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論理と集合の基本1|集合の基礎知識

  
   

集合は数学の基礎です.全ての数学の基礎は集合にあるといってよいほど大切な概念です.しかし,高校数学の中で集合をハッキリと意識することはそれほどないと思います.

確かに大学で専門的に数学をする場合以外では,そこまで意識しなくても大丈夫な場合が多いのも事実です.しかし,数学を学ぶ上で最低限の集合に関する知識はもっておきたいところです.

とはいえ,高校数学の段階では「場合の数」や「確率」などの分野で集合を扱うことになります.集合の和集合,共通部分,補集合などの扱いには慣れておく必要があります.

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集合

集合とは「数学的な対象の集まり」のことをいいます.たとえば,「1以上10以下の整数の集合」や「自然数全部の集合」などがあります.集合はいろいろ考えることができます.

もしかすると,今の説明で

「……あれ?集合の定義って曖昧じゃない?」

と思った人もいるかもしれません.実はその感覚は正しく,厳密に集合を定義するには「公理的集合論」を学ぶ必要があります.

ですから,集合の定義についてはこれ以上は触れませんが,集合とは「数などの数学的なモノの集まり」とざっくり思っていても,殆どの場合で問題は起こらないので大丈夫でしょう.

集合の要素と部分集合

集合を構成している1つ1つの対象を「要素」といいます.「要素」のことは「元(ゲン)」ともいいますが,どちらの言葉を使っても同じです.

xが集合Aが要素であるとき,x\in Aと書きxAに属する」という.また,xAに属さないとき,x\not\in Aと書く.

集合Aの要素が全て集合Bの要素でもあるとき,A\subset Bと書きABに含まれる」または「BAを含む」という.ABに含まれないとき,A\not\subset Bと書く.

\in\not\in“と”\subset\not\subset“の使い分けに注意して下さい.\in\not\inは「集合と要素の関係」を表し,\subset\not\subsetは「集合と集合の関係」を表します.この違いはハッキリさせておいてください.

また,「集合Aと集合Bが等しい」つまりA=Bとは「A\subset BかつB\subset Aであること」をいいます.

ここで注意したいことは,A\subset Bと書くとAがすっぽりBの中に入っていなければならないと思う人もいますが,それは間違いでA=BのときでもA\subset Bは正しいです.

集合の例と表し方

「集合」は中カッコ\{\hspace{1em}\}で表します.たとえば,

\{1,3,5,7\}

は「1357を要素とする集合」ですし,

\{1,2,3,4,6,12\}

は「12の約数全部の集合」です.また,集合は有限個の要素からなる集合だけではなく,自然数全部の集合

\{1,2,3,4,5,\dots\}

や正の偶数全部の集合

\{2,4,6,8,10,\dots\}

のように無限個の要素からなる集合も考えることができます.

また,集合の表し方として,次のような表し方もします.たとえば,「12の約数全部の集合」\{1,2,3,4,6,12\}

\{x|x12の約数\}

とも表します.これはどういう表し方かというと,前の

\{x|

の部分で,まず「この集合はx全部の集合である」と宣言しています.これだけでは意味が分かりませんが,後ろの

|x12の約数\}

の部分で,x12の約数である」と宣言しています.併せて,「x12の約数であり,この集合はx全部の集合である」という意味を持ちます.

たとえば,

\{2x+1|x0以上の整数\}

は「x0以上の整数であり,この集合は2x+1全部の集合である」という意味になります.実際に要素を書き並べると,

\{1,3,5,7,9,\dots\}

ですから,「正の奇数全部の集合」です.また,

\{2x|xは整数\}

は「xは整数であり,この集合は2x全部の集合である」という意味で,「偶数全部の集合」ということもできます.実際に要素を書き並べると,

\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}

となります.

このように,集合は「要素を書き並べて表す」こともできますし,「\{\quad|\qquad\}のように表す」こともできます.前者の「要素を書き並べて表す表し方」を「内包的記法」といい,後者の「\{\quad|\qquad\}の表し方」を「外延的記法」といいます.

「内包的記法」,「外延的記法」という言葉は覚える必要はありません.

内包的記法で書かれていても,外延的記法で書かれていても,どのような集合かが分かるようにはなっておく必要があります.

空集合

ここで,「空集合」という特別な集合を説明しておきます.なお,「空集合」の読み方は「クウシュウゴウ」です.

「要素を1つももたない集合」「空集合」という.

内包的記号で無理矢理書けば\{\quad\}ということになります.

空集合は記号で\emptysetと書きます.ゼロ0を串刺しにした記号です.空集合としてギリシャ文字の\phi (\varphi)を使うこともありますが,私個人としては\emptysetの方が好きです.

どちらを用いるかは趣味の問題なので,あまり気にする必要はありません.

また,空集合について重要な点は,「空集合は任意の集合の部分集合とする」ということです.つまり,「集合Aがどんな集合であっても,\emptyset\subset Aとする」のです.

和集合と共通部分

ABを集合とします.このとき,ABの和集合A\cup Bと共通部分A\cap Bを次のように定義します.

ABを集合とする.

ABの少なくとも一方に属する要素全部の集合」ABの和集合」といい,A\cup Bと表す.

また,ABの両方に属する要素全部の集合」ABの共通部分」といい,A\cap Bと表す.

和集合A\cup BA\cap Bは外延的記法をもちいて次のように表せます.

A\cup B=\{x|x\in Aまたはx\in B\}A\cup B=\{x|x\in Aかつx\in B\}

ここで注意ですが,日常では「または」は「どちらか一方」という意味で用いることが多いですが,数学では「または」は「少なくとも一方」の意味で用います.

ですから,数学の「または」は両方に含まれていてもOKです.

例1

集合A=\{1,2,3,4,5\}B=\{2,4,6,8\}に対しては,

A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,8\}A\cap B=\{2,4\}

です.

例2

偶数全部の集合C=\{2x|xは整数\},奇数全部の集合D=\{2x+1|xは整数\}に対しては,

A\cup B=\{x|xは整数\}A\cap B=\emptyset

です.なお,A\cup B\{x|xは整数\}は「整数全部の集合」ですね.

なんで空集合という概念を考えるのか疑問に思った人もいるかもしれませんが,この例2のように,共通部分の要素が存在しない場合などに,空集合が自然に使えて便利だからです.

補集合

「集合Aの補集合」とは,簡単には「集合Aに含まれていない要素全部の集合」のことをいいます.しかし,実はこれだけの説明では不十分です.

補集合を考えるときは,「どの集合の中での話なのか」ということは意識しておかなければなりません.

たとえば,集合A1以上3以下の整数からなる集合とします.すなわち,A=\{1,2,3\}です.「このとき,Aの補集合は?」と聞かれても,全体集合が分からないので,これだけでは答えようがありません.

そこで,たとえば1以上5以下の整数からなる集合をUとし,「このとき,AUにおける補集合は?」という質問には\{4,5\}と答えることができます.

もし,-1以上5以下の整数からなる集合をVとし,「このとき,AVにおける補集合は?」という質問には\{-1,0,4,5\}と答えることができます.

このように,「どの集合の中での話なのか」が変わると「補集合」も変わってきます.

この「今考えている全体の集合」のことを「全体集合」といいます.この全体集合という言葉を用いて,「補集合」は次のように定義されます.

全体集合をUとし,AUの部分集合とする.このとき,Aに属さないUの要素全部の集合をUにおけるAの補集合」といい,\overline{A}と表すことが多い:

\overline{A}=\{x|x\in U,\ x\not\in A\}

「全体集合」はいつでも意識してください.

じつは,数学には「閉包」という概念があり,大学に入ると\overline{A}で「集合Aの閉包」を表すことが多く,補集合はA^{c}という記号を使うことが多くなります(cはcomplementの頭文字).

しかし,高校生のうちに「閉包」を習うことはないので,\overline{A}という記号で問題ないでしょう.

論理と集合の基本2|ド・モルガンの法則】に続きます.

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