関数の極限・数列の極限の違い｜同じに見えて答えが異なる問題

多くの場合で関数の極限と数列の極限の違いを意識していなくても困りませんが，これらが分かっていないと間違えてしまう問題も実はあります．

例えば，

数列$a_n=\sin{\pi n}$
関数$f(x)=\sin{\pi x}$

としたとき，$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$と$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$は異なる結果になります．

この記事では，数列$a_n$の極限と関数$f(x)$の極限の２つの違いとして

極限の種類の違い
$x$と$n$が動く値の違い

を順に説明します．

「極限」の一連の記事

極限の基本
1. 1 lim(リミット)の意味は？極限の考え方
2. 2 「関数の極限」と「数列の極限」の２つの違い (今の記事)

無限級数

極限の種類の違い
1. 関数の極限
2. 数列の極限
$x$と$n$が動く値の違い
1. 関数の極限
2. 数列の極限

極限の種類の違い

関数の極限には

$\begin{align*}x\to a,\quad x\to \pm\infty,\quad x\to a\pm0\end{align*}$

の３種類がある一方で，数列の極限には

$\begin{align*}n\to\infty\end{align*}$

しかありません．これが１つ目の違いです．

関数の極限

３種類の関数の極限の定義をそれぞれ確認しましょう．

$x\to a$の極限

$x\to a$の極限は微分を定義するために必要なので，数学IIで扱いますね．

［関数の極限１］$x$が$a$と異なる値を取りながら$a$に限りなく近づくとき，関数$f(x)$がある一定の値$\alpha$に限りなく近付くならば，このことを

$\begin{align*}\lim\limits_{x\to a}f(x)=\alpha\end{align*}$

または

$\begin{align*}f(x)\to\alpha\quad(x\to a)\end{align*}$

などと表す．また，このとき$x\to a$のとき$f(x)$は$\alpha$に収束するといい，$\alpha$を$x\to a$のときの$f(x)$の極限値という．

この$x\to a$の極限について詳しくは以下の記事を参照してください．

lim(リミット)の意味は？関数の極限と代入との違いを解説

高校数学では「関数の極限」は微分を定義するために導入することになります．しかし，そこではあまり深く踏み込まないので，曖昧なままなってしまう人が多く見受けられます．この記事では関数の極限の考え方を基礎から説明します．

$x\to\infty$, $x\to-\infty$の極限

$x\to\infty$, $x\to-\infty$の極限は数学IIIの範囲です．

上でみた$x\to a$の極限は値$a$に$x$を近付けるときの話でしたが，$x\to\infty$, $x\to-\infty$の極限は$x$をどこまでも大きくする，またはどこまでも小さくするときの話です．

［関数の極限２］正の$x$が限りなく大きくなるとき，関数$f(x)$がある一定の値$\alpha$に限りなく近付くならば，このことを

$\begin{align*}\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\alpha\end{align*}$

や

$\begin{align*}f(x)\to\alpha\quad(x\to \infty)\end{align*}$

などと表す．また，このとき$x\to \infty$のとき$f(x)$は$\alpha$に収束するといい，$\alpha$を$x\to \infty$のときの$f(x)$の極限値という．

［関数の極限２’］負の$x$が限りなく小さくなるとき，関数$f(x)$がある一定の値$\alpha$に限りなく近付くならば，このことを

$\begin{align*}\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\alpha\end{align*}$

または

$\begin{align*}f(x)\to\alpha\quad(x\to -\infty)\end{align*}$

などと表す．また，このとき$x\to-\infty$のとき$f(x)$は$\alpha$に収束するといい，$\alpha$を$x\to-\infty$のときの$f(x)$の極限値という．

この極限は数学IIIの範囲です．

ある値に近付けるのではなく，限りなくどんどん$x$を大きくしたり，小さくしたりするのがこの極限です．

$x\to a+0$, $x\to a-0$の極限

$x\to a+0$, $x\to a-0$の極限は数学IIIの範囲です．

上でみた$x\to a$の極限では$x$を$a$にどのように近付けても良いのに対して，違いは$x\to a+0$, $x\to a-0$の極限は$x$を大きい方から，または小さい方から$a$に近づけるときの話です．

［関数の極限３］$x$が$a$より大きい値を取りながら$a$に限りなく近づくとき，関数$f(x)$がある一定の値$\alpha$に限りなく近付くならば，このことを

$\begin{align*}\lim\limits_{x\to a+0}f(x)=\alpha\end{align*}$

または

$\begin{align*}f(x)\to\alpha\quad(x\to a+0)\end{align*}$

などと表す．また，このとき$\alpha$を$x\to a+0$のときの$f(x)$の右極限という．

［関数の極限３’］$x$が$a$より小さい値を取りながら$a$に限りなく近づくとき，関数$f(x)$がある一定の値$\alpha$に限りなく近付くならば，このことを

$\begin{align*}\lim\limits_{x\to a+0}f(x)=\alpha\end{align*}$

または

$\begin{align*}f(x)\to\alpha\quad(x\to a-0)\end{align*}$

などと表す．また，このとき$\alpha$を$x\to a-0$のときの$f(x)$の左極限という．

上の定義で$a=0$の場合には，右極限，左極限はそれぞれ$x\to+0$, $x\to-0$と表します．

例えば，$y=\dfrac{1}{x}$のグラフを描くと，以下のようになります．

この図から

$x$を$0$に右から(大きい方から)近付けると，$\dfrac{1}{x}$はどんどん大きくなるので$\lim\limits_{x\to+0}\dfrac{1}{x}=\infty$
$x$を$0$に左から(小さい方から)近付けると，$\dfrac{1}{x}$はどんどん小さくなるので$\lim\limits_{x\to+0}\dfrac{1}{x}=-\infty$

となります．

普通の極限$x\to a$は右極限$x\to a+0$と左極限$x\to a-0$が異なる場合には「存在しない」とするので，$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1}{x}$は存在しません．