極限の基本2
「関数の極限」と「数列の極限」の2つの違い

極限
極限

多くの場合で関数の極限数列の極限の違いを意識していなくても困りませんが,これらが分かっていないと間違えてしまう問題も実はあります.

例えば,

  • 数列$a_n=\sin{\pi n}$
  • 関数$f(x)=\sin{\pi x}$

としたとき,$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$と$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$は異なる結果になります.

この記事では

  • 数列$a_n$の極限
  • 関数$f(x)$の極限

の違いを2つ順に説明します.

関数の極限と数列の極限の1つ目の違い

関数の極限には

   \begin{align*}x\to a,\quad x\to \pm\infty,\quad x\to a\pm0\end{align*}

の3種類がある一方で,数列の極限には

   \begin{align*}n\to\infty\end{align*}

しかありません.これが1つ目の違いです.

関数の極限

3種類の関数の極限の定義をそれぞれ確認しましょう.

$x\to a$の極限

$x\to a$の極限は微分を定義するために必要なので,数学IIで扱いますね.

[関数の極限1] $x$が$a$と異なる値を取りながら$a$に限りなく近づくとき,関数$f(x)$がある一定の値$\alpha$に限りなく近付くならば,このことを

   \begin{align*}\lim\limits_{x\to a}f(x)=\alpha\end{align*}

または

   \begin{align*}f(x)\to\alpha\quad(x\to a)\end{align*}

などと表す.また,このとき$x\to a$のとき$f(x)$は$\alpha$に収束するといい,$\alpha$を$x\to a$のときの$f(x)$の極限値という.

この$x\to a$の極限について詳しくは以下の記事を参照してください.

極限の基本1
lim(リミット)の意味は?極限の考え方
高校数学では「関数の極限」は微分を定義するために導入することになります.しかし,そこではあまり深く踏み込まないので,曖昧なままなってしまう人が多く見受けられます.この記事では関数の極限の考え方を基礎から説明します.

$x\to\infty$, $x\to-\infty$の極限

$x\to\infty$, $x\to-\infty$の極限は数学IIIの範囲です.

上でみた$x\to a$の極限は値$a$に$x$を近付けるときの話でしたが,$x\to\infty$, $x\to-\infty$の極限は$x$をどこまでも大きくする,またはどこまでも小さくするときの話です.

[関数の極限2] 正の$x$が限りなく大きくなるとき,関数$f(x)$がある一定の値$\alpha$に限りなく近付くならば,このことを

   \begin{align*}\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\alpha\end{align*}

   \begin{align*}f(x)\to\alpha\quad(x\to \infty)\end{align*}

などと表す.また,このとき$x\to \infty$のとき$f(x)$は$\alpha$に収束するといい,$\alpha$を$x\to \infty$のときの$f(x)$の極限値という.

[関数の極限2’] 負の$x$が限りなく小さくなるとき,関数$f(x)$がある一定の値$\alpha$に限りなく近付くならば,このことを

   \begin{align*}\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\alpha\end{align*}

または

   \begin{align*}f(x)\to\alpha\quad(x\to -\infty)\end{align*}

などと表す.また,このとき$x\to-\infty$のとき$f(x)$は$\alpha$に収束するといい,$\alpha$を$x\to-\infty$のときの$f(x)$の極限値という.

この極限は数学IIIの範囲です.

ある値に近付けるのではなく,限りなくどんどん$x$を大きくしたり,小さくしたりするのがこの極限です.

$x\to a+0$, $x\to a-0$の極限

$x\to a+0$, $x\to a-0$の極限は数学IIIの範囲です.

上でみた$x\to a$の極限では$x$を$a$にどのように近付けても良いのに対して,違いは$x\to a+0$, $x\to a-0$の極限は$x$を大きい方から,または小さい方から$a$に近づけるときの話です.

[関数の極限3] $x$が$a$より大きい値を取りながら$a$に限りなく近づくとき,関数$f(x)$がある一定の値$\alpha$に限りなく近付くならば,このことを

   \begin{align*}\lim\limits_{x\to a+0}f(x)=\alpha\end{align*}

または

   \begin{align*}f(x)\to\alpha\quad(x\to a+0)\end{align*}

などと表す.また,このとき$\alpha$を$x\to a+0$のときの$f(x)$の右極限という.

