limits_{n\to\infty}S_n$は「$n$を大きくしていくと$S_n$がどこに『近付くのか』」という意味なわけですね.

いま$S_n$も$S_{n-1}$も無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$に近付くので$\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}=\lim\limits_{n\to\infty}S_{n-1}$が成り立つというわけですね.

さて,この定理は対偶を考えて,次の[無限級数の発散条件]の形で考えることが多いです.

[無限級数の発散条件] 数列$\{a_n\}$に対して,$\lim\limits_{n\to\infty}a_n\neq0$であれば,無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$は収束しない.

つまり,無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$をみたとき,$\lim\limits_{n\to\infty}a_n\neq0$であれば一発で収束しない無限級数であることが分かるわけですね.

$a_n$が$0$でないところを無限にさまよっていては,無限級数が収束しなさそうなことは直感的にも分かりますね.

無限級数が収束しない例

いくつかの発散する無限級数を考えましょう.

例1

一般項が$a_n=\dfrac{n}{n+1}$の数列$\{a_n\}$の無限級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$が発散することを示せ.

数列$\{a_n\}$の極限は

   \begin{align*} \lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}} =\frac{1}{1+0} =1 \end{align*}

だから,数列$\{a_n\}$は$0$に収束しない.

よって,[無限級数の発散条件]から無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$は収束しない.

十分大きい$n$に対しては$a_n\approx 1$ですから,この無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$はほとんど$1$の項を無限に足し続けることになります.

そう考えると確かにどこかの値に収束することはなさそうですね.

例2

一般項が$a_n=(-1)^n$の数列$\{a_n\}$の無限級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$が発散することを示せ.

問題の数列$\{a_n\}$は

  • $n$が奇数のとき$a_n=-1$
  • $n$が偶数のとき$a_n=1$

だから,数列$\{a_n\}$は$0$に収束しない(発散する).

よって,[無限級数の発散条件]から無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$は収束しない.

実際に$a_n=(-1)^n$の初項から第$n$項までの部分和$S_n$を考えると,

  • $S_1=a_1=-1$
  • $S_2=a_1+a_2=0$
  • $S_3=a_1+a_2+a_3=-1$
  • $S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=0$
  • ……

と$0$と$-1$を往復することが分かります.詳しく書けば,

  • $n$が偶数のとき,$S_n=-1+1-\dots+1=0$
  • $n$が奇数のとき,$S_n=-1+1-\dots-1=-1$

と部分和$S_n$は$0$と$-1$の間を行き来するので,無限級数$\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$は振動する,ということになります.

確かに無限級数$\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$が発散していることが分かりましたね.

例3

一般項が$a_n=\dfrac{1}{n}$の数列$\{a_n\}$の無限級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$が発散することを示せ.

[無限級数の発散条件]から,$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0$となっていなければ無限級数は発散するのでしたから,一度$a_n$の極限がどうなるかを考えると

   \begin{align*} \lim_{n\to\infty} a_n =\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n}=0 \end{align*}

となっていますから,$\{a_n\}$は$0$に収束しています.したがって,[無限級数の発散条件]を適用することはできません.

しかし,次のように発散することが証明できます.

任意の$k=1,2,\dots$に対して,$a_{2^k+1}$から$a_{2^{k+1}}$をまとめて足し合わせると

   \begin{align*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n =&\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\bra{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}+\bra{\frac{1}{5}+\dots+\frac{1}{8}} \\&+\bra{\frac{1}{9}+\dots+\frac{1}{16}}+\bra{\frac{1}{17}+\dots+\frac{1}{32}}+\dots \\>&\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\bra{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}+\bra{\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{8}} \\&+\bra{\frac{1}{16}+\dots+\frac{1}{16}}+\bra{\frac{1}{32}+\dots+\frac{1}{32}}+\dots \\=&\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots =\infty \end{align*}

と発散することが分かる.

つまり,任意の$k=1,2,\dots$に対して

   \begin{align*} \frac{1}{2^k+1}+\frac{1}{2^k+2}+\dots+\frac{1}{2^{k+1}}>\frac{1}{2} \end{align*}

となることを用いているわけですね.

積分を用いても発散することは証明できます(数学IIIの重要な基本問題です)が,少しテーマが変わるのでここでは省略します.

ここで「え?$\lim_{n\to\infty}a_n=0$なのに発散するって[無限級数の発散条件]と矛盾してない?」と思う方もいらっしゃるかもしれません.

結論から言えば矛盾していません.もう一度[無限級数の発散条件]を確認してみましょう.

[無限級数の発散条件(再掲)] 数列$\{a_n\}$に対して,$\lim\limits_{n\to\infty}a_n\neq0$であれば,無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$は収束しない.

この定理では逆の「$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0$のときの無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$の発散・収束」については何も言っていないということに注意してください.

そして,この例3の数列$\{a_n\}$が実際に「$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$は満たすが,無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$が収束しない例」になっているわけですね.

無限等比級数

等比数列$\{a_n\}$の無限級数$\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$を無限等比級数といいます.

一般に無限級数は収束・発散の判定がそもそも判定が難しいことも多いのですが,無限級数の中でも無限等比級数は収束・発散が簡単に分かり,収束する場合にはその極限値も簡単に分かる重要な無限級数です.

次の記事では無限等比級数の収束・発散の条件について説明します.

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