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浮力の基本|浮力を正しく理解する

  
   

湯船やプールに浸かると体が軽くなりますし,水に木片を入れると木片が水に浮きます.また,ヘリコプターはプロペラを回すことで宙に浮きます.
このように,流体(液体や気体)が物体を「浮かせる力」のこと「浮力」と言います.

物体が完全に沈んでいる場合でも,水面に浮かんでいる場合でも,「浮力」がどういうものかを知っていれば,どちらも同じ考え方で「浮力」の大きさを求めることができます.

「浮力」は苦手に思われることも多いですが,考え方さえ分かってしまえば全く難しいものではありません.

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浮力

たとえば,湯船やプールに浸かると体が軽くなるのは,水が自分の体を上に押し上げようとするからです.このように,「物体を液体に沈めたときに,液体が物体を押し上げようとする力」を「浮力」と言います.

しかし,ヘリコプターはプロペラを回すことで宙に浮くように,「液体と物体」の組み合わせ以外でも浮力は生じます.

しかし,高校物理の範囲では「物体を液体に沈めたときに,液体が物体を押し上げようとする力」を指すことがほとんどなので,この記事でもほとんど液体の浮力について話を進めます.

さて,「力」を理解するためには「大きさ」と「向き」の2つを理解しなければなりません.「浮力」の「向き」はいつでも「鉛直上向き」です.

密度の復習

「浮力」の話に移りたいところですが,まず「密度」について簡単に復習しておきます.

「密度」とは「単位体積あたりの質量」と言いますが,僕が初めて聞いたときは「何のこっちゃ?」となりました.

「単位体積あたり」という言葉を使うから面倒なのであって,具体的な次のようなイメージを持っておけばよいです.

体積1[\mathrm{m^3}]の物体の質量がM[\mathrm{kg}]のとき,密度はM[\mathrm{kg/m^3}]

体積が2倍,3倍,……になれば,質量は2倍,3倍,……になります.つまり,体積の増加は質量の増加に比例します.このときの比例係数が「密度」なのです.

「密度」の定義に「単位体積」という言葉を使うのは,単位が[\mathrm{m^3}]とは限らないからです.もしかすると,[\mathrm{cm^3}]かもしれません.単位が何か分からないので,「単位体積」という言葉を使っているのです.

さて,「密度」を考えるとき,その物体の量や大きさは全く関係ありません.ですから,例えば,

  • 半径1[\mathrm{m}]の鉄球
  • 半径1[\mathrm{cm}]の鉄球
  • 1辺1[\mathrm{cm}]の立方体の鉄
  • 形がぐちゃぐちゃな1[\mathrm{kg}]の鉄の塊

は全て「密度」は等しいです.「密度」は形や重さなどによらず,全てどの物質を考えているかだけで決まります.

したがって,体積V[\mathrm{m^3}]の物体の質量がm[\mathrm{kg}]であったとすると,この物体の体積1[\mathrm{m^3}]の物体の質量は\dfrac{m}{V}[\mathrm{kg}]ですから,密度は\dfrac{m}{V}[\mathrm{kg/m^3}]となります.

体積V[\mathrm{m^3}]の物体の質量がm[\mathrm{kg}]であったとすると,この物体の密度は\dfrac{m}{V}[\mathrm{kg/m^3}]である.

浮力の大きさ

「浮力」の「向き」はいつでも「鉛直上向き」ですから,問題は「浮力」の「大きさ」となります.

「浮力」の「大きさ」については次の公式があります.

[公式] 重力加速度をg[\mathrm{m/s^2}]とする.密度\rho[\mathrm{kg/m^3}]の液体に物体を沈める.体積V[\mathrm{m^3}]の物体が全て液面下に沈んでいるとき,物体が液体から受ける浮力の大きさは\rho Vg[\mathrm{N}]である.

なお,\rhoはギリシャ文字で「ロー」と読みます.

さて,ここで注意したいのは,[公式]から「物体の体積が同じであれば,別の物質であっても『浮力』の『大きさ』は変わらない」ということです.

ここで,もしかすると次のように思った人がいるかもしれません.

「たとえば,同じ体積の木片と鉄球を水に沈めたら,木片は浮くけど,鉄球は沈むやん?やから,鉄球より木片にはたらくの方が浮力が大きいはずや!」

はい,確かに木片は浮きますし,鉄球は沈みます.しかし,そこから「浮力」の「大きさ」の大小は分かりません.というのは,同じ体積の木片と鉄球では,はたらく重力の大きさが異なるからです.

すなわち,鉄球にはたらく重力は「浮力」より大きいため,「浮力」が重力に負けて沈むのです.一方,木片にはたらく重力は「浮力」より小さいため,「浮力」が重力に勝って浮き上がるのです.

このように,体積が同じであれば,浮力が等しいということは[直感]としてとても大切です.

[直感] 物体Aと物体Bの体積が同じであるとする(素材は違ってもよい).このとき,物体Aと物体Bを同一の液体に沈めたとき,物体Aにはたらく浮力と,物体Bにはたらく浮力は等しい.

アルキメデスの原理

「浮力」の[公式]はそれで良いのですが,[公式]をもう少し考えてみます.

液体の密度は\rho[kg/m^3]で,物体が液面下に体積V[m^3]沈んでいます.よって,\rho V[kg]は物体が押しのけた液体の質量です.

したがって,\rho Vg[\mathrm{N}]は「物体が押しのけた分の液体にはたらく重力」に等しいです.