[関数の極限3’] $x$が$a$より小さい値を取りながら$a$に限りなく近づくとき,関数$f(x)$がある一定の値$\alpha$に限りなく近付くならば,このことを

   \begin{align*}\lim\limits_{x\to a+0}f(x)=\alpha\end{align*}

または

   \begin{align*}f(x)\to\alpha\quad(x\to a-0)\end{align*}

などと表す.また,このとき$\alpha$を$x\to a-0$のときの$f(x)$の左極限という.

上の定義で$a=0$の場合には,右極限,左極限はそれぞれ$x\to+0$, $x\to-0$と表します.

例えば,$y=\dfrac{1}{x}$のグラフを描くと,以下のようになります.

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この図から

  • $x$を$0$に右から(大きい方から)近付けると,$\dfrac{1}{x}$はどんどん大きくなるので$\lim\limits_{x\to+0}\dfrac{1}{x}=\infty$
  • $x$を$0$に左から(小さい方から)近付けると,$\dfrac{1}{x}$はどんどん小さくなるので$\lim\limits_{x\to+0}\dfrac{1}{x}=-\infty$

となります.

普通の極限$x\to a$は右極限$x\to a+0$と左極限$x\to a-0$が異なる場合には「存在しない」とするので,$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1}{x}$は存在しません.

数列の極限

一方,1種類しかない数列の極限の定義を確認しましょう.

[数列の極限] 数列$\{a_n\}$に対して,$n$を限りなく大きくするとき,$a_n$がある一定の値$\alpha$に限りなく近づくならば,

   \begin{align*}\lim\limits_{n\to \infty}a_n=\alpha\end{align*}

または

   \begin{align*}a_n\to\alpha\quad(n\to\infty)\end{align*}

などと表す.また,このとき$n\to \infty$のとき$\{a_n\}$は$\alpha$に収束するといい,$\alpha$を$n\to \infty$のときの$\{a_n\}$の極限値という.

数列の極限には関数の極限での$x \to a$に相当する極限はありません.

これは例えば関数の極限では

  • $f(2.9)$
  • $f(2.99)$
  • $f(2.999)$
  • $\dots$

のように$x$を$3$に近付けていくことで$x\to 3$の極限を考えることができますが,数列の$n$は整数なので$n=2,2.9,2.99,2.999,\dots$などとすることができないためです.

関数の極限と数列の極限の2つ目の違い

2つ目の違いを見るために,冒頭でも紹介した次の問題を考えましょう.

次の問いに答えよ.

  • 関数$f(x)=\sin{\pi x}$について,極限$\lim\limits_{x\to\infty} f(x)$が存在すれば求めよ.
  • 数列$a_n=\sin{\pi n}$について,極限$\lim\limits_{n\to\infty} a_n$が存在すれば求めよ.

冒頭でも書いたように,この2つの極限は異なります.

$a_n=\sin{\pi n}$と$f(x)=\sin{\pi x}$の違いは$n$と$x$の違いだけなので,「数列の$n$と関数の$x$がそれぞれ何者か」というところがポイントです.

関数の極限

まずは1問目です.$x$は実数なので,$f(x)=\sin{\pi x}$は$-1$から$1$の間を無限に往復し続けます.

このため,$x$をどんどん大きくしても,どこかに近付くということはありません.

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したがって,$\lim\limits_{x\to\infty} f(x)$は存在しません.

数列の極限

次に2問目です.$a_n=\sin{\pi n}$で定まる数列$\{a_n\}$は

  • $a_1=\sin{\pi}=0$
  • $a_2=\sin{2\pi}=0$
  • $a_3=\sin{3\pi}=0$
  • $\dots$

ですから,任意の自然数$n$に対して$a_n=0$です.

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よって,

   \begin{align*}\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} 0=0\end{align*}

極限$\lim\limits_{n\to\infty} a_n$が存在します.

数列の極限では$n$が整数を動くので,整数以外の$x$も考慮する関数の極限とは答えが異なるわけですね.

このように2問並べると違いに気付いて正しく答えられるかもしれませんが,どちらか1問を出されたときでも数列の極限なのか関数の極限なのかをしっかり意識して考えてください.

無限級数

数列の分野では,$a_1+a_2+\dots+a_n$のような数列の和を考えました.

この数列の和は有限個の項の和ですが,数学IIIでは$a_1+a_2+\dots+a_n+\dots$のように無限に足し合わせ続けると,どんな値に近付くかを考えます.

この無限に足し合わせる数列の和は無限級数とよばれます.

次の記事では,無限級数の考え方を具体例を用いて説明します.

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