作図問題は，入試でもあまり出ないため，軽視されがちな分野でもあります．
そのため，「こうすればできる」と方法は知っているものの，なぜそれで良いのかという説明ができない生徒が多いです．
あくまで，高校数学までに出てくる作図では，平行線や合同などを利用する作図がほとんどです．
この記事では，意外と知られていない「線分を等分する作図」について説明します．
相似
「線分を等分する作図」では，次の相似が重要な役割をします．
[相似] $\tri{ABC}$に対して，線分AB上に点$\mrm{D}$を，線分AC上に点$\mrm{E}$をとる．このとき，$\mrm{BC}/\!/\mrm{DE}$なら，$\tri{ABC}\sim\tri{ADE}$となる．
ただし，$/\!/$は平行を，$\sim$は相似を表す．
一般に平行線の同位角は等しいから，$\mrm{BC}/\!/\mrm{DE}$により
- $\ang{ABC}=\ang{ADE}$
- $\ang{ACB}=\ang{AED}$
が成り立つ．
よって，$\tri{ABC}$と$\tri{ADE}$の対応する２角がそれぞれ等しいから，$\tri{ABC}\sim\tri{ADE}$が従う．
この[相似]は非常によく出てくるので，「ピラミッド型の相似」などと呼ばれることもありますね．
平行線が絡む相似の証明には，多くの場合で「平行線の錯角が等しい」や「平行線の同位角が等しい」などを用います．
線分を等分する
それでは，次の問題を考えます．
平面上の線分ABを作図により６等分せよ．
この[問]では６等分ですが，３等分でも４等分でも１００等分でも同様に作図できます．
作図法
４つのステップに分けて作図する．
[ステップ１] 点Aを始点とし，点Bを通らない半直線$\ell$と引く．
[ステップ２] コンパスを勝手な半径にとり，針を点Aに刺して描かれる円と，半直線$\ell$との交点を$\mrm{C}_1$とする．
続いて，同じ半径のコンパスで針を点$\mrm{C}_1$に刺して描かれる円と，半直線$\ell$との交点のうちAではない方を$\mrm{C}_2$とする．
$\mrm{C}_3$, $\mrm{C}_4$, $\mrm{C}_5$, $\mrm{C}_6$を，この順になるように同様にとる．このとき，
となる．
[ステップ３] 点Bと点$\mrm{C_6}$を結ぶ直線を$\ell_6$とする．
[ステップ４] 直線$\ell_6$と平行で，点$\mrm{C_1}$, $\mrm{C_2}$, $\mrm{C_3}$, $\mrm{C_4}$, $\mrm{C_5}$を通る直線を，それぞれ$\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$, $\ell_4$, $\ell_5$とする．
このとき，直線$\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$, $\ell_4$, $\ell_5$と線分ABの交点をそれぞれ点$\mrm{D_1}$, $\mrm{D_2}$, $\mrm{D_3}$, $\mrm{D_4}$, $\mrm{D_5}$とすると，これらの点によって線分ABは6等分される．
作図が正しいことの証明
続いて，この[解答]によって，確かに線分ABが6等分されていることを証明します．
上の解答によってできた図は，相似により$\tri{AD_1C_1}$, $\tri{AD_2C_2}$, $\tri{AD_3C_3}$, $\tri{AD_4C_4}$, $\tri{AD_5C_5}$, $\tri{ABC_6}$は全て相似である．
よって，解答のステップ２より，
となる．
このように，作図であっても，しっかり根拠をもっていることは大切です．
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