ワンポイント数学３<br>平方根と根号√の基本・二重根号の外し方

根号について，次の問題に正しく答えられますか？

実数$a$に対して，$\sqrt{a^2}$の根号$\sqrt{\quad}$を外せ．

$\sqrt{a^2}=a$というのは間違いですよ．

これが正しく言えなければ，例えば$\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$といった二重根号を外すときにも間違いをしかねません．

この記事では

平方根と根号の基本
二重根号の外し方

を順に説明します．

平方根と根号の基本
1. 平方根と根号の性質
2. ２乗の平方根
二重根号
1. 具体例
2. 二重根号でありがちなミス

平方根と根号の基本

まずは平方根と根号の定義を確認しておきましょう．

$0$以上の実数$a$に対して，$2$乗して$a$となる実数を$a$の平方根という．

例えば，$4$の平方根は$2$乗して$4$になる実数なので$\pm2$ですね．

正の実数に対して平方根は必ず正負の２つ存在し， $0$の平方根は$0$のみですね．

$0$以上の実数$a$に対して，$a$の$0$以上の平方根を$\sqrt{a}$と表す．この記号$\sqrt{\quad}$を根号といい，$\sqrt{a}$を「ルート$a$」と読む．

例えば，$3$の$0$以上の平方根を$\sqrt{3}$と表すので，$3$の平方根は$\pm\sqrt{3}$ですね．

「$0$以上の平方根を$\sqrt{a}$と表す」と定義することから分かるように，$0$以上の実数$a$に対して$\sqrt{a}$が負になることはありません．

平方根と根号の性質

次の平方根と根号の性質は当たり前にしておきましょう．

次が成り立つ．

実数$a$が$0$以上の実数$b$の平方根なら，$-a$も$b$の平方根である．
正の実数$a$に対して，$(\sqrt{a})^2=a$
正の実数$a$, $b$に対して，$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$が成り立つ．

(1)実数$a$が$b$の平方根であることから$a^2=b$が成り立つ．よって，$(-a)^2=a^2=b$が成り立つので$-a$も$b$の平方根である．

(2)$\sqrt{a}$は$a$の平方根の１つだから$2$乗すると$a$となる．すなわち，$(\sqrt{a})^2=a$が成り立つ．

(3)$\sqrt{a}\sqrt{b}$は正の数であり，(2)より$(\sqrt{a}\sqrt{b})^2=(\sqrt{a})^2(\sqrt{b})^2=ab$が成り立つ．よって，$\sqrt{a}\sqrt{b}$は$ab$の正の平方根なので，$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$が成り立つ．

２乗の平方根

ここで冒頭の問題について，実数$a$に対して$\sqrt{a^2}$は次のようになります．

実数$a$に対して

$\begin{align*}\sqrt{a^2}=\begin{cases}a&(a\ge0)\\-a&(a<0)\end{cases}\end{align*}$

が成り立つ．

つまり，$a$の正負によりどのように根号$\sqrt{\quad}$が外れるか変わるわけですね．

以下で証明しますが，根号$\sqrt{a^2}$の定義は「$a^2$の$0$以上の平方根」だったことに注意しましょう．

[1]$a\ge0$のときには$a$を$2$乗すると$a^2$なので，$a$は$a^2$の$0$以上の平方根である．

よって，$\sqrt{a^2}=a$である．

[2]$a<0$のときには$-a>0$で，$-a$を$2$乗すると$a^2$なので，$-a$は$a^2$の$0$以上の平方根である．

よって，$\sqrt{a^2}=-a$である．

繰り返しますが，大切なことは根号が$0$以上の平方根を表すという点ですね．

例えば，$\sqrt{3^2}$と$\sqrt{(-3)^2}$の根号を上の公式を用いて外すと

$\sqrt{3^2}$は公式で$a\geqq0$の場合に相当するので$\sqrt{3^2}=3$
$\sqrt{(-3)^2}$は公式で$a<0$の場合に相当するので$\sqrt{(-3)^2}=-(-3)=3$