このことは「アルキメデスの原理」と呼ばれ,古来より知られてきました.この「アルキメデスの原理」は浮力の基本原理です.

さて,このように液体に対する「浮力」は[アルキメデスの原理]で説明することができます.実は,液体以外に関しても,[アルキメデスの原理]は有効なのです.

つまり,ヘリコプターが宙に浮くのも[アルキメデスの原理]を用いて説明することができます.このことについては詳しく書きませんが,以上より[アルキメデスの原理]は次のように述べることができます.

[アルキメデスの原理] 物体が流体中にあるとき,物体は「物体が押しのけた分の流体にはたらく重力」と同じ大きさの「浮力」を受ける.

「流体」は「空気や水」のような「流れのあるもの」を指しますが,高校物理では「液体」と思ってよいです.

この[アルキメデスの原理]は「浮力」の基本であり,ぜひとも知っておいて欲しい原理です.

浮力の例

以下でいくつかの例を見ます.

例1(物体を液面上に浮かべた場合)

重力加速度をg[\mathrm{m/s^2}]とし,密度\rho[\mathrm{kg/m^3}]の液体に質量m[\mathrm{kg}]の物体を液面上に浮かべると静止したとします.このとき,物体がどれだけ液面下に沈んでいるのかを考えます.

物体が液面下に沈んでいる体積をV[\mathrm{m^3}]とします.[アルキメデスの原理]を考えると,この液面下に沈んでいる体積V[\mathrm{m^3}]の部分だけに浮力がはたらきます.

したがって,物体にはたらく浮力の大きさは\rho Vg[\mathrm{N}]です.

また,物体には大きさmg[\mathrm{N}]の重力もはたらいています.

いま浮力は鉛直上向き,重力は鉛直下向きにはたらいており,物体は静止しているので,これらの力がつり合っています.よって,

\rho Vg=mg

だから,V=\dfrac{m}{\rho}となります.

【参考記事:力の基本2|力のつりあいとその例

よって,物体は液面下に体積\dfrac{m}{\rho}[\mathrm{m^3}]沈んでいます.

例2(物体を液面下に完全に沈めた場合)

重力加速度をg[\mathrm{m/s^2}]とし,密度\rho[\mathrm{kg/m^3}]の液体に体積V[\mathrm{m^3}],質量m[\mathrm{kg}]の物体を液面下に完全に沈めます.このとき,物体がどのような運動をするのかを考えます.

ただし,水の抵抗は無視するとします.

[公式]から,物体には大きさ\rho Vg[\mathrm{N}]の浮力がはたらいています.また,物体には大きさmg[\mathrm{N}]の重力もはたらいています.

いま浮力は鉛直上向き,重力は鉛直下向きにはたらいているので,鉛直下向きを正の向きにとると,鉛直方向に浮力は-\rho Vg[\mathrm{N}]であり,重力はmg[\mathrm{N}]となります.

よって,物体にはたらく力の合力はmg-\rho Vg[\mathrm{N}]となります.

【参考記事:運動の基本5|向きの決め方,向きを変えるとどうなるか

さて,物体にはたらく力はmg-\rho Vg[\mathrm{N}]で一定です.したがって,物体は等加速度直線運動をします.

よって,物体が加速度a[\mathrm{m/s^2}]で運動しているとすると,物体に関する運動方程式は

ma=mg-\rho Vg

だから,a=g-\dfrac{\rho Vg}{m}となります.

【参考記事:力の基本3|運動方程式,力と質量と加速度の関係

よって,物体は鉛直下向きに加速度a=g-\dfrac{\rho Vg}{m}で等加速度直線運動します.

※現実的には,水の抵抗は無視できないので,等加速度直線運動にはなりません.

しかし,「動き始め」などは水の抵抗を無視できるので,だいたい等加速度直線運動をしているとみなすことができます.

物体の浮き沈みについての補足

例えば,木片を細かくしても,細かくした木片もやはり水面上に浮かびます.このように,密度が一定の物体は,その大きさに関わらず,浮く物体は浮きますし,沈む物体は沈みます.

このことを,例2の結果から少し考えてみます.

例2の結果から,a=g-\dfrac{\rho Vg}{m}となります.これを変形すると,

a=\left(\dfrac{m}{V}-\rho\right)\dfrac{Vg}{m}

となります.かっこの中身を見てみると,\dfrac{m}{V}[\mathrm{kg/m^3}]は「物体の密度」で,\rho[\mathrm{kg/m^3}]は「液体の密度」です.

よって,今は鉛直下向きを正としていることに注意すると,(物体の密度)>(液体の密度)のときはa>0ですから物体は沈んでいき,(物体の密度)<(液体の密度)のときはa<0ですから物体は浮かんでいきます.

このように,物体の浮き沈みは「物体の密度」と「液体の密度」の大小のみによって決まるのです.

木片はスカスカですから密度は小さいので,水よりも密度が小さく水に浮かびます.一方,鉄球は小さくても重いですから密度は大きいので,水よりも密度が大きく水に沈みます.

このことは,物体の大きさを変えても,密度は変わりません.したがって,物体を細かくしても浮かぶ物体は浮かびますし,沈む物体は沈むことになります.

(物体の密度)>(液体の密度)のとき物体は沈んでいき,(物体の密度)<(液体の密度)のとき物体は浮かんでいく.

【関連記事:力の基本1|基本的な6種類の力を知る

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