lim(リミット)の意味は？関数の極限と代入との違いを解説

高校数学で学ぶ極限には

• 関数の極限
• 数列の極限

の２種類があります．

関数の極限は「関数$f(x)$の$x$をある実数$a$に近付けたときに，関数$f(x)$がどのような値に近付くのか」ということを述べるもので，高校数学では数学IIで微分法を学ぶ際に初めて扱います．

しかし，数学IIまでしか習わない人にとっては極限は微分を学ぶ時にしか現れないので，印象に残りにくい概念の１つです．

関数の極限と数列の極限の違いは次の記事に回し，この記事では数学IIで習う関数の極限について

• 関数の極限
• 極限と代入では何が違うのか？
• 不定形

を順に説明します．

関数の極限の定義と具体例

まずは関数の極限の基本事項を整理します．

定義

関数の極限の定義は以下の通りです．

この関数の極限で大切なことは「$x$が$a$と異なる値をとりながら」という点です．

あくまで「$x$は$a$に近くなりはすれど$x=a$ではない」というところに極限の良さがあります．

具体例

極限の良さを知るために，具体例を考えてみましょう．

例１

まずは単純な極限を考えましょう．

例２

例１より少し複雑になっていますが，これも基本問題です．

極限と代入では何が違うのか？

例２では「$\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$の分母$x-1$は$x=1$で値は０になるけど大丈夫？」という疑問を持つ人がいるかもしれません．確かに

• $x=1$とすると$\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$の分母が$0$になる
• 数学では０で割ることはご法度

というのはどちらも正しいです．

しかし，例２の$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$で大事なことは代入ではなく極限というところです．

極限$x\to a$はあくまで「$x$が$a$と異なる値を取りながら$a$に限りなく近づくとき」を考えるものなので，$x\to1$の極限では$x$を１に近づけるだけであって$x=1$を代入するのではないのです．

つまり，「$x$を１に近づけたときに$\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$が近付いていく値」が

   

の意味なのです．つまり，$x\to 1$の極限ではむしろ$x$は１にならないわけですね．

$x$が１にどれだけ近付いても$x\neq1$であれば分母は０ではないので，$\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$を考えることに問題はありませんね．

極限は慣れてくるとあたかも代入のように思えてしまいがちですが，以上のように「極限をとること」と「代入すること」は似ているものの異なるものであることは知っておきましょう．

不定形

例２の$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$について，「$\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$は$x\to1$で分母も分子も$0$に近づくんやから，極限は$\dfrac{0}{0}$って書けばええやん」という疑問を持つ人もいるかもしれません．

これについては，次の問題と併せて考えてみましょう．

この問題の$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}$でも約分せずに，分母も分子で$x\to1$の極限を考えると$\dfrac{0}{0}$の形になっていますね．

この問題も例２の問題も約分せずに極限を考えると$\dfrac{0}{0}$ですが，極限はそれぞれ$-2$と$-1$であり異なっています．つまり，同じ$\dfrac{0}{0}$の形をしていても極限が同じとは限らないわけですね．

このように，極限をとって$\dfrac{0}{0}$となるものは不定形といい，その名の通り$\dfrac{0}{0}$はどんな極限になるかは全く定まらない形になっているわけですね．

なお，分母も分子も$x\to1$で$0$になるということは，因数定理から分母も分子も$(x-1)$を因数にもつことになるので，上の計算では$x-1$で約分することで不定形が解消されてうまくいくわけですね．

一般に不定形の極限では何らかの方法で不定形を解消することで，極限を求めることになります．