となります．実際，きちんと計算すれば，確かに

$\begin{align*}&\sqrt{3^2}=\sqrt{9}=3, \\&\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3\end{align*}$

となりますね．

上の公式の右辺は絶対値$|a|$と全く同じですから，$\sqrt{a^2}$は次のようにもすっきり表すことができますね．

実数$a$に対して，$\sqrt{a^2}=|a|$が成り立つ．

絶対値について詳しくは以下の記事を参照してください．

ワンポイント数学２
絶対値の定義から一瞬で解ける問題

絶対値を定義をきちんとイメージで理解していれば，不等式|x-3|<5や方程式|x-2|+|x-4|=8などはものの数秒で答えを出すことができます．この記事では，絶対値の定義を基礎から解説し，一瞬で解ける問題の考え方も紹介しています．

二重根号

根号$\sqrt{\quad}$の中に根号$\sqrt{\quad}$が入ったものを二重根号と言いますが，

$\begin{align*}\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\end{align*}$

のように二重根号は外せる場合があります．

二重根号を外すには，実数$A$, $B$に対して$\sqrt{(A\pm B)^2}=|A\pm B|$が成り立つことを用います．

実数$a$, $b$に対して，

$\begin{align*}\sqrt{(a+b)\pm2\sqrt{ab}}=|\sqrt{a}\pm \sqrt{b}|\end{align*}$

が成り立つ（複号同順）．ただし，左辺の根号の中は$0$以上であるとする．

$(a+b)\pm2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2$なので，

$\begin{align*}\sqrt{(a+b)\pm2\sqrt{ab}}=|\sqrt{a}\pm\sqrt{b}|\end{align*}$

が従う．

具体例

いくつか具体例を考えてみましょう．

例１

$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$の二重根号を外せ．

$3=2+1$, $2\sqrt{2}=2\sqrt{2\cdot1}$なので，

$\begin{align*}\sqrt{3+2\sqrt{2}} =&\sqrt{(2+1)+2\sqrt{2\cdot1}} \\=&\sqrt{(\sqrt{2})^2+2\cdot\sqrt{2}\cdot1+1^2} \\=&\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} =\sqrt{2}+1\end{align*}$

となる．ただし，最後の等式では，$\sqrt{2}+1>0$であることに注意．

例２

$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$の二重根号を外せ．

$7=3+4$, $4\sqrt{3}=2\sqrt{12}=2\sqrt{3\cdot4}$なので，

$\begin{align*}\sqrt{7+4\sqrt{12}} =&\sqrt{(3+4)+2\sqrt{3\cdot4}} \\=&\sqrt{(\sqrt{3})^2+2\cdot\sqrt{3}\cdot2+2^2} \\=&\sqrt{(\sqrt{3}+2)^2} =\sqrt{3}+2\end{align*}$

となる．ただし，最後の等式では，$\sqrt{3}+2>0$であることに注意．

例３

$\sqrt{3-\sqrt{5}}$の二重根号を外せ．

$\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{6-2\sqrt{5}}{2}}$であり，$6=5+1$, $2\sqrt{5}=2\cdot\sqrt{5\cdot1}$なので，

$\begin{align*}\sqrt{3-\sqrt{5}} =&\sqrt{\frac{(5+1)-2\sqrt{5\cdot1}}{2}} \\=&\frac{\sqrt{(\sqrt{5})^2-2\cdot\sqrt{5}\cdot1+1^2}}{\sqrt{2}} \\=&\frac{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}}{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}} \\=&\frac{\sqrt{2}\bra{\sqrt{5}-1}}{2}\end{align*}$

となる．ただし，$\sqrt{5}-1>0$であることに注意．

二重根号でありがちなミス

上の例３で

$\begin{align*}\sqrt{5-2\sqrt{2}} =&\sqrt{(\sqrt{2})^2-2\times\sqrt{3}\times\sqrt{2}+(\sqrt{3})^2} \\=&\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2} =\sqrt{2}-\sqrt{3}\end{align*}$