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ワンポイント数学1|作図の考え方,線分を等分する作図

 
 

[この記事の最後には,解説動画があります]

作図問題は,入試でもあまり出ないため,軽視されがちな分野でもあります.

そのため,「こうすればできる」と方法は知っているものの,なぜそれで良いのかという説明ができない生徒が多いです.

あくまで,高校数学までに出てくる作図では,平行線や合同などを利用する作図がほとんどです.

この記事では,意外と知られていない「線分を等分する作図」について説明します.

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相似

「線分を等分する作図」では,次の[相似]が重要な役割をします.

[相似] \tri{ABC}に対して,線分\mrm{AB}上に点\mrm{D}を,線分\mrm{AC}上に点\mrm{E}をとる.このとき,\mrm{BC}/\!/\mrm{DE}なら,\tri{ABC}\sim\tri{ADE}となる.

ただし,/\!/は平行を,\simは相似を表す.

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この[相似]は非常によく出てくるので,「ピラミッド型の相似」などと呼ばれることもありますね.

平行線が絡む相似の証明には,多くの場合で「平行線の錯角が等しい」や「平行線の同位角が等しい」などを用います.

実際,[相似]は次のように証明されます.

[証明]

\mrm{BC}/\!/\mrm{DE}により,\ang{ABC}=\ang{ADE}\ang{ACB}=\ang{AED}が成り立つ(平行線の同位角が等しい).

よって,\tri{ABC}\tri{ADE}の対応する2角がそれぞれ等しいから,\tri{ABC}\sim\tri{ADE}が従う.

[証明終]

線分を等分する

それでは,次の[問]を考えます.

[問] 平面上の線分\mrm{AB}を作図により6等分せよ.

この[問]では6等分ですが,3等分でも4等分でも100等分でも同様に作図できます.

作図法

まず,[解答]を書きます.

[解答]

Step.1からStep.4に分けて作図する.

Step.1

点Aを始点とし,点Bを通らない半直線\ellと引く.

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Step.2

次に,コンパスを勝手な半径にとり,針を点Aに刺して描かれる円と,半直線\ellとの交点を\mrm{C}_1とする.

続いて,同じ半径のコンパスで針を点\mrm{C}_1に刺して描かれる円と,半直線\ellとの交点のうち\mrm{A}ではない方を\mrm{C}_2とする.

\mrm{C}_3\mrm{C}_4\mrm{C}_5\mrm{C}_6を,この順になるように同様にとる.このとき,

\mrm{AC_1}=\mrm{AC_2}=\mrm{AC_3}=\mrm{AC_4}=\mrm{AC_5}=\mrm{AC_6}

となる.

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Step.3

\mrm{B}と点\mrm{C_6}を結ぶ直線を\ell_6とする.

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Step.4

直線\ell_6と平行で,点\mrm{C_1}\mrm{C_2}\mrm{C_3}\mrm{C_4}\mrm{C_5}を通る直線を,それぞれ\ell_1\ell_2\ell_3\ell_4\ell_5とする.

このとき,直線\ell_1\ell_2\ell_3\ell_4\ell_5と線分\mrm{AB}の交点をそれぞれ点\mrm{D_1}\mrm{D_2}\mrm{D_3}\mrm{D_4}\mrm{D_5}とすると,これらの点によって線分\mrm{AB}は6等分される.

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[解答終]

作図が正しいことの証明

続いて,この[解答]によって,確かに線分\mrm{AB}が6等分されていることを証明します.

[証明]

[解答]によってできた図は,[相似]により\tri{AD_1C_1}\tri{AD_2C_2}\tri{AD_3C_3}\tri{AD_4C_4}\tri{AD_5C_5}\tri{ABC_6}は全て相似である.

よって,[解答]のStep.2より,

\mrm{AD_1}:\mrm{AD_2}:\mrm{AD_3}:\mrm{AD_4}:\mrm{AD_5}:\mrm{AD_6}
=\mrm{AC_1}:\mrm{AC_2}:\mrm{AC_3}:\mrm{AC_4}:\mrm{AC_5}:\mrm{AC_6}
=1:2:3:4:5:6

となる.

[証明終]

このように,作図であっても,しっかり根拠をもっていることは大切です.

解説動画

以下の動画でこの記事の内容を解説しています.

